Syst mes d quations et analyse de circuits
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Systèmes d’équations et analyse de circuits. Montage préparé par :. André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon. ?. Introduction.

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Systèmes d’équations et analyse de circuits

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Presentation Transcript


Syst mes d quations et analyse de circuits

Systèmes d’équationset analyse de circuits

Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

?


Introduction

Introduction

Dans cette présentation, nous verrons comment utiliser les matrices pour faire l’analyse d’un circuit. Nous ferons d’abord une analyse classique par les branches et nous verrons comment diminuer le nombre d’équations en faisant une analyse par les mailles pour ensuite présenter une façon programmée de traduire la situation par une équation matricielle.

Mais tout d’abord, rappelons les notions, définitions et lois dont nous nous servirons.


D finitions

Définitions

Circuit électrique

Un circuitélectrique est un ensemble d’éléments (sources de tension, sources de courant, résistances, etc.) reliés par des conducteurs (fils).

Branche d’un circuit

Une branche d’un circuit est une partie d’un circuit constituée d’un ou de plusieurs éléments montés en série.


D finitions et notations

Définitions et notations

V1

Maille d’un circuit

R1

R3

R2

Une maille d’un circuit est un trajet fermé et conducteur.

V3

V2

E

Nœud d’un circuit

Un nœud d’un circuit est un point ou un conducteur auquel sont reliées différentes branches du circuit.

Notations

La tension à la source en volts (V) est notée E.

La résistance en ohms (Ω) est notée R, avec ou sans indice.

La différence de potentiel aux bornes d’une résistance est notée V. Elle est mesurée en volts.

L’intensité du courant en ampères (A) est notée I, avec ou sans indice.


Loi d ohm

Loi d’Ohm

Dans un circuit à courant continu constant, l’intensité du courant est directement proportionnelle à la tension appliquée et inversement proportionnelle à la résistance. Cette loi s’écrit :

I = V/R

où I est l’intensité du courant en ampères (A), V, la tension appliquée en volts (V) et R, la résistance en ohm (Ω).

On exprime souvent la loi d’Ohm sous la forme :

V = RI.


Potentiel et sens conventionnel

Potentiel et sens conventionnel

On observe une augmentation de potentiel en traversant une source

du - au + et une diminution de potentiel en traversant une résis-tance du + au -.

On utilise ici le sens conventionnel du courant dans le circuit, ce qui signifie que le courant va de la borne positive de la source vers sa borne négative. Le sens réel va de la borne négative à la positive.

Au début des études sur le courant, on pensait que le courant était dû au déplacement de particules positives alors qu’il est dû au déplacement d’électrons de charge négative. On peut tout aussi bien considérer le sens réel, cela a pour effet de changer le signe des deux membres des équations.


Loi des tensions de kirchhoff

Loi des tensions de Kirchhoff

V1

V1

V4

V2

E

V2

E

V4

V3

V3

Dans toute maille d’un circuit, la somme algébrique des diffé-rences de potentiel (incluant celle à la source) est nulle.

En appliquant à la première maille, on a :

E – V1 – V2 – V3 = 0 ou V1 + V2 + V3 = E

En appliquant à la deuxième maille, on a :

V2 – V4 = 0 ou –V2 + V4 = 0

En appliquant la loi des tensions à la troisième maille, on a :

E – V1 – V4 – V3 = 0 ou V1 + V3 + V4 = E

La troisième équation est la somme des deux premières, elle est donc superflue.


Loi des courants de kirchhoff

Loi des courants de Kirchhoff

I1

I3

I2

I2

I1

I3

I1

I3

I2

La somme algébrique des courants dans un nœud est nulle.

En appliquant au premier nœud,

I1 – I2 – I3 = 0

En appliquant au deuxième nœud,

–I1 + I2 + I3 = 0

La deuxième équation est super-flue.

Autre exemple :

I1 + I2 – I3 = 0


Analyse de circuits

Analyse de circuits

L’analyse d’un circuit vise à trouver les éléments inconnus de celui-ci qui peuvent être des courants ou des tensions. Nous ne considérerons ici que les circuits dont les inconnues sont les courants.

Analyse par les branches

L’analyse par les branches consiste à attribuer un courant à chacune des branches et à établir les équations de nœuds et de mailles en utilisant les lois de Kirchhoff.

On transforme alors les équations de mailles en utilisant la loi d’Ohm et on solutionne le système d’équations obtenu.


Analyse par les branches

Analyse par les branches

Faire l’analyse par les branches du circuit illustré.

V3

V1

+

+

Courants de branches

I1

I3

I2

V2

V2

Attribuons un courant à chacune des branches.

+

Équation du nœud

Il y a deux nœuds, mais ils donnent la même équation, soit :

Équation de la maille 1

I1 + I2 – I3 = 0

15 – V1 + V2– 5 = 0 ou V1 – V2= 10.

4I1 – 5I2 = 10

Puisque V1 = 4I1 et V2= 5I2,on a :

5I2 +2I3 = 23

Équation de la maille 2

5 – V2 – V3+ 18 = 0 ou V2 + V3= 23.

Puisque V2 = 5I2 et V3= 2I3,on a :


Solution

Solution

Nous devons résoudre le système d’équations :

La matrice augmentée est :

On trouve donc :

I1 = 4,87 A,

I2 = 1,89 A,

I3 = 6,76 A.


Interpr tation des r sultats

Interprétation des résultats

La solution est complète lorsqu’on a indiqué sur le circuit le courant dans chacune des branches. On a obtenu :

6,76 A

4,87 A

1,89 A

I1 = 4,87 A, I2 = 1,89 A

et I3 = 6,76 A

Puisque toutes les valeurs sont positives, cela signifie que le sens que l’on avait supposé pour les courants est le bon.

Remarque

Il ne sert à rien de chercher à deviner le sens du courant avant d’écrire les équations. La solution du système d’équations nous l’indique. Si dans la solution un des courants est négatif, cela signifie que sons sens est contraire à celui utilisé pour établir les équations. Il suffit d’être cohérent en établissant les équations.


Exercice

Exercice

Faire l’analyse par les branches du circuit illustré en considérant les sens indiqués pour les courants.

+

+

I1

I3

Cliquer pour la solution.

I2

+

Courants de branches

I1 + I2 – I3 = 0

Équation de N1

Circuit résolu

3I1 – 3I2 = 18

Équation de M1

Équation de M2

3I2 +4I3 = 4

4,18 A

2,36 A

Matrice échelonnée réduite

1,82 A


Analyse par les mailles

Analyse par les mailles

L’idée de l’analyse par les mailles est d’isoler dans l’équation de nœud le courant de la branche commune à deux mailles et de substituer dans les équations de ces mailles. Ainsi, dans le circuit illustré, l’équation de nœud est :

+

+

I1

I3

I2

+

I1 + I2 – I3 = 0

En isolant le courant de la branche commune, on obtient :

I2 =I3 – I1

Substituons dans les équations de mailles.

Dans4I1 – 5I2 = 10, on obtient : 4I1 – 5(I3 – I1)= 10

Dans5I2 +2I3 = 23 , on obtient : 5(I3 – I1)+2I3 = 23


Quations des mailles

Équations des mailles

Par cette substitution, on obtient un système de deux équations à deux inconnues, soit :

I1

I3

4I1 – 5(I3 – I1)= 10

5(I3 – I1)+2I3 = 23

On peut sauter une étape de l’analyse par les branches de façon à obtenir directement ces deux équations.

Pour ce faire, considérons seulement I1 et I3 appelés courants de maille, tous deux de sens horaire.

Établissons les équations de mailles en considérant que le courant dans la branche commune est soit I1 – I3 soit I3 – I1 selon la maille considérée.

En appliquant directement la loi d’Ohm, on trouve alors :

4I1 + 5(I1 – I3 )= 10, dans la première maille.

5(I3 – I1 )+2I3 = 23, dans la deuxième maille.


Solution du syst me

Solution du système

En regroupant les inconnues dans les équations :

4I1 + 5(I1 – I3 )= 10

I1

I3

5(I3 – I1 )+2I3 = 23

On obtient :

En solutionnant, on obtient :

Cela donne :

I1= 4,87 et I3 = 6,76.


Interpr tation

Interprétation

On a obtenu :

I1= 4,87 A et I3 = 6,76 A.

4,87 A

6,76 A

Interprétons les résultats.

1,89 A

Les courants de maille sont les courants de branches sauf dans la maille commune.

Dans la maille commune, le courant est I1 – I3 ou I3 – I1. Il faut déterminer laquelle de ces expressions est positive. Dans le cas présent, on a I3 > I1, par conséquent, le sens du courant dans la branche commune est le même que le courant de maille I3 et sa valeur est :

I3 – I1 = 6,76 – 4,87 = 1,89 A.

Le courant dans la maille commune doit équilibrer l’équation de nœud pour que la loi des courants soit satisfaite.


Exercice1

Exercice

Faire l’analyse par les mailles du circuit illustré.

Cliquer pour la solution.

Équations

3I1 + 3(I1 – I2)= 18

Circuit résolu

3(I2 – I1)+4I2 = 4

Matrice augmentée

4,18 A

2,36 A

1,82 A

Matrice échelonnée réduite


Exercice2

Exercice

2Ω

3Ω

1Ω

2Ω

2Ω

14V

14V

2Ω

3Ω

1Ω

5,25A

3,5A

7A

3,5A

1,75A

2Ω

2Ω

14V

14V

Faire l’analyse par les mailles du circuit illustré.

Cliquer pour la solution.

Équations

2I1 + 2(I1 – I2)= 14

Circuit résolu

2(I2 – I1) + 3I2 +2(I2 – I3)= 0

2(I3 – I2) + 1I3 = 14

Matrice augmentée

Échelonnée

réduite


G n ralisation

Généralisation

a Ω

c Ω

e Ω

2

3

1

b Ω

d Ω

E1V

E2V

E3V

Construire la matrice des mailles du circuit illustré.

Équations

aI1 + b(I1 – I2)= E1

b(I2 – I1) + cI2 +d(I2 – I3)= E2

d(I3 – I2) + eI3 = E3

Remarques

En regroupant :

  • Chaque maille est repré-sentée par une ligne.

  • L’élément sur la diagonale est la somme des résis-tances de la maille.

  • Les éléments hors dia-gonale sont les résistances des branches communes affectées d’un signe –.

(a + b)I1 – bI2 = E1

–bI1 + (b + c + d)I2 –eI3 = E2

–dI2 + (d + e) I3 = E3

L’équation matricielle est :


Exercice3

Exercice

4Ω

2Ω

3Ω

1

2

3

1Ω

3Ω

4Ω

2Ω

3Ω

1

2

3

1Ω

3Ω

14V

10V

25V

Dans le circuit illustré, déterminer les sources de tension et leur sens pour que les courants de maille soient :

I1 = 5 A, I2 = 1 A et I3 = 4 A.

Cliquer pour la solution.

L’équation matricielle est :

Le circuit résolu est :

Les courants sont connus, en substituant et en effectuant le produit, on obtient :


G n ralisation1

Généralisation

E2V

b Ω

2

d Ω

E1V

a Ω

e Ω

1

c Ω

3

E3V

Construire la matrice des mailles du circuit illustré.

Équations

a(I1 – I2)+ c(I1 – I3)= E1

a(I2 – I1) + bI2 +d(I2 – I3)= E2

c(I3 – I1) + d(I3 – I2) + eI3 = E3

Remarques

En regroupant :

  • Chaque maille est repré-sentée par une ligne.

  • L’élément sur la diagonale est la somme des résis-tances de la maille.

  • Les éléments hors dia-gonale sont les résistances des branches communes affectées d’un signe –.

(a + c)I1 – aI2 – cI3 = E1

–aI1 + (a + b + d)I2 –dI3 = E2

–cI1 – dI2 + (c + d + e) I3 = E3

L’équation matricielle est :


Exercice4

Exercice

3Ω

2

2Ω

4Ω

3Ω

1Ω

1

3

10V

3Ω

2

2Ω

4Ω

3Ω

1Ω

1

3

10V

18V

Dans le circuit illustré, déterminer les sources de tension et leur sens pour que les courants de maille soient

I1 = 6 A, I2 = 2 A et I3 = 4 A.

Cliquer pour la solution.

L’équation matricielle est :

Le circuit résolu est :

Les courants sont connus, en substituant et en effectuant le produit, on obtient :


Proc dure d analyse par les mailles

Procédure d’analyse par les mailles

1.Attribuer un nom et un courant distinct de sens horaire à chacune des mailles du circuit et numéroter les mailles.

2.Écrire la matrice des mailles.

Chaque ligne et chaque colonne est associée à une maille.

Chaque élément de la diagonale est la somme des résistances de la maille correspondant à la ligne de cet élément.

Les éléments hors diagonale sont la somme, affectée d’un signe moins, des résistances communes à la maille représentée par la ligne et à celle représentée par la colonne.


Proc dure d analyse par les mailles1

Procédure d’analyse par les mailles

3.Écrire la matrice des tensions.

La constante de l’équation de la maille Mi est la somme algébrique des sources de tension traversée par le courant Ii. Les sources traversées de la borne négative à la borne positive sont affectées du signe positif et celles traversées de la borne positive à la borne négative sont affectées du signe négatif.

4.Résoudre le système d’équations linéaires résultant.

5.Interpréter les résultats selon le contexte (donner le circuit résolu).

Exercices additionnels

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle pour les sciences de la nature, Section 2.4, p. 54 numéros 12 à 15.


Syst mes d quations et analyse de circuits

Bibliographie

BOYLESTAD, Robert L,(1979), Analyse de circuits, introduction, Montréal, ERPI, 716 p.

JACKSON, Herbert W.(1987). Circuits électriques, courant continu, Traduction de Introduction to Electric Circuits 6 édition, Montréal, Éditions Reynald Goulet, 424 p.

OUELLET, Carol (2000). Électricité et magnétisme, Québec, Éditions du Griffon d’argile,368 p.

RIDSDALE, R.E. (1980). Circuits électriques, Montréal, McGraw-Hill, 797 p.

ROSS, André (2003). Algèbre linéaire et géométrie vectorielle pour les sciences de la nature, Québec, Éditions du Griffon d ’argile, 445 p.

ROSS, André (1999). Mathématiques appliquées aux technologies du Génie électrique 1, Québec, Éditions du Griffon d ’argile, 427 p.


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