Aproximaci n de integrales
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Aproximación de integrales. (Versión preliminar). Introducción.

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Aproximación de integrales

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Presentation Transcript


Aproximación de integrales

(Versión preliminar)


Introducción

Existen funciones cuyas primitivas no se pueden expresar en términos de funciones elementales, por ejemplo sen x2 y (1+ x4) 1/2 . Las integrales definidas con integrandos de este tipo se deben calcular con métodos de aproximación como las sumas de Riemann. Las sumas de Riemann tienen el inconveniente de converger lentamente, de manera que en algunos casos es necesario tener métodos de aproximación que converjan más rápido. Uno de estos métodos es la regla de los trapecios (o regla trapezoidal).


Regla de los trapecios

f(xj)

A(Tj) = (xj - xj-1 )(f(xj) + f(xj-1))/2

f(xj-1)

Entonces si (xj- xj-1) = (b-a)/n

ab f(x) dx =

j=1n[(b-a)/n](f(xj) +f(xj-1))/2 =

Tj

[(b-a)/2n]j=1n (f(xj) +f(xj-1)) =

[(b-a)/2n][f(x1)+ f(x0)+ f(x2)+f(x1) + f(x3)+f(x2)+

...+f(xn)+ f(xn-1)] =

xj-1

xj

[(b-a)/2n][ f(a) + 2f(x1)+2f(x2) +...+2f(xn-1)+ f(b)]


Regla de Simpson

Con n par y (xj- xj-1) = (b-a)/n, x0=a, xn=b:

ab f(x) dx=

[(b-a)/3n][ f(a) + 4f(x1)+2f(x2) + 4f(x3)+2f(x4)+...+

4f(xn-2)+2f(xn-1)+ f(b)].


Cálculo de ln(5)

Valor exacto=1.6094379124341003`


Comparación gráfica

Trapecios

Simpson

Riemann


Cálculo de 

Usaremos que = 401 (1+ x2)-1

Valor exacto con diez decimales correctos: 3.141592654


Comparación gráfica

Trapecios

Simpson

Riemann


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