Lógica para Computação

1. Lógica para Computação Luciana Conceição Dias Campos UFJF EADDCC003-2011.1

2. Raciocínio Lógico • O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas e melhor os prepara para o entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados. • Este material constitui uma INTRODUÇÃO À LÓGICA ELEMENTAR CLÁSSICA, procurando alcançar os objetivos gerais e específicos propostos pela disciplina Lógica para Computação.

3. Proposições Lógicas • Proposição: • É toda expressão, isto é, todo conjunto de palavras ou símbolos, que possui um significadoao qual podemos atribuir um valor lógico. • Proposição: • É toda expressão, isto é, todo conjunto de palavras ou símbolos, que possui um significado ao qual podemos atribuir um valor lógico. • Valor Lógico: • É um valor atribuído a uma proposição lógica. • Diz-se que o valor lógico de uma proposição é “verdade” (representado por V) se a proposição é verdadeira e “falsidade” (representado por F) se a proposição é falsa.

4. Proposições Lógicas • Princípio da não contradição e do 3o excluído : • Princípio da não contradição • Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. • Princípio do 3o excluído • Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. • Assim, esses princípios afirmam que: • Toda proposição tem um, e um só, dos valores: • Vou F

5. Proposições Lógicas • Exemplos: • A Lua é um satélite. • 2+3 = 5 • Recife • Quem descobriu o Brasil? a) e b) são exemplos de Proposições Lógicas - Porque elas têm sentido completo e é possível atribuir um valor lógico para o seu significado. a) e b) são exemplos de Proposições Lógicas • c) e d) NÂO são exemplos de Proposições Lógicas • Porque Não são declarações e portanto não é possível atribuir um valor lógico para o seu significado. c) e d) NÂO são exemplos de Proposições Lógicas

6. Sentença Lógica e Proposição Lógica • Sentença Lógica é a maneira de expressar uma Proposição Lógica. • Portanto: • Uma Proposição Lógica pode vir representada por diferentes sentenças

7. Sentença Lógica e Proposição Lógica • Exemplos de sentenças lógicas: • Dante escreveu Os Lusíadas. • Não é verdade que Dante não escreveu Os Lusíadas. Na letra a) a frase apresenta uma afirmação. Que tem o mesmo significado da letra b) onde a frase apresenta uma dupla negação. Logo, as duas sentenças lógicas representam a mesma proposiçãológica. Portanto ATENÇÃO: Negar duas vezes é o mesmo que Afirmar. • Então: • Proposição é a idéia. • Sentença é a forma de se expressar essa idéia.

8. Representação de Proposição Lógica • Existem 3 maneiras de se representar uma Proposição Lógica: • Linguagem Natural • Carlos é Careca • Forma Simbólica • As proposições são designadas pelas letras latinas. • Geralmente: p, q, r, s, etc. Portanto p = Carlos é Careca

9. Representação de Proposição Lógica • Existem 3 maneiras de se representar uma Proposição Lógica: • Diagrama/Gráfico Lógico: • Seja A o conjunto dos carecas • Então a proposição p = Carlos é careca é representada no diagrama: Portanto ATENÇÃO: Quem está no interior de A é careca. Já quem está fora de A nãoé careca. A p

10. Proposição simples X Proposição composta • Proposição Simples • Chama-se proposição simples ou fórmula atômicaaquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. • Geralmente utiliza-se letras latinas minúsculas para designar as proposições simples. • Exemplo: • q: Pedro é estudante • r: o número 25 é quadrado perfeito

11. Proposição simples X Proposição composta • Proposição Composta • Chama-se proposição composta ou fórmula molecular aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. • Geralmente utiliza-se letras latinas maiúsculas para designar as proposições compostas. • Exemplo: • Carlos é careca e Pedro é estudante Proposição Composta S p q Proposição Simples

12. Proposição Composta • Portanto: • Uma proposição composta é a ligação ou conexão de duas ou mais proposições simples com o objetivo de transmitir uma idéia ou fornecer um significado ao qual se atribui um valor lógico.

13. Tabela Verdade ou Tabela de Verdade • Valor Lógica de uma Proposição Composta • O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado. • Geralmente, utiliza-se a tabela-verdade para verificar todos os possíveis valores lógicos de uma proposição composta. • Pelo princípio do terceiro excluído, sabemos que uma proposiçãosimples é verdadeira ou falsa:

14. Tabela Verdade ou Tabela de Verdade • Valor Lógica de uma Proposição Composta • Se uma proposição é composta por n proposições simples então teremos 2n atribuições possíveis. • Exemplo: • O sol é uma estrela e a neve é branca. p n = 2 então tem-se 22 = 4 atribuições possíveis: 3ª combinação possível 2ª combinação possível 1ª combinação possível 4ª combinação possível V F V F V F F V q

15. Operações Lógicas • Operações Lógicas são operações realizadas sobre proposições, obedecendo a regras de um cálculo denominado Cálculo Proposicional. • As proposições simples (também chamadas de fórmulas atômicas) podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos. • Portanto, os conectivos lógicos são responsáveis pela formação de proposições a partir de proposições.

16. Conectivos Lógicos • As proposições podem ser conectadas através dos • seguintes conectivos : • Negação (não ou NOT): ~ ou ! ou ¬ • Conjunção (“e” ou AND): ∧ • Disjunção (“ou” ou OR): ∨ • Disjunção Exclusiva (“ou exclusivo” ou XOR):  • Condicional ( “implica” ou “se-então”): → • Bi-condicional ( “se e somente se”):

17. Conectivos Lógicos • Negação (não ou NOT): ~ ou ! ou ¬ Seja a proposição p: Pedro é estudante. Seja A o conjunto de estudantes. ~p A p Então, a negação de p é dado por ~p: Pedro não é estudante. V F F V A tabela verdade é dada por: Se p for verdadeiro, então ~p é falso V F Se p for falso, então ~p é verdadeiro F V

18. Conectivos Lógicos • Conjunção (“e” ou AND): ∧ Sejam as proposições simples: p: O sol é uma estrela. q: Roma é um país. A conjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O sol é uma estrela eRoma é um país. R = p ∧ q O valor da conjunção é dado pela tabela verdade: A representação da conjunção por diagrama lógico: A B 1ª combinação. V V V p R q A região em que as duas proposições são verdadeiras é na interseção dos conjuntos A e B. V V 2 1 3 4 Interseção de A e B: A ∩ B

19. Conectivos Lógicos • Conjunção (“e” ou AND): ∧ Sejam as proposições simples: p: O sol é uma estrela. q: Roma é um país. A conjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O sol é uma estrela eRoma é um país. R = p ∧ q O valor da conjunção é dado pela tabela verdade: A representação da conjunção por diagrama lógico: A B 1ª combinação. V V V p R q 2ª combinação. V F V F V V F 2 1 3 No conjunto A apenas p é verdadeiro. Como está fora da região de interseção, a conjunção é falsa. 4 Interseção de A e B: A ∩ B

20. Conectivos Lógicos • Conjunção (“e” ou AND): ∧ Sejam as proposições simples: p: O sol é uma estrela. q: Roma é um país. A conjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O sol é uma estrela eRoma é um país. R = p ∧ q O valor da conjunção é dado pela tabela verdade: A representação da conjunção por diagrama lógico: A B 1ª combinação. V V V p R q 2ª combinação. V F V F V V F V F 2 1 3 3ª combinação. V F F 4 No conjunto B apenasq é verdadeiro. Fora da região de interseção, a conjunção é falsa. Interseção de A e B: A ∩ B

21. Conectivos Lógicos • Conjunção (“e” ou AND): ∧ Sejam as proposições simples: p: O sol é uma estrela. q: Roma é um país. A conjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O sol é uma estrela eRoma é um país. R = p ∧ q O valor da conjunção é dado pela tabela verdade: A representação da conjunção por diagrama lógico: A B 1ª combinação. V V V p R q 2ª combinação. V F V F V V F V F 2 1 3 F F 3ª combinação. V F F 4 4ª combinação. F F F Interseção de A e B: A ∩ B Fora dos conjuntos A e B as proposições p e q são falsas. Fora da interseção, a conjunção é falsa.

22. Conectivos Lógicos • Disjunção (“ou” ou OR): ∨ Sejam as proposições simples: p: O enxofre é verde. q: 7 é um número primo. A disjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O enxofre é verde ou7 é um número primo. R = p ∨ q O valor da disjunção é dado pela tabela verdade: A representação da disjunção por diagrama lógico: A B 1ª combinação. p q V V V p R q A região onde as duas proposições são verdadeiras está dentro da união dos conjuntos A e B. V V 2 1 3 4 União de A e B: A B

23. Conectivos Lógicos • Disjunção (“ou” ou OR): ∨ Sejam as proposições simples: p: O enxofre é verde. q: 7 é um número primo. A disjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O enxofre é verde ou7 é um número primo. R = p ∨ q O valor da disjunção é dado pela tabela verdade: A representação da disjunção por diagrama lógico: A B 1ª combinação. p q V V V p R q 2ª combinação. V F V F V V V 2 1 3 No conjunto A apenas p é verdadeiro. Como está dentro da região de união, a disjunção é verdadeira. 4 União de A e B: A B

24. Conectivos Lógicos • Disjunção (“ou” ou OR): ∨ Sejam as proposições simples: p: O enxofre é verde. q: 7 é um número primo. A disjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O enxofre é verde ou7 é um número primo. R = p ∨ q O valor da disjunção é dado pela tabela verdade: A representação da disjunção por diagrama lógico: A B 1ª combinação. p q V V V p R q 2ª combinação. V F V F V V F V V 2 1 3 3ª combinação. V V F 4 No conjunto B apenasq é verdadeiro. Dentro da união a disjunção é verdadeira. União de A e B: A B

25. Conectivos Lógicos • Disjunção (“ou” ou OR): ∨ Sejam as proposições simples: p: O enxofre é verde. q: 7 é um número primo. A disjunção dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: O enxofre é verde ou7 é um número primo. R = p ∨ q O valor da disjunção é dado pela tabela verdade: A representação da disjunção por diagrama lógico: A B 1ª combinação. p q V V V p R q 2ª combinação. V F V F V V F V V 2 1 3 3ª combinação. V V F F F 4 4ª combinação. F F F União de A e B: A B Fora dos conjuntos A e B as proposições p e q são falsas. Fora da união, a disjunção é falsa.

26. Conectivos Lógicos • 4. Disjunção Exclusiva (“ou exclusivo” ou XOR):  Sejam as proposições simples: p: O cachorro é fêmea. q: O cachorro é macho. A disjunção exclusiva dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: ou o cachorro é fêmea ouo cachorro é macho. R = pq O valor da disjunção exclusiva é dado pela tabela verdade: A representação da disjunção exclusiva por diagrama lógico: A B R R 1ª combinação. p q V V F p q No ou exclusivo ou o elemento pertence ao conjunto A ou ao B. Nunca pertence aos dois conjuntos ao mesmo tempo. V V 2 1 3 4 Não inclui a interseção entre os conjuntos A e B

27. Conectivos Lógicos • 4. Disjunção Exclusiva (“ou exclusivo” ou XOR):  Sejam as proposições simples: p: O cachorro é fêmea. q: O cachorro é macho. A disjunção exclusiva dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: ou o cachorro é fêmea ouo cachorro é macho. R = pq O valor da disjunção exclusiva é dado pela tabela verdade: A representação da disjunção exclusiva por diagrama lógico: A B R R 1ª combinação. p q V V F p q 2ª combinação. V F V F V V V 2 No conjunto A apenasp é verdadeiro. Como apenas um elemento é verdadeiro, a disjunção exclusiva é verdadeira. 1 3 4 Não inclui a interseção entre os conjuntos A e B

28. Conectivos Lógicos • 4. Disjunção Exclusiva (“ou exclusivo” ou XOR):  Sejam as proposições simples: p: O cachorro é fêmea. q: O cachorro é macho. A disjunção exclusiva dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: ou o cachorro é fêmea ouo cachorro é macho. R = pq O valor da disjunção exclusiva é dado pela tabela verdade: A representação da disjunção exclusiva por diagrama lógico: A B R R 1ª combinação. p q V V F p q 2ª combinação. V F V F V V F V V 2 1 3 3ª combinação. V V F 4 No conjunto B apenasq é verdadeiro. Portanto a disjunção exclusiva é verdadeira. Não inclui a interseção entre os conjuntos A e B

29. Conectivos Lógicos • 4. Disjunção Exclusiva (“ou exclusivo” ou XOR):  Sejam as proposições simples: p: O cachorro é fêmea. q: O cachorro é macho. A disjunção exclusiva dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: ou o cachorro é fêmea ouo cachorro é macho. R = pq O valor da disjunção exclusiva é dado pela tabela verdade: A representação da disjunção exclusiva por diagrama lógico: A B R R 1ª combinação. p q V V F p q 2ª combinação. V F V F V V F V V 2 1 3 3ª combinação. V V F F F 4 4ª combinação. F F F Não inclui a interseção entre os conjuntos A e B Fora dos conjuntos A e B as proposições p e q são falsas. Assim, a disjunção exclusiva é falsa.

30. Conectivos Lógicos • Condicional ( “implica” ou “se-então”): → Sejam as proposições simples: p: Pedro estuda. q: Pedro foi aprovado. A condicional dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: Se Pedro estudar entãoele será aprovado. R = p→q • p é dito antecedente da condicional. • q é dito conseqüente da condicional. O valor da condicional é dado pela tabela verdade: 10 caso: Pedro estudou e foi aprovado. A condicional obriga que Se Pedro estudar ele terá que ser aprovado, então podemos concluir que a condicional é verdadeira. V V V Isto é, se é verdade que Pedro estudou, então necessariamente é verdade que ele será aprovado.

31. Conectivos Lógicos • Condicional ( “implica” ou “se-então”): → Sejam as proposições simples: p: Pedro estuda. q: Pedro foi aprovado. A condicional dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: Se Pedro estudar entãoele será aprovado. R = p→q • p é dito antecedente da condicional. • q é dito conseqüente da condicional. O valor da condicional é dado pela tabela verdade: 20 caso: Pedro estudou e não foi aprovado. A condicional afirma que o fato de Pedro ter estudado é condição suficiente para que se torne um resultado necessário que ele seja aprovado. Caso isso não ocorra, a condicional é falsa. V V V V F F

32. Conectivos Lógicos • Condicional ( “implica” ou “se-então”): → Sejam as proposições simples: p: Pedro estuda. q: Pedro foi aprovado. A condicional dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: Se Pedro estudar entãoele será aprovado. R = p→q • p é dito antecedente da condicional. • q é dito conseqüente da condicional. O valor da condicional é dado pela tabela verdade: 30 caso: Pedro não estudou e foi aprovado. A condição suficiente para q é p, nada é dito em relação a ~p. Por isso, a condicional é verdadeira. V V V V F F F V V

33. Conectivos Lógicos • Condicional ( “implica” ou “se-então”): → Sejam as proposições simples: p: Pedro estuda. q: Pedro foi aprovado. A condicional dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: Se Pedro estudar entãoele será aprovado. R = p→q • p é dito antecedente da condicional. • q é dito conseqüente da condicional. O valor da condicional é dado pela tabela verdade: 40 caso: Pedro não estudou e não foi aprovado. Como a condição é fundamentada em p e não em ~p, a condicional é verdadeira. V V V V F F F V V F F V

34. Conectivos Lógicos • Condicional ( “implica” ou “se-então”): → Sejam as proposições simples: p: Pedro estuda. q: Pedro foi aprovado. A condicional dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: Se Pedro estudar entãoele será aprovado. R = p→q • p é dito antecedente da condicional. • q é dito conseqüente da condicional. A representação da condicional por diagrama lógico: O valor da condicional é dado pela tabela verdade: A B p q R q 2 1 V V V 3 4 V F F F V V F F Não é válida a região onde o conseqüente é falso. V

35. Conectivos Lógicos • Bi-condicional ( “se e somente se”): Sejam as proposições simples: p: Tales é filho de Wilson. q: Tales é neto de Pedro. A bi-condicional dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: Tales é filho de Wilson se e somente seele for neto de Pedro. R = p q • p é dito condição necessária e suficiente para q. • q é dito condição necessária e suficiente para p. O valor da bi-condicional é dado pela tabela verdade: Portanto, a bi-condicional será verdadeira quando antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Logo, a bi-condicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem forem diferentes. V V V V F F F V F F F V

36. Conectivos Lógicos • Bi-condicional ( “se e somente se”): Sejam as proposições simples: p: Tales é filho de Wilson. q: Tales é neto de Pedro. A bi-condicional dessas proposições forma a seguinte proposição composta: R: Tales é filho de Wilson se e somente seele for neto de Pedro. R = p q A representação da bi-condicional por diagrama lógico: O valor da bi-condicional é dado pela tabela verdade: A B R p q V V V V F F F V F Não são válidas as regiões onde o antecedente ou o conseqüente é falso. F F V