2.2 线性规划的对偶定理

1. 2.2 线性规划的对偶定理 • 为了便于讨论，下面不妨总是假设 2.2.1 弱对偶定理 定理 对偶问题(min)的任何可行解Y0，其目标函数值总是不小于原问题(max)任何可行解X0的目标函数值

2. 弱对偶定理推论 • max问题的任何可行解目标函数值是其对偶min问题目标函数值的下限； min问题的任何可行解目标函数值是其对偶max问题目标函数值的上限 • 如果原max(min)问题为无界解，则其对偶 min (max)问题无可行解 • 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min (max)问题无可行解，则原问题为无界解 • 注：有可能存在原问题和对偶问题同时无可行解的情况

3. 2.2.2 最优解判别定理 定理 若原问题的某个可行解X0的目标函数值与对偶问题某个可行解Y0的目标函数值相等，则X0, Y0分别是相应问题的最优解 证：由弱对偶定理推论1，结论是显然的。 即CX0= Y0b  CX, Y0b = CX0 Yb。 证毕。 • 2.2.3 主对偶定理 • 定理 如果原问题和对偶问题都有可行解，则它们都有最优解，且它们的最优解的目标函数值相等。 • 证：由弱对偶定理推论1可知，原问题和对偶问题的目标函数有界，故一定存在最优解。 • 现证明定理的后一句话。

4. 主对偶定理的证明 证：现证明定理的后一句话。 设 X0 为原问题的最优解，它所对应的基矩阵是 B， X0= B1b，则其检验数满足 C  CBB1A  0 令 Y0=CBB1，则有 Y0A  C ；而对原问题松弛变量的检验数有 0 CBB1I  0，即 Y0 0。 显然Y0为对偶问题的可行解。因此有对偶问题目标函数值， g(Y0)=Y0b= CBB1b 而原问题最优解的目标函数值为 f(X0)=CX0= CBB1b 故由最优解判别定理可知Y0为对偶问题的最优解。证毕。 • 该定理的证明告诉我们一个非常重要的概念：对偶变量的最优解等于原问题松弛变量的机会成本 • 即对偶变量的最优解是原问题资源的影子价格

5. 2.2.4 互补松弛定理 定理 设X0, Y0分别是原问题和对偶问题的可行解，U0为原问题的松弛变量的值、V0为对偶问题剩余变量的值。X0, Y0分别是原问题和对偶问题最优解的充分必要条件是 Y0U0 +V0 X0 = 0 证：由定理所设，可知有 A X0 + U0 = b X0, U0 0 (1) Y0 A V0= C Y0, V0 0 (2) 分别以Y0左乘(1)式，以X0右乘(2)式后，两式相减，得 Y0 U0 + V0 X0= Y0 b C X0 若 Y0 U0 + V0 X0= 0，根据最优解判别定理， X0, Y0分别是原问题和对偶问题最优解。反之亦然。 证毕。

6. 2.2.4 互补松弛定理 Y0U0 +V0 X0 = 0 有什么应用 • 若(Y0)i >0，则 (U0)i =0，意味着原问题第 i约束行必须为 = 约束；对(X0)i >0 亦如此 • 可用来简化问题的求解 • 线性规划的高级算法：利用互补松弛定理，原问题与对偶问题同时解 • 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优解

7. 2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解 • 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松弛变量检验数的绝对值 • 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题对应变量的检验数的绝对值 • 由于原问题和对偶问题是相互对偶的，因此对偶问题的检验数与原问题的解也有类似上述关系。 • 更一般地讲，不管原问题是否标准，在最优解的单纯型表中，都有原问题虚变量(松弛或剩余) 的机会成本对应其对偶问题实变量(对偶变量)的最优解，原问题实变量(决策变量) 的检验数对应其对偶问题虚变量(松弛或剩余变量)的最优解。因此，原问题或对偶问题只需求解其中之一就可以了。

8. 例2.2.3 原问题检验数与对偶问题的解