Download
1 / 10
110 likes | 417 Views
Kwadraty magiczne. Autorzy: Magda Jóźwik Adrianna Prokop.
E N D
Kwadraty magiczne Autorzy: Magda Jóźwik Adrianna Prokop
Kwadraty magiczne znane były Chińczykom i Hindusom przed paru tysiącami lat. Spotyka się amulety chińskie z kwadratami magicznymi, na których jeszcze nie ma cyfr, lecz są odpowiednie ilości nakłuć lub wydrążeń. Znane one były również Arabom w IX wieku naszej ery. Do Europy zaś wprowadził je, a przynajmniej pierwsze zasady ich zestawień wskazał Europejczykom, pewien Grek imieniem Moscopulos, który żył w Konstantynopolu w początkach XV stulecia. Kwadraty magiczne są to kwadraty rozbite na pewną ilość mniejszych kwadracików, czyli pól, w których liczby wypisuje się w ten sposób, że suma liczb w każdym poziomym rzędzie, w każdej pionowej kolumnie i na obu przekątnych jest taka sama. Przedstawiony kwadrat znany był w Chinach już około 2200 roku p.n.e. Suma liczb w kolumnach, wierszach i na obu przekątnych wynosi w tym kwadracie magicznym 15.
Najbardziej historycznym kwadratem magicznym w Europie nazwać można bez wątpienia ten, który widnieje na jednym z arcydzieł pędzla Albrechta Dürera zatytułowanym „Melancholia”. Jest to kwadrat złożony z 16 pól, a zestawiony tak pomysłowo, że dwie środkowe liczby dolnego rzędu dają rok powstania dzieła - 1514. Kwadrat nad skrzydłem anioła
Kwadraty magiczne mają bardzo ciekawe właściwości: • Jeżeli wszystkie liczby, jakie zawiera kwadrat magiczny powiększymy lub zmniejszymy o jedną i tę samą liczbę to kwadrat pozostanie magiczny. dodajemy po 17i otrzymujemy kwadrat: Np. Do każdej liczby w kwadracie: W pierwszym kwadracie suma magiczna, czyli suma liczb poszczególnych rzędów, kolumn oraz przekątnych, wynosi 15; w drugim kwadracie dodajemy do każdej liczby po 17 i suma magiczna wynosi:
Jeżeli pomnożymy lub podzielimy wszystkie jego składniki przez jakąś liczbę to kwadrat pozostanie również magiczny. mnożymy przez 2 i otrzymujemy kwadrat: Np. każdą liczbę w kwadracie
Z dwóch kwadratów możemy otrzymać trzeci kwadrat magiczny przez sumowanie liczb stojących w analogicznych polach: + = Suma magiczna takiego kwadratu równa się sumie sum magicznych obu składników, czyli 15 + 66 = 81.
Kwadrat pozostaje kwadratem magicznym jeżeli poprzestawiamy jego kolumny oraz szeregi leżące symetrycznie względem środka kwadratu. Na przykład: W pierwszym z tych kwadratów przestawiliśmy kolumny pierwszą i czwartą; powstał kwadrat drugi, w którym zachowała się suma wyrazów w każdym wierszu i w każdej kolumnie, ale nie zachowała się suma na przekątnych. Jeśli teraz w drugim kwadracie przestawimy wiersze pierwszy i czwarty, to otrzymamy kwadrat trzeci, już doskonale magiczny.
Suma magiczna każdego kwadratu zestawionego z ciągu arytmetycznego, czyli ciągu kolejnych liczb różniących się między sobą o tę samą liczbę równa się połowie sumy pierwszego i ostatniego wyrazu pomnożonej przez liczbę podziałek boku kwadratu. Przykładem takiego kwadratu jest: Składa się on z odpowiednio ustawionych liczb od 1 do 9 (zatem ustawione rosnąco różnią się między sobą o 1). Wykorzystując wymienioną własność możemy obliczyć sumę:
Istnieją kwadraty, w których możemy mówić o iloczynie magicznym. Kwadrat taki jest zbudowany z liczb naturalnych, tak, że każda z tych liczb jest większa od poprzedniej tyle samo razy, jeśli zostaną one ustawione rosnąco. Przykładem takiego kwadratu jest poniższy: Iloczyn liczb zapisanych w każdej z kolumn, każdym z wierszy oraz na każdej przekątnej wynosi 4096.
