Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki

1. Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki • Wykład 4 • Rozkłady Z.L. w wielu wymiarach • Niezależność Z.L. • Zamiana zmiennych Tomasz Szumlak, WFiIS, 15/03/2013

2. Przypomnienie (ostatni wykład) P(a < X < b) = F(b) – F(a)

3. R.G.P. przypadek 2D Rozważania na temat Z.L oraz R.G.P. można łatwo rozszerzyć na dwa, trzy itd. wymiary. Skupimy się na przypadkach dwuwymiarowych (ten sam typ zmiennych – obie ciągłe lub dyskretne, można wyobrazić sobie R.G.P. mieszane…) Rozważmy dwie Z.L. dyskretneX oraz Y, R.G.P. dwóch Z.L. to: P(X = x, Y = y) = f(x, y) jeżeli spełnione są warunki: 1) 2) Mamy np. dla wybranej wartości xj(yk)

4. R.G.P. przypadek 2D Rozkłady brzegowe (R.G.P. 1D!) Podobnie jak dla R.G.P. jednej zmiennej, możemy użyć tabelki:

5. R.G.P. przypadek 2D Rozkłady brzegowe (R.G.P. 1D!) Podobnie jak dla R.G.P. jednej zmiennej, możemy użyć tabelki:

6. R.G.P. przypadek 2D Na zakończenie, do kompletu, zdefiniujemy jeszcze dystrybuantę Np.– sumujemy przyczynki dla

7. R.G.P. przypadek 2D Analogicznie postępujemy dla Z.L. ciągłych Jeżeli X i Y są ciągłymi Z.L., to R.G.P. dla tych zmiennych musi: 1) 2)

8. R.G.P. przypadek 2D Dystrybuantą dwóch Z.L. ciągłych, nazywamy funkcję: Podobnie jak w przypadku jednej Z.L., mamy: R.G.P. dla dwóch Z.L. ciągłych można dostać różniczkując dystrybuantę Brzegowe R.G.P.

9. R.G.P. przypadek 2D

10. R.G.P. przypadek 2D Użyteczne jest również zdefiniowanie dystrybuant brzegowych dla dwóch ciągłych Z.L. jak następuje

11. Niezależność zmiennych losowych Pojęcie niezależnościZ.E. może zostać przeniesiona na Z.L. Mówimy, że Z.L. są niezależne gdy: czyli: Z.L. są niezależne, gdy można R.G.P. przedstawić jako iloczyndwóch funkcji zależnych, odpowiednio, tylko od x oraz tylko od y Inaczej, mówimy, że funkcję f(x,y) możemy ‘sfaktoryzować ‘ Podobnie, można zdefiniować R.G.P. warunkowego: i dalej, mamy dla prob. całkowitego:

12. Zamiana zmiennych Jeżeli zdefiniujemy pewną Z.L. X, to dowolna funkcja typu: jest również Z.L. Możemy łatwo wyobrazić sobie zastosowanie takiego odwzorowania! Typowe pytanie jakie pojawia się w związku z tym to: mamy Z.L X oraz jej R.G.P., jeżeli wiemy, że Y jest funkcją X to czy istnieje ogólny sposób wyrażenia R.G.P. dla Z.L. Y przez f(x)? TAK – dzięki ogólnym regułom dotyczącym zamiany zmiennych! Popatrzmy na następujący przykład: oblicz całkę:

13. Zamiana zmiennych Wygodnie jest dokonać zamiany zmiennych! i dalej: zobaczyliśmy tu kilka ciekawych rzeczy: Zmiana skali! , jeżeli wyobrazimy sobie, że u i x wyrażają długość, to u jest 3xwiększe niż x Aby dostać ten sam wynik poprawka na zmianę skali, stąd czynnik 1/3 przed całką! W tym przypadku, zmiana skali jest stała na danym przedziale (może oczywiście też być funkcją)

14. Zamiana zmiennych Podobnie dla funkcji o większej liczbie zmiennych f(x,y)… Np. wyznacz pole powierzchni figury zdefiniowanej jak na rysunku: Całka, lub geometrycznie (łatwo…) Czy można uprościć całkowanie poprzez zamianę zmiennych? Jak zmieni się obszar całkowania? Wprowadźmy np. , lub równoważnie:

15. Zamiana zmiennych Możemy wrócić do starych zmiennych Zmiana kształtu obszaru opisana przez Jakobian przekształcenia

16. Zamiana zmiennych Wracamy do funkcji Z.L., nasze oryginalne pytanie: Pamiętając o poprzednich rozważaniach, wymagam aby: Normalizacja! Zamiana dla dwóch Z.L

17. Zestaw skrótów Zdarzenie elementarne -> Z.E. Przestrzeń zdarzeń elementarnych -> P.Z.E. Funkcja prawdopodobieństwa (prawdopodobieństwo) -> prob. Zmienna losowa (zmienna stochastyczna, funkcja losowa) -> Z.L. Rozkład gęstości prawdopodobieństwa (funkcja prawdopodobieństwa) -> R.G.P. Lub - rozkład gęstości prawdopodobieństwa -> P.D.F. (to ostatnie szczególnie popularne w problemach dopasowania modelu do kolekcji ‘punktów’ pomiarowych)