Prevedere il futuro

1. Prevedere il futuro Domanda:E’ possibile prevedere il futuro? Oroscopi? Cartomanzia? Tarocchi? Divinazione? Metodo Deterministico: Causa (passato) Effetto (futuro)

2. Il Futuro! Esempi: • La posizione di qualcosa nello spazio: una pallina, noi, un aereo, un treno, un soldato, un atomo, etc.. • La grandezza di una certa quantità: denaro, numero di gol segnati da una squadra, popolazione totale, calore, pioggia, cibo, petrolio, amore, guerra, etc… 3. Combinazioni dei precedenti.

3. Come fare? Analizziamo il problema: - Quantità da determinare: che chiameremo (ovviamente) X(t). - Luogo in cui formulare il problema: ovvero numero di variabili (e loro eventuali relazioni) che occorrono per descrivere X(t). - Cosa considerare una risposta accettabile. - Quali sono i dati noti che abbiamo a disposizione. - Modellizzare: descrivere la variazione di X(t) in base ad osservazioni fisiche e congetture mediante i dati a disposizione. - Risoluzione del modello: calcolo. - Verifica della predizione con la realtà.

4. Esempio 1: Popolazione umana Domanda:la popolazione umana aumenterà all’infinito? L’incremento della popolazione nel tempo dipende solo dalla popolazione stessa (più siamo..più ci riproduciamo!)

5. Esempio 1: Popolazione umana in formule: se X(t) indica la popolazione al tempo t, allora la variazione dal tempo t al tempo t+h è data da X(t+h)-X(t)=KhX(t) Facendo tendere l’incremento h a zero X’(t)=KX(t) Equazione differenziale in cui l’incognita è una funzione, non un numero! E in più deve essere una funzione derivabile.

6. Esempio 1: Popolazione umana La soluzione è NO Modello Errato! X(t)=X(0)exp(K t) Dunque, se K>0, la popolazione cresce in modo esponenziale! Abbiamo davvero risposto alla nostra domanda? Domanda:la popolazione umana aumenterà all’infinito? No! Confrontando i dati reali si ottengono risultati diversi da quelli predetti.

7. Esempio 1: Popolazione umana Quale errore abbiamo fatto? 1- le scorte di cibo NON sono infinite! 2- ci sono fattori esterni, proporzionali alla grandezza della popolazione che contribuiscono alla diminuzione della popolazione stessa. Ad esempio, smog, guerre, malattie… Per considerare 1+2, si può assumere che la variazione della popolazione, X’(t), sia proporzionale alla popolazione, ma il fattore di proporzionalità, K, dipende dal tempo. Ovvero, X’(t)=K(t) X(t).

8. Esempio 1: Popolazione umana La soluzione dell’equazione X’(t)=K(t)X(t) dipende ovviamente da K(t). Ad esempio, in prima approssimazione, possiamo supporre che la popolazione decresca (a causa di smog, fame, guerra, etc..) quando raggiunge un certo valore A. Ovvero, in formule K(t)=C (A-X(t)) La soluzione diventa complicata!

9. Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi Domanda:Possiamo trovare le radici di un polinomio a coefficienti reali? p(x)=ad xd+ ··· +a1x+a0. (xcè una radice se p(xc)=0) Cioè: dare delle formule generali (da scrivere nei bigliettini per i compiti..) che esprimono le radici tramite i coefficienti del polinomio. Esistono solo per polinomi di secondo, terzo e quarto grado; formule analoghe per polinomi di grado 5 o più non esistono. (non è che non me le ricordo, proprio non ci sono!)

10. Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi Idea di Newton (diciassettesimo secolo): trovare un procedimento che applicato a un numero qualsiasi x0 fornisca un nuovo numero x1più vicino a essere una radice di quanto non fosse x0.. Ripetendo il procedimento partendo da x1 (e poi da x2, e poi da x3, e così via) si spera di riusciread approssimare una radice del polinomio con la precisione che si desidera.

11. Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi Algoritmo di Newton: dato il polinomio p(x)e il tentativo iniziale x0, tracciamo la tangente al grafico di p nel punto (x0, p(x0)), e prendiamo come x1l’ intersezione della tangente con l’asse delle ascisse. In formula: x1=x0 – p(x0)/p0(x0), dove p0(x0) è la derivata di p calcolata in x0. (annuisci che la tua prof di matematica ti guarda)

12. Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi xc x1 x0 x2 p(x) = - x5 + 1.6 x3 - 0.5

13. Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi Domanda: ma il metodo di Newton funziona? • Risposta di Newton: Sì, basta scegliere un valore x0abbastanza vicino a una radice. • Osservazione(sagace) di Cayley (due secoli dopo):ma se non sappiamo dove sono le radici come facciamo a essere sicuri di partire abbastanza vicini a una di esse? • E poi, cosa significa abbastanza vicini?

14. Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi Riformulazione di Cayley:consideriamo la funzione razionale f (x)=x – p(x)/p0(x). Preso un numero complessox0, poniamo x1=f (x0)e, più in generale, xn=f (xn–1). Se la successione{xn} converge a un numero xc, necessariamente(no?) dev’essere f (xc )=xc; e questo può succedere se e solo se p(xc) = 0, cioè se e solo se xc è una radice di p. Quindi la domanda è: per quali valori di x0la successione {xn} converge?

15. Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi Risposta di Cayley: sepè un polinomio di secondo grado, la risposta è facile. L’unicox0da escludere è quello in cui la derivata dipsi annulla (per cuif (x0)definita), e che è il punto medio del segmento individuato dalle due radici. Partendo a sinistra del punto medio il procedimento converge alla radice più piccola; partendo a destra converge alla radice più grande. [Nel piano complesso bisogna escludere l’asse del segmento congiungente le due radici; e partendo in ciascun semipiano il procedimento converge alla radice contenuta in quel semipiano.]

16. Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi Ma Cayley non riuscì a capire cosa succedeva con polinomi di terzo grado (o di grado maggiore). I punti medi e gli altri concetti di geometria euclidea non sembravano essere di alcuna utilità. Non riuscì neppure a capire quali domande doveva porsi sull’insieme dei valori per cui il metodo di Newton funzionava!

17. Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi p(x) =x3 – 1

18. Sistemi dinamici deterministici In entrambi gli esempi abbiamo un sistema dinamico, ovvero un processo che prende un punto (in uno spazio) e variando il tempo restituisce un altro punto. Nel primo caso il sistema dinamico è continuo, ovvero si ha la posizione ad ogni istante, mentre nel secondo il sistema dinamico è discreto, ovvero sono ammessi solo certi valori per il “tempo” (nel nostro caso 1, 2, …) La teoria deterministica (Newton, Laplace) afferma che il futuro è un sistema dinamico e, supponendo di avere una fotografia istantanea di tutto l’universo in un dato momento, è possibile prevedere completamente il futuro (e il passato).

19. Sistemi dinamici deterministici Per prevedere il futuro occorre: • Ideare un sistema dinamico in cui la variazione della quantità di cui vogliamo predire il futuro sia espressa in termini di altre quantità. 2. Misurare le quantità iniziali che intervengono nel modello. • Risolvere il modello (calcolo delle soluzioni • dell’equazione differenziale). Difficoltà: - Semplificare il modello per poterlo calcolare. - Non semplificarlo troppo per restare attinente alla realtà. - Misurare i dati iniziali.

20. Sistemi dinamici deterministici Dunque è possibile prevedere il futuro! Magari un po’ complicato a causa delle informazioni che dobbiamo procurarci e delle difficoltà di fare i calcoli. Ma….. • (domanda filosofica): ma allora il libero arbitrio non esiste? 2. Ma perché non azzeccano mai le previsioni del tempo? • Ma perché la mia squadra del cuore pur essendo chiaramente più forte ha perso?

21. Signore e Signori…. Il Caos 1. Principio di indeterminazione di Heisenberg (meccanica quantistica): e’ impossibile misurare allo stesso tempo posizione e velocità di una particella. 2. La farfalla di Lorenz: piccole variazioni dei dati iniziali comportano enormi variazioni delle soluzioni del problema. 3. Le soluzioni di un sistema dinamico tendono a configurazioni “stabili” dette attrattori. Alcuni sono strani, detti attrattori caotici.

22. La Farfalla di Lorenz Il battito d’ali di una farfalla in Giappone può creare una tromba d’aria in California. In alcuni sistemi dinamici, una minima variazione nella misurazione dei dati iniziali provoca una cambiamento enorme sui risultati finali. Poiché non è possibile tener conto di ogni dato e non è possibile misurare ogni dato in modo esatto, è allora impossibile prevedere il futuro? Eppure gli aerei volano, i treni sono (qualche volta…) in orario, l’Inter vince lo scudetto (ma non sono interista!) e le previsioni meteorologiche non sono poi cosi sbagliate!

23. Attrattori Invece di considerare un sistema dinamico a partire da dati iniziali specifici, si considera a partire da ogni possibile dato iniziale e si cercano le sue orbite. Le orbite si accumulano ad alcune orbite, detti attrattori. Orbita che si accumula sull’orbita chiusa Orbita chiusa

24. Attrattori caotici In alcuni casi questi attrattori sono strani. Li chiamiamo talvolta frattali. Strano attrattore

25. Ordine nel Caos Gli strani attrattori hanno una buona proprietà: sono autosimilari: il tutto è uguale ad ogni sua parte, dunque c’è ordine nel caos. Attrattori caotici esistono in natura: Dinamica dei fluidi (torrenti, vortici, meteo, etc..) Dinamica di comportamenti sociali Idea del caos in romanzi, film, vita comune….