Teoria a molti-corpi della materia nucleare

1. Teoria a molti-corpi della materia nucleare

2. Lezione III • Metodo variazionale per sistemi con interazione • centrale • 2. Metodo variazionale per la materia nucleare • 3. Confronto formale con BBG e CCM • 4. Risultati per l’ equazione di stato (EoS) della • materia neutronica • 5. Risultati per la EoS della materia nucleare

3. Introduzione Il metodo variazionale e’ stato introdotto sin dagli inizi dello sviluppo della meccanica quantistica. Esso si basa sul principio di Ritz, secondo cui il valor medio dell’ hamiltoniana (“funzionale dell’ energia”) e’ stazionario per variazioni attorno agli autovettori per una variazione arbitraria di In particolare lo stato fondamentale sara’ lo stato di energia minima. Se si restringe la ricerca della stazionarieta’ in un sottospazio ristretto si otterra’ un’ approssimazione allo stato fondamentale che ottimizza l’ energia. Un esempio storico e’ il caso dell’ atomo di He. L’ approssimazione di particelle indipendenti darebbe come stato fondamentale il prodotto (antisimmetrizzato) di due orbitali idrogenoidi (identici ma di spin opposto). Un miglioramento si puo’ ottenere moltiplicando tale funzione d’ onda per una funzione di correlazione che faccia diminuire la probabilta’ che i due elettroni siano vicini, per tenere conto della repulsione coulombiana ed esprimere la funzione di correlazione in termini di parametri da determinare minimizzando l’ energia.

4. The variational method in its practical form The problem of non-central correlations

5. Channel dependent correlation factors The pair distribution function

6. Caso di un sistema di bosoni con interazione centrale In questo caso la funzione d’ onda dello stato fondamentale imperturbato e’ semplicemente una costante e la funzione d’ onda di prova e’ dunque somma su ij estesa alle coppie distinte di particelle Il valor medio dell’ energia cinetica si puo’ esprimere in termini della fattore di correlazione e della funzione di distribuzione g(r) L’ energia cinetica e’ influenzata dalle correlazioni, come ci si aspetta in base alla variazione dei numeri di occupazione. Tuttavia questo indica una diversita’ rispetto allo sviluppo BBG, dove l’ energia cinetica e’ eguale a quella imperturbata a qualunque ordine dello sviluppo. Per quanto riguarda il valor medio del potenziale, il prodotto che rappresenta il quadrato della funzione d’ onda si puo’ scrivere e si possono ordinare i termini dello sviluppo secondo il numero di fattori h (“dynamical correlation factor”) che in essi compaiono

7. E’ conveniente usare una rappresentazione diagrammatica dei diversi termini. Innanzitutto le coordinate che compaiono nell’ interazione devono essere isolate dalle altre e l’ interazione stessa sara’ rappresentata da Da tenere presente che l’ interazione e’ simmetrica nelle coordinate e quindi e’ sufficiente fare il calcolo per una particolare coppia di particelle (diciamo 1-2) e moltiplicare il risultato per il numero di coppie N(N-1)/2. Si puo’ poi introdurre un simbolo per ciascun fattore di correlazione Tutti i termini che si ottengono dallo sviluppo, sia al numeratore che al denominatore del valor medio dell’ interazione, si possono rappresentare mediante diagrammi composti da questi due simboli. Vertici (cerchi pieni) in comune corrispondono a variabili eguali. In ogni caso si puo’ tener conto della simmetria nelle coordinate dell’ interazione totale.

8. Caso di un sistema di bosoni con interazione centrale isomorfo al “virial expansion” classico. Termini sconnessi : prodotti di termini indipendenti Termini riducibili : quelli con un punto di “articolazione” Come integrali sono ancora prodotti di integrali indipendenti

9. Classificazione dei diagrammi (termini dello sviluppo) Nodali Semplici Elementari Irriducibili Composti Teorema : all’ energia e alla funzione di distribuzione g(r) contribuiscono solo i diagrammi connessi e irriducibili, quelli riducibili o sconnessi si cancellano identicamente. (similarita’ con il teorema “linked-cluster”)

10. Chain summations E + + + . . . . . . g(r) + + + . . . . . . + + + . . . . . . Se chiamiamo N questa somma, si ha N _ Equazione integrale per N Integrale sulle variabili ripetute N =

11. Somma dei diagrammi composti . . . . . . . + + N N N . . . . . . . X = + N N N N N . . . . . . . + + N N N (1 + h) NxN/2! (1 + h)NxNxN/3!

12. Equazioni chiuse per N ed X in assenza di diagrammi elementari Generalizzando la precedente equazione integrale per N Si ottengono cosi’ due equazioni integrali (non lineari) accoppiate che permettono di ottenere si N che X e quindi g(r), che, con analogo ragionamento si trova avere l’ espressione Da notare che, essendo le equazioni integrali delle convoluzioni, si puo’ adoperare il metodo della trasformata di Fourier. E i diagrammi elementari ? Presto fatto ! HNC/0 HNC/1 HNC/2 ………….

13. Minimizzazione dell’ energia Una volta che si e’ espresso o calcolato la funzione di distribuzione g(r) in termini del fattore di correlazione, si deve minimizzare il funzionale dell’ energia. Questo in principio dovrebbe condurre ad equazioni di Eulero-Lagrange per f . A livello HNC/0 si trova • dove e’ direttamente collegato al fattore di struttura statico, che a sua • volta si esprime in termini della funzione di distribuzione g(r) . • Significato fisico ? • Esprime l’ effetto del mezzo sull’ interazione particella – particella • e tiene conto principalmente delle correlazioni a lungo range (“schermaggio”) • 2. Le equazioni di Eulero Lagrange tengono conto delle correlazioni a corto range • In generale i diagrammi elementari esprimono correlazioni a corto range A.D. Jackson et al., Phys. Rep. 86 (1982) 55

14. Caso di Fermioni con interazione centrale In questo caso la funzione d’ onda dello stato imperturbato e’ un determinnante di Slater. Il modulo quadro di un determinante di Slater e’ ancora un determinante di Slater

15. Nel caso di Fermioni si hanno pertanto due tipi di fattori, uno statistico dovuto al principio di Pauli, ed uno di correlazione. Il primo contiene la statistica per la sua forma e per il fatto che e’ un prodotto antisimmetrizzato. Si puo’ ancora sviluppare la funzione d’ onda ed ordinare i vari termini in base al numero di fattori sua statistici che “dinamici”. I diagrammi conterranno pertanto due tipi di linee, uno che rappresentera’ un fattore ed uno il fattore usuale di correlazione Anche per Fermioni rimangono solo i diagrammi irriducibili. Si possono ancora classificare i diagrammi come nodali, composti, elementari etc. Un ‘ ulteriore classificazione riguarda i tipi di linee che si originano dai punti fissi esterni ( per la funzione di distribuzione g(r) ). Ci sono quattro classi di diagrammi , a seconda del tipo di fattori statistici che compaiono su tali linee. d d e d e e c c “Chain summations” si possono ottenere anche in questo caso per mezzo di equazioni integrali accoppiate, mentre di nuovo i diagrammi elementari devono essere calcolati a parte ( FHNC ).

16. Il caso della materia nucleare I fattori di correlazione devono essere in questo caso degli operatori, con la stessa struttura dell’ interazione NN (spin-spin, tensore, etc….). Questo complica molto la teoria. In particolare non e’ piu’ possibile sommare tutte le serie di “hypernetted chain” in maniera chiusa, ma solo alcune sotto-serie, ad esempio quelle che selezionano solo un particolare operatore, le “single operator chain” ( SOC ). I diagrammi elementari sono complessi perche’ includono molte combinazioni operatoriali. PRC66(2002)0543308

17. Possibili connessioni tra BBG e metodo variazionale

18. Alternative methods A link between BBG and variational method

19. Structure of the wave function in CCM

20. The energy in the CCM scheme

21. The CCM scheme from the variational principle Problem of the hard core

22. Incorporating the “G-matrix” in the CCM scheme

23. Summary of the formal comparison • The CCM and BBG are essentially equivalent, which indicates that the • w.f. is of the type , if one gets the Brueckner approximation Once the single particle potential is introduced, the methods are not variational at a given truncation. • The main differences in the variational method • a) The correlation factors are local and momentum independent • (eventually gradient terms). • b) No single particle mean field is introduced, so that the meaning • of “clusters” is quite different • c) Chain summations include long range correlations • Short range 3-body cluster calculated in PRC 66 (2002) 0543308

24. Pure neutron matter Two-body forces only. E/A (MeV)) density (fm-3) Comparison between BBG (solid line) Phys. Lett. B 473,1(2000) and variational calculations (diamonds) Phys. Rev. C58,1804(1998)

25. E/A (MeV) density(fm-3) Including TBF and extending the comparison to “very high” density. CAVEAT : TBF are not exactly the same.

26. Confronting with “exact” GFMC for v6 and v8 Variational and GMFC : Carlson et al. Phys. Rev. C68, 025802(2003) BBG : M.B. and C. Maieron, Phys. Rev. C69,014301(2004)

27. Neutron and Nuclear matter EOS. Comparison between BBG and variational method.

28. ThebaryonicEquationsofState HHJ : Astrophys. J. 525, L45 (1999 BBG : PRC 69 , 018801 (2004) AP : PRC 58, 1804 (1998)

29. Summary for the nucleonic EOS • Similarities and differences between variational and BBG • At v6-v8 level excellent agreement between var. and BBG • as well as with GFMC (at least up to 0.25 fm-3) • for neutron matter. • For the full interaction (Av18) good agreement between • var. and BBG up to 0.6 fm-3 (symmetric and neutron • matter). • 4. The many-body treatment of nuclear matter EOS can be • considered well understood. Main uncertainity is TBF at high • density (above 0.6 fm-3).

30. Il metodo Dirac-Brueckner Equazione di Bethe-Salpeter Three-dimensional reduction an projection on positive energy states

31. Decomposizione in onde parziali usando stati di elicita’ Esistono sei ampiezze invarianti che soddisfano sei equazioni integrali accoppiate Equazione di Dirac nel mezzo nucleare

32. Contributo “saturante” degli effetti relativistici

33. Gli spinori di Dirac sono “ruotati” nella materia nucleare. Questo introduce una componenete di anti-nucleone che genera una forza a tre corpi se espressa negli spinori imperturbati nel vuoto.

34. Lezione IV • Implicazioni per le stelle di neutroni • 2. Cenni sulla fase superfluida • 3. Indicazioni sulla EoS da dati osservativi e da • collisioni fra ioni pesanti • 4. Confronto con EoS fenomenologiche • 5. Formulazione relativistica, l’ approssimazione • Dirac-Brueckner • 6. Transizione alla fase di quark, modelli per la fase • deconfinata