Razones y proporciones directas

1. Razones y proporciones directas O de lo que pasa cuando el cociente de dos variables es igual a una constante Ricardo Ramírez Martínez y Alberto Rojas Hernández Trimestre 05P Mayo de 2005

2. Razones y proporciones directas Definición Se tienen dos variables o propiedades p y q. Se dice que la relación entre ambas es de proporcionalidad directa –o que p es directamente proporcional a q– si su cociente (razón, ratio en Inglés) es una constante, sin importar la magnitud que tengan p y q.

3. Razones y proporciones directas Definición operacional Para expresar algebraicamente la relación anterior sólo hay que escribir: (1) k es llamada constante de proporcionalidad entre p y q (o de p con respecto a q).

4. Razones y proporciones directas Expresión equivalente Si se despeja p de la ecuación (1) es posible obtener la ecuación (2) Si se le dan diferentes valores a q para un valor dado de k, es posible obtener los valores correspondientes de p y construir una tabla. Después es posible obtener la representación gráfica de estos valores.

5. Razones y proporciones directas Representación gráfica

6. Razones y proporciones directas Análisis de la gráfica De la gráfica anterior es posible obtener las siguientes conclusiones: * Las gráficas de relaciones directamente proporcionales entre dos variables representan rectas que pasan por el origen (punto (0,0) del plano cartesiano). * Cuando la pendiente de la relación es positiva: si la variable independiente (q) crece entonces la variable dependiente (p) también crece. k representa entonces una “tasa de crecimiento”. * Cuando la pendiente de la relación es negativa: si la variable independiente (q) crece entonces la variable dependiente (p) disminuye. k representa entonces una “tasa de decrecimiento”. * El cociente de proporcionalidad (k) indica la “inclinación” de la recta.

7. Razones y proporciones directas Ejemplo geométrico Todos los círculos guardan una misma proporción, porque el cociente de su perímetro o circunferencia (c) con respecto a su diámetro (d) es el número irracional  (aproximadamente igual a 3.14159...).

8. c2 c1 1 2 d1 d2 Razones y proporciones directas Ejemplo geométrico (representación gráfica)

9. Razones y proporciones directas Ejemplo físico Sistemas hechos de un mismo material homogéneo, a temperatura y presión constantes, tienen la misma densidad (). Por definición, la densidad de un sistema es la masa (m) del mismo dividida entre el volumen que ocupa (v).

10. Razones y proporciones directas Ejemplo físico Como corolario. Si un sistema constituido por material homogéneo se divide en subsistemas, cada uno de esos subsistemas estará hecho del mismo material y, por lo tanto, todos los subsistemas tendrán la misma densidad. Observe que la densidad es una “proporción con unidades”: no es un número.

11. m m = = r r cilindro cilindro v v cilindro cilindro m m glóbulo glóbulo = = r r mcilindro v v glóbulo glóbulo m m paralelepí paralelepí pedo pedo = = r r v v paralelepí paralelepí pedo pedo mparalelepípedo mglóbulo vglóbulo vparalelepípedo vcilicndro Razones y proporciones directas Ejemplo físico (representación gráfica) Se considera plomo, con densidad igual a los 11.36 g/mL a 1 atm y 25oC.

12. Razones y proporciones directas Ejemplo químico Ley de las proporciones constantes. En una reacción tal como aA + bB cC + dD, en donde A y B representan los reactivos y C y D representan los productos, los cocientes de los coeficientes estequiométricos marcan las constantes de proporcionalidad que determinan las cantidades estequiométricas; esto es, las cantidades de A y B o C y D que reaccionan o se producen.

13. Razones y proporciones directas Ejemplo químico Así, para la reacción aA + bB cC + dD siendo nr(A) y nr(B) las cantidades de A y B que reaccionan y np(C) y np(D) las cantidades de C y D que se producen estequiométricamente (sin que haya exceso de alguno de los reactivos).

14. Razones y proporciones directas Ejemplo químico (representaciones gráficas) Sea la reacción en fase gaseosa 3H2 + N22NH3 Si se introducen 6 moles de H2 en un sistema, deben mezclarse también 2 moles de N2 para que la reacción ocurra estequiométricamente (sin exceso de reactivos), con lo que se producirían 4 moles de NH3.

15. Razones y proporciones directas Algo para investigar * ¿Qué es la razón áurea y qué es el número ?¿Con qué estética se relacionan ambos? * ¿Por qué se dice que el color de una pintura se relaciona con diferentes proporciones de algunos colores primarios?