BEKERJA DENGAN BILANGAN

1. BEKERJA DENGAN BILANGAN

2. Kita semua bekerja dengan bilangan setiap hari, seringkali tanpa tahu tentang hal itu. Professor Brian Butterworth, dalam bukunya Mathematical Brain, memperkirakan bahwa dia memproses kira-kira 1000 angka perjam – berarti dalam setahun dia telah memproses kira-kira 6 juta angka – tanpa melakukan sesuatu yang spesial. Butterworth tidak spesial, tetapi dia adalah seorang ahli matematika.

3. Angka-angka yang diprosesnya ditemukan dalam kehidupan kita sehari-hari – 51 angka pada halaman pertama dari sebuah surat kabar (Harga, tanggal, dan jumlah); angka pada radio (stasiun radio, frekuensi, berita, parade lagu); hasil olahraga; waktu; label pada makanan; petunjuk memasak; uang; alamat; kode bar; halaman buku; dan masih banyak lagi contoh yang lain.

4. Bilangan-bilangan ini berbeda : ada bilangan bulat, ada pecahan, desimal, urutan, secara acak. Bagian ini sederhana – kita bergantung pada bilangan setiap hari, dan kita harus mengetahui Sistem bilangan dan bagaimana untuk menggunkakannya.

5. SISTEM BILANGAN Macam-macam bilangan dapat dilihat pada tabel di bawah ini :

7. Bilangan tersebut masuk ke dalam golongan bilangan Real terbesar (R). Diagram di bawah ini memperlihatkan penggolongan dari bilangan tersebut

8. REAL NUMBER IRRATIONAL RATIONAL FRACTIONS INTEGERS NATURAL NUMBERS NEGATIVE NUMBERS ZERO EVEN ODD

9. SIMBOL MATEMATIKA

10. LATIHAN • Manakah yang merupakan Bilangan asli? 3, -2, 0, 1, 15, 4, 5 2.Manakah yang merupakan Bilangan bulat? -7, 10, 32, -32, 0 3.Manakah yang merupakan Bilangan prima? 21, 23, 25, 27, 29, 31 4.Tuliskan 2 Bilangan prima selanjutnya dari: a)30 b)80 5.Apakah semua bilangan prima ganjil? 6.Apakah semua Bilangan ganjil adalah Bilangan prima? 7.Jika kalian menambahkan 2 bil.ganjil, Bilangan apakah yang akan kalian dapatkan? 8.Bilangan apakah yang akan kalian dapatkan jika menambahkan satu bil.ganjil dan satu bil.genap?

11. 9.Tuliskan : a) 4 Bilangan berpangkat yang lebih besar dari 25. b) 4 Bilangan rasional yang lebih kecil dari ½. c) yang termasuk Bilangan bulat negatif antara -7 dan 0. d) Bilangan desimal yang sama dari ½, 75%, dan 1 ½.

12. MENGGUNAKAN KALKULATOR Tabel di bawah ini menunjukkan beberapa fungsi daari beberapa kalkulator. Walaupun demikian, semua kalkulator berbeda dan kalian harus membaca petunjuk manualnya dan mengetahui bagaimana menggunakan kalkulator yang kalian miliki.

13. 2ndF EXP EE a b/c C AC Min STO MR RCL M+

14. M- Mode +/- DRG Sin Cos tan

15. LATIHAN Gunakan kalkulator untuk menghitung : 1. 52 2. 3. -

16. ATURAN MENGHITUNG Matematika memiliki aturan-aturan yang telah dikembangkan yang membantu kita saat kita bingung mengerjakan matematika dengan operasi penggabungan. Aturan ini memberitahukan tentang pengerjaan operasi secara berurutan – dengan kata lain, apa yang pertama harus kita kerjakan ketika menemui soal seperti ini :3 x 4 + 14.

17. Ada satu cara untuk mengerjakan susunan secara berurutan yang dikenal dengan istilah BODMAS. Ini adalah sistem penghitungan yang berarti : B – Brackets (pengurungan). Mengerjakan terlebih dahulu yang terdapat di dalam kurung. Apabila terdapat lebih dari satu kurung, kerjakan dari bagian luar ke bagian dalam. O – Of. Mengubah “of” menjadi “x” dan mengerjakannya. D – Divide (pembagian) M – Multiply (perkalian). Saat terdapat tanda “x” dan  dalam sebuah perhitungan, kerjakan yang mana saja.

18. A – Add S – Substract. Saat terdapat tanda “+” dan “-” dalam sebuah perhitungan, kerjakan yang mana saja. Banyak kalkulator modern diprogram untuk menggunakan aturan BODMAS

19. CONTOH B 1. 3x4+142 () 2.18-14(3+4)+2x3 (Brackets) O =3x4+7 (x) =18-147+2x3 ( dan x) D =12+7 (+) =18-2+6 (- dan +) M =19 =22 A S

20. LATIHAN Tentukan nilai dari : • (16 – 10)  2 2. 16 – 10  2 3. (4 + 3) X 2 4. 4 + 3 X 2 5. (14 – 5)  (20 – 2) 6. 30 + 132  11 7. 5 X 5 + 6  2 8. 2 + 5  3 X 6 Berikan tanda agar pernyataan di bawah ini benar : 9. 5 3 10. -5 -3 11. 5.7 12. 2 2.5

21. 13. 4 = 16 14. 0.333 15. 3.14 16. -7 17. 3.333 18. -2 -4

22. FAKTOR Faktor adalah bilangan yang apabila dibagi akan habis terbagi dari bilangan itu sendiri. Pikirkan angka 12. faktor prima dari 12 adalah : 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. itu berarti 12 akan habis terbagi oleh 1, 2, 3, 4, 6,dan 12. Dari faktor di atas, 2 dan 3 disebut faktor prima, karena kedua angka tersebut juga adalah bilangan prima.

23. FAKTOR PRIMA Faktor prima dari sebuah bilangan adalah faktor yang terdiri dari bilangan prima. Kalian dapat menuliskan setiap bilangan sebagai hasil dari 2 atau lebih bilangan. Sebagai contoh, 12 = 4 X 3. perhatikan 4 bukan bilangan prima. Kalian dapat menghilangkan angka 4. jadi sekarang kalian mempunyai 12 = 2 X 2 X 3. selama 2 dan 3 adalah bilangan prima, kalian dapat menulis 12 sebagai hasil dari bilangan prima.

24. Menulis hasil dari faktor prima Untuk menuliskan hasil dari faktor primanya, pertama cobalah membagi sebuah bilangan dengan bilangan prima pertama, 2. lanjutkan sampai 2 tidak bisa lagi digunakan sbg pembagi. Lalu coba bilangan prima selanjutnya, yaitu 3, kemudian 5, dan seterusnya, sampai jawaban terakhirnya adalah 1.

25. 2 60 2 30 3 15 5 5 1 CONTOH • Tuliskan faktor prima dari 60 bagi 60 dengan 2 seperti yang terlihat Sekali lagi bagi dengan 2 sekarang, kalian dapat membagi 15 dgn 3 Terakhir, bagi dengan 5 Jadi, 60 =2 X 2 X 3 X 5

26. 3 1617 7 539 7 77 11 11 1 2. Tuliskan faktor prima dari 1617 1617 tidak bisa dibagi habis dengan 2,tetapi dapat dibagi habis dengan bilangan prima berikutnya, misalnya 3. 539 tidak bisa dibagi habis dengan 3 atau 5 tetapi dapat dibagi habis dengan 7 Bagi sekali lagi dengan 7 Terakhir bagi dengan 11 Jadi, 1617 = 3 X 7 X 7 X 11

27. PERKALIAN Perkalian dari sebuah bilangan adalah hasil bilangan tersebut dan bilangan bulat. Perkalian dari 3 adalah 3, 6, 9, 12, … bagaimana cara menemukannya ? 3 X 1 = 3, 3 X 2 = 6, 3 X 3 = 9, … Jadi 6 adalah perkalian dari 3 karena 6 = 3 X 2. juga, 3 adalah faktor dari 6 karena 6  3 = 2.

28. KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL KPK dari dua atau lebih bilangan adalah bilangan terkecil yang dikalikan dari setiap bilangan tersebut. 12 adalah hasil kali dari 3 dan 4. itu juga bilangan terkecil yang keduanya 3 dan 4 akan membagi 12. jadi 12 adalah KPK dari 3 dan 4.

29. Ada dua cara dalam menentukan KPK dari sebuah bilangan. Cara pertama adalah mencatat perkalian dari setiap bilangan dan mengambil bilangan terkecil yang ditunjukkan pada setiap daftar. Berarti bilangan persekutuan terkecil didapatkan dari daftar tersebut. Cara kedua ialah menunjukkan faktor prima dari setiap bilangan, kemudian mencari bilangan terkecil yang termasuk dari setiap hasil tersebut. Beberapa contoh akan membuat kalian mengerti.

30. Cari KPK dari 12 dan 15 Cara I: Perkalian dari 12 adalah 12, 24, 36, 48, 60, 72, … Perkalian dari 15 adalah 15, 30, 45, 60, 75, 90, … Bilangan terkecil yang ditunjukkan dari kedua daftar di atas adalah 60. Jadi, KPK dari 12 dan 15 adalah 60. Cara II: Tunjukkan bilangan prima dari setiap bilangan : 12 = 2 X 2 X 3 15 = 3 X 5 Bilangan terkecil dari 12 dan 15 adalah 2 X 2 X 3 X 5. Jadi KPK dari 1 dan 15 adalah 60

31. Beberapa bilangan yang merupakan perkalian dari 12 harus memiliki sedikitnya dua angka 2 dan satu angka 3 pada bentuk faktor primanya. Beberapa bilangan yang merupakan perkalian dari 15 harus memiliki sedikitnya satu angka 3 dan satu angka 5 pada bentuk faktor primanya. Jadi secara umum perkalian dari 12 dan 15 harus memiliki sedikitnya dua angka 2, satu angka 3 dan satu angka 5 pada bentuk faktor primanya.

32. LATIHAN • Tuliskan faktor prima dari bilangan berikut: a)18 b)16 c) 64 d) 81 e)100 f) 36 g) 21 h)11 i) 45 j)108 2. Tentukan KPK dari bilangan berikut : a) 9 dan 12 b) 12 dan 18 c)15 dan 24 d) 24 dan 36 e) 3 dan 5 3. a) 4, 14 dan 21 b)4, 9 dan 18 c)12, 16 dan 24 d) 6, 10 dan 15

33. POLA DAN DERET Lihat pola bilangan di bawah ini 1, 2, 3, 4, 5, … 5, 10, 15, 20, 25, … Berapa tiga bilangan berikutnya dari setiap pola ? 6, 7, 8, adalah tiga bilangan berikutnya pada pola pertama dan 30, 35, 40, adalah tiga bilangan berikutnya pada pola kedua.

34. Ada istilah khusus untuk setiap pola dari sebuah bilangan. Pola itu disebut sebagai Deret. Setiap bilangan dari setiap deret disebut pola deret. Setiap deret pada kelompok bilangan memiliki dua bagian penting. Bilangan disusun secara berurutan dan ada aturan yang memampukan kita untuk melanjutkan deret tersebut. Pola pertama dari sebuah deret diberikan dan kalian bisa menyelesaikan deret dengan menggunakan aturan tersebut.

35. CONTOH Tuliskan dua pola berikutnya dari setiap bilangan di bawah ini : • 2, 6, 10, 14, 18, … • 2, 6, 18, 54, 162, … • 27, 22, 17, 12, 7, … • 2, 3, 5, 8, 12, 17, … • Pada deret, setiap pola adalah ditambah 4 dari pola sebelumnya. • Pada deret, setiap pola dikali 3 dari pola sebelumnya.

36. 3. Pada deret, setiap pola dikurangi 5 dari pola sebelumnya. 4. Ditingkatkan dari satu pola ke yang berikutnya adalah 1, 2, 3, 4, 5. dua tingkatan berikutnya adalah 6 dan 7, jadi dua pola berikutnya adalah 23 (17 + 6) dan 30 (23 + 7).

37. Latihan Tuliskan 2 bilangan selanjutnya dari kumpulan bilangan dibawah ini. 2, 4, 6, 8, … 3, 6, 9, 12, … 2, 3, 5, 7, 11, 13, … 9, 6, 3, 0, -3, … 3, 4, 6, 9, 13, … Temukan 2 bilangan kuadrat, masing-masing lebih kecil dari 100, yang juga bilangan pangkat tiga (kubik).

38. Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek yang dapat didefinisikan yang biasanya memiliki hubungan satu dengan yang lainnya. Himpunan dapat dideskripsikan dalam kata-kata. Contoh : • Himpunan A adalah sebuah himpunan samudra-samudra di dunia • Himpunan B mengandung bilangan asli lebih kecil dari / sama dengan 10. Himpunan juga dapat ditulis diantara 2 kurung kurawal / tanda kurung besar. Contoh : • A = { Hindia, Atlantik, Pasifik, Artik, Antartik } • B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

39. Objek-objek yang merupakan bagian dari sebuah himpunan disebut elemen dan diindikasikan oleh simbol .  berarti “adalah elemen dari“. Contoh di atas dapat ditulis Atlantik  A atau 2  B.  berarti “ bukan sebuah elemen dari “. Sesuai contoh di atas dapat ditulis Mt. Everest  A. Himpunan diatas disebut himpunan terbatas – mempunya angka pasti, dapat diurutkan, dan dideskripsikan.

40. Himpunan yang tidak memiliki angka pasti, tidak dapat dideskripsikan, dan diurutkan disebut himpunan tak terbatas. Contoh: Himpunan angka asli lebih besar dari 10. Dapat tulis { 11, 12, 13, 14, …}

41. Untuk setiap himpunan yang tak memiliki elemen disebut himpunan kosong dan memiliki simbol {} atau . Contoh : • Himpunan dari perempuan yang tingginya lebih dari 6 meter. • Himpunan dari lingkaran-lingkaran kotak.

42. Catatan : Bilangan elemen dalam sebuah himpunan kosong adalah 0 tetapi {0} bukan merupkan himpunan kosong – himpunan tersebut merupakan himpunan yang mengandung 1 elemen yaitu 0.

43. Notasi Himpunan Merupakan metode untuk mendefinisikan suatu kumpulan bilangan ( sebuah himpunan) Contoh : Himpunan tak terbatas dari bilangan asli genap dapat ditulis { 2; 4; 6; 8; 10; …}. Himpunan ini juga dapat ditulis dengan notasi yaitu : {  =   IN,  adalah bilangan genap}. Dibaca : Himpunan dari seluruh elemen x dimana x adalah elemen dari himpunan bilangan asli genap.

44. Latihan • Tuliskan himpunan dibawah ini. • Himpunan dari orang-orang yang tinggal dalam rumahmu • Himpunan yang terdiri dari 5 bilangan ganjil pertama. • Deskripsikan himpunan dibawah ini. • A = {2, 3, 5, 7} • P = {s, t, u, v, w, x, y, z}

45. Hubungan antara himpunan-himpunan

46. Himpunan sederajat Himpunan-himpunan yang memiliki elemen yang sama disebut sederajat. Tentukan himpunan dibawah ini. A = himpunan huruf dari kata END = {E,N,D} B = himpunan huruf dari kata DEN = {D,E,N} Himpunan dapat ditulis A = B

47. Himpunan bagian Jika tiap elemen dari himpunan A juga merupakan elemen dari himpunan B, A juga merupakan himpunan bagian dari B. Dapat ditulis : A  B, dimana  adalah “ bagian dari himpunan dan  adalah “ bukan himpunan bagian dari”

48. Himpunan bagian dari {D,E,N} adalah: {D} {E} {N} {D,E} {D,N} {E,N} Trivial dari {D,E,N} adalah {} (himpunan kosong dan {D,E,N} Jika sebuah himpunan memiliki elemen n, berarti himpunan bagiannya adalah 2n. Contoh: Himpunan dengan 3 elemen akan memiliki 3 himpunan bagian 23, yaitu: 2 X 2 X 2 = 8 himpunan bagian.

49. Himpunan dari elemen-elemen tertentu yang membentuk himpunan bagian disebut himpunan universal dan simbolnya adalah

50. Latihan • Temukan himpunan universal dari setiap himpunan dibawah ini. • Himpunan dari orang berambut panjang dikelasmu • Himpunan huruf hidup • Jika adalah himpunan dari murid di sekolahmu, tentukan himpunan bagian dari