INTEGRALES
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INTEGRALES. Áreas y Distancias. El problema del cálculo de área. Encontrar el área S que está debajo de la curva y = f(x) y sobre el eje de las x , de a a b. INTEGRALES. A≈R 4. A≈L 4. INTEGRALES. INTEGRALES. INTEGRALES. INTEGRALES. El problema de la distancia.

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Presentation Transcript


Integrales

INTEGRALES

Áreas y Distancias

El problema del cálculo de área

Encontrar el área S que está debajo de la curva y = f(x) y sobre el eje de las x, de aab.


Integrales

INTEGRALES

A≈R4

A≈L4


Integrales

INTEGRALES


Integrales

INTEGRALES


Integrales

INTEGRALES


Integrales

INTEGRALES

El problema de la distancia

La distancia aproximada recorrida en los primeros 5 segundos es:

La distancia recorrida de t=5 a t=10 es aproximadamente:

De tal forma que la distancia aproximada en todo el recorrido es:


Integrales

INTEGRALES


Integrales

INTEGRALES DEFINIDAS

Nota 1: El símbolo ʃ es el símbolo de integración.

Nota 2: f(x) es llamado el integrando y a,b son los límites de integración.

Nota 3: dx indica (por el momento) que la variable independiente es x.

Nota 4: es un número; no depende de x. De hecho se podría haber escrito

Nota 5: es llamada suma de Riemann.


Integrales

INTEGRALES DEFINIDAS

Donde A1 es el área sobre el eje de las x y debajo de f(x) y A2 es el área debajo del eje de las x y por arriba de f(x).


Integrales

INTEGRALES DEFINIDAS

En general, cuando escribimos:

Remplazamos


Integrales

INTEGRALES DEFINIDAS

Evaluando integrales


Integrales

INTEGRALES DEFINIDAS


Integrales

INTEGRALES DEFINIDAS

Propiedad 2

Propiedades de la Integral Definida

Propiedad 3


Integrales

INTEGRALES DEFINIDAS

Propiedad 8


Integrales

INTEGRALES DEFINIDAS

Teorema fundamental del cálculo

Para establecer este teorema es necesario la siguiente función:

Donde f es una función continua y x varia de [a,b]. Observe que g es una función de x.


Integrales

INTEGRALES DEFINIDAS

Si tomamos f(t) = t y a = 0, utilizando el ejercicio visto en clase, tenemos:

Un demostración intuitiva


Integrales

INTEGRALES DEFINIDAS


Integrales

INTEGRALES DEFINIDAS


Integrales

INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO

Integrales Indefinidas

Integrales Definidas


Integrales

INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO


Integrales

INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO

Aplicaciones


Integrales

INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO


Integrales

INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO


Integrales

LA REGLA DE SUSTITUCIÓN

No hay regla directa que nos proporcione al integral de la siguiente expresión:

Suponga que hacemos una sustitución (cambio de variable): u=1 + x2, y definimos la du = 2x dx.

Comprobando el resultado, se tiene:

En general este método funciona siempre que se tenga . Observe que si F’=f, entonces

Y por la regla de la cadena se obtiene:


Integrales

LA REGLA DE SUSTITUCIÓN

Haciendo el cambio de variable u =g(x):

O si escribimos F’=f


Integrales

LA REGLA DE SUSTITUCIÓN

Integrales definidas


Integrales

LA REGLA DE SUSTITUCIÓN

Prueba:

Si hacemos u = -x

Hacer ejemplo 10 y 11 p. 406


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