DEDUKTIVNA METODA

1. DEDUKTIVNA METODA SISTEMATSKO I DOSLEDNO POSTUPANJE PRI KOME SE PRIMENJUJU DEDUKTIVNI ZAKLJUČCI SA CILJEM DA SE OTKRIJE ILI DOKAŽE ISTINA

2. Pitanje o početnim premisama dedukcije • Indukcija prve premise dobija opažanjem – a deduktivna metoda polazi od aksioma. • Aksiomisu evidentne, očigledne istine koje se ne dokazuju a same predstavljaju osnovu za primenu DEDUKTIVNE metode.

3. AKSIOMATIKA • Sudovi koji su deduktivno izvedeni iz aksioma su teoreme. • Sistem sudova koji čine aksiomi i teoreme - aksiomatski sistem. • Proučavanje aksiomatskih sistema i aksiomatske metode – aksiomatika. • Aksiomatska metoda se može smatrati deduktivnom metodom u užem smislu

4. ISTORIJAT DEDUKTIVNE METODE

5. Talesiz Mileta (624–547 p.n.e.) • Deduktivno zaključivanje je prvi uveo u upotrebu poznati grčki filozof Tales, u 6. veku pre nove ere, dokazavši nekoliko teorema o podudarnosti trouglova.

6. Pitagora (569–475 BC.) • Za dalji razvoj i popularizaciju deduktivnog metoda veoma zaslužan je bio i Pitagora sa Samosa.

7. Aristotel (384–322 BC.) • Aristotel je u svom “Organonu” odredio suštinu deduktivnog zaključka i dao mu primat u saznanju prvenstvo u nauci.

8. Euklid (325 – 265 g. p. n. e.) • Tvorac prve deduktivne, aksiomatske teorije bio je Euklid. • – ELEMENTI(13 knjiga - Geometrija) • Euklidska geometrija predstavlja model po kome se i danas organizuju matematičke teorije

9. Matematičke teorije = deduktivne teorije • Organizacija svih matematičkih teorija zasniva se na nekim zajedničkim polaznim principima. • Počinje navodjenjem definicija, postulata i aksioma. • Prvo se definišu pojmovi.

10. Prilikom izgradnje bilo koje aksiomatske teorije najpre činimo sledeće: • jedan broj pojmova teorije proglašavamo za osnovne ili primitivne pojmove – pojmove koji se ne definišu; • jedan broj tvrđenja teorije proglašavamo za aksiome – tvrdjenja koja se ne dokazuju; • navodimo pravila logičkog zaključivanja – pravila koja smemo da koristimo pri dokazivanju raznih tvrdjenja u toj teoriji.

11. Zašto se osnovni pojmovi ne definišu a aksiome ne dokazuju? • Razlog je vrlo jednostavan: • Nije moguće sve dokazati, pa se nešto mora ostaviti nedokazanim, i to su aksiome. • Nije moguće sve definisati, pa se nešto mora ostaviti nedefinisano, i to su osnovni pojmovi.

12. Na primer, svaki pokušaj da se sve dokaže doveo bi do pojave • začaranog kruga, (circulus vitiosus), gde bi u dokaz nekog tvrdjenja neposredno ili posredno bilo uključeno i ono samo, ili • beskonačnog regresa – beskonačne hijerarhije novih i novih tvrdjenja neophodnih za dokazivanje onih prethodnih.

13. Definisanje I • Osnovni pojmovi se ne definišu, ali o njima obično postoji jasna intuitivna predstava. • Na primer, skup je osnovni pojam u teoriji skupova, deo i celina su osnovni pojmovi u elementarnoj geometriji, itd. • Ukoliko je teorija aksiomatska, moglo bi se reći i da se osnovni pojmovi ne definišu eksplicitno, ali da su implicitno definisani sistemom aksioma.

14. Definisanje II • Ostali pojmovi se uvode definicijama. • Definicijama se značenje tih pojmova objašnjava uz pomoć osnovnih pojmova i već ranije definisanih pojmova.

15. Primeri definicija - nekih od 23 iz Euklidovih “elemenata”: • Tačka je ono što nema delova. • Linija je dužina bez širine. • Krajevi linije su tačke. • Prava je linija ona, koja za tačke na njoj podjednako leži. • Tup ugao je onaj koji je veći od pravog.

16. Primeri definicija - nekih od 23 iz Euklidovih “elemenata”: • Granica je ono sto je kraj ma čega. • Paralelne su one prave, koje se nalaze u istoj ravni i koje se, produžene beskrajnost na obe strane, ne seku jedna sa drugom.

17. Sa druge strane, teorija se razvija tvrdjenjima, odnosno teoremama. • Teoreme se dokazuju na osnovu pravila zaključivanja, i u dokazima se ne koriste samo aksiome i već i ranije dokazane teoreme. • U dokazivanju se ne koristi iskustvo ili ubedjenje ma koje vrste, već isključivo logička pravila. • To znači da je navedeni metod razvijanja teorije deduktivan:

18. Sa druge strane, teorija se razvija tvrdjenjima, odnosno teoremama. • Novi pojmovi i tvrdnje se izvode ili dedukuju iz već usvojenih, a na osnovu logičkih zakona. • Uvodjenje i upotreba navedenih pojmova i postupaka u matematici se proučava u okviru matematičke logike.

19. Primeri postulataPet postulata iz "Elemenata": Neka se pretpostavi: • 1) Da se moze povuci od svake tacke ka svakoj drugoj tacki prava linija. • 2) Da ogranicena prava moze biti produzena u svom pravcu neprekidno. • 3) Da se moze opisati od svakog sredista svakim rastojanjem krug. • 4) Da su pravi uglovi podudarni medjusobno. • 5) Da ce se, ako jedna prava u preseku sa drugim dvema obrazuje sa iste strane dva unutrasnja ugla ciji je zbir manji od dva prava ugla, te dve prave, beskrajno preduzene, seci i to sa one strane sa koje su ovi uglovi manji od dva prava.

20. Primeri aksioma • 1) Oni koji su jednaki istom, jednaki su medjusobno. • 2) Ako se jednakim dodaju jednaki, celine su jednake. • 3) Ako se od jednakih oduzmu jednaki, ostaci su jednaki. • 4) Ako se nejednakim dodaju jednaki, celine su nejednake.

21. Primeri aksioma • 5) I udvostručeni jednaki, jednaki su medjusobno. • 6) I polovine od jednakih, jednake su medjusobno. • 7) I oni koji se mogu poklopiti jednaki su medjusobom. • 8) I celina je veća od dela. • 9) I dve prave ne ograničavaju oblast.

22. Osobine deduktivne metode: • Neprotivrečnost • Potpunost • nezavisnost aksioma i osnovnih pojmova

23. U čemu je razlika aksioma i postulata? • Tradicionalni - (nedokazive pretpostavke koje nisu neposredno očigledne) • i moderni odgovor logike. (postulati i aksiomi su isto.)