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Guías Modulares de Estudio Cálculo integral B

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Guías Modulares de Estudio Cálculo integral B. Semana 1: La integral. La itnegral. Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.

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semana 1 la integral
Semana 1:

La integral

la itnegral
La itnegral.
  • Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.
  • Dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que
  • lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada: 1

                      ,

                                   .

integraci n directa
Integración directa
  • En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.
  • Ejemplo:
    • Calcular la integral .
    • En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x). Por tanto:
  • Ejemplo:
    • Calcular la integral .
    • Una fórmula estándar sobre derivadas establece que .
    • De este modo, la solución del problema es .
integraci n por sustituci n
Integración por sustitución
  • El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
integraci n por descomposici n
Integración por descomposición
  • Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:
    • Primera propiedad de las integrales
      • La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones:
      • Esto es:
      • Demostración:
integraci n por descomposici n1
Integración por descomposición
  • Segunda propiedad de las integrales
    • La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función.
    • Es decir,
    • Demostración:
la integral definida
La integral definida
  • La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
  • La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:
propiedades de la integral definida
Propiedades de la integral definida
  • La integral definida cumple las siguientes propiedades:
  • Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
  • Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
  • La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
  • La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
  • Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
  • Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
  • Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:
semana 2 la integral
Semana 2:

La integral

funci n integral
Función Integral
  • Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible definir una función matemática de la forma:
  • donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.
teorema fundamental de c lculo integral
Teorema fundamental de cálculo integral
  • La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:
  • A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:
  • Se busca primero una función F (x) que verifique que F’ (x) = f (x).
  • Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
  • El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:
semana 3 y 4 aplicaci n de la integral definida
Semana 3 y 4:

Aplicación de la integral definida

la integral definida1
La integral definida
  • La integral definida es una herramienta útil en las ciencias físicas y sociales, ya que muchas cantidades de interés en dichas ciencias pueden definirse mediante el tipo de suma que se presentan en la integral definida.
bibliograf a
Bibliografía
  • Ludwing Salazar, Hugo Bahena, Francisco Vega: Cálculo integral, Publicaciones Cultural, 2007.
  • http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04700.html
  • http://matematica.wikia.com/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integral
  • http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesintegral/html/aplicaciones-integral.pdf
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