Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum nr 2 im. Mikołaja Kopernika w Gryficach • ID grupy: 98/18_MF_G2 • Opiekun: Alina Zielnica • Kompetencja: Matematyczno- fizyczna • Temat projektowy: Paradoksy w matematyce • Semestr/rok szkolny: V / 2011/2012

3. paradok sy paradoksy • paradoksyparadoksy • sofizmatysofizmaty • sofizmatysofizmaty

4. Paradoks(gr. parádoksos – nieoczekiwany, nieprawdopodobny)–twierdzenie logiczne prowadzące do zaskakujących lub sprzecznych wniosków. • Sprzeczność ta może być wynikiem błędów w sformułowaniu twierdzenia, przyjęcia błędnych założeń, a może też być sprzecznością pozorną, sprzecznością z tak zwanym zdrowym rozsądkiem.

5. Paradoksto twierdzenie sprzeczne z przyjętym powszechnie mniemaniem, stojące w opozycji do zdrowego rozsądku. Sytuacja jest paradoksalna, gdyż kłóci się z naszymi oczekiwaniami i dotychczasowym doświadczeniem. • Z założenia przyjętego przez greckich myślicieli wiemy, że natura jest poznawalna, nie może kryć więc w sobie sprzeczności. To założenie jest konieczne i niestety nie można go na chwilę odwiesić. Jeden kontrprzykład falsyfikuje hipotezę i wówczas cały dorobek nauki można wyrzucić na śmietnik.

6. Matematyczne paradoksy często zawierają ukryty w dowodzie błąd (np. podzielenie obu stron równania przez wyrażenie równe zeru). • Formułowanie twierdzeń paradoksalnych stanowiło i stanowi nadal ważny element rozwoju ścisłego, matematycznego myślenia (paradoksy matematyczne) oraz refleksji nad konsekwencjami nowych teorii naukowych (paradoksy fizyczne).

7. Powszechnie znane są paradoksyZenona z Elei, które stanowią argumenty przeciw ruchowi.

8. Zenon z Elei( ok. 490 p.n.e. - ok. 430 p.n.e.), filozof grecki. Był uczniem Parmenidesa i należał do szkoły eleatów z Elei. Doskonalił sztukę prowadzenia sporów, którą rozumiał jako wykazywanie na drodze samego zestawiania pojęć prawdy własnej i cudzego fałszu, co w ówczesnych pojęciach było dialektyką i co pozwoliło później Arystotelesowi uznać go za jej twórcę. Jego dzieło O przyrodzie, napisane schematyczną prozą w formie pytań i odpowiedzi, stało się wzorem dla formy dialogowej. Sam był wytrawnym polemistą. Znany również ze swoich paradoksów lub dowodów na niemożność istnienia wielości rzeczy i ruchu. Cztery jego dowody o niemożności ruchu znane są pod nazwami: dychotomii, Achillesa, strzały i stadionu.

9. Paradoks achillesa Czy podziwiany przez wszystkich, najszybszy biegacz Achilles, dogoni żółwia, któremu dano by 100 metrów przewagi? Zanim bohater dobiegnie do miejsca startu żółwia, zwierzę oddali się o odległość, którą Achilles ma dopiero przed sobą. Gdy ją pokona, żółwia już tam nie będzie, gdyż znowu posunie się do przodu. Wniosek wydaje się oczywisty: żółw zachowa przewagę do końca wyścigu. Takie rozumowanie jest prawidłowe, gdy nie bierze się pod uwagę liczb. Czy Achilles doścignie żółwia?

10. Zakładamy, że Achilles biegnie 10 razy szybciej niż żółw. Gdy pokona początkowe 100 metrów, jego przeciwnik „przebiegnie” zaledwie 10 metrów. W czasie pokonywania przez Achillesa tych 10 metrów, żółw posunie się o 1 metr. Gdy Achilles przebiegnie metr, żółw pokona zaledwie 10 centymetrów. Rozważając dalej w ten sposób, okaże się, że Achilles pokona żółwia.

11. Paradoks strzały • Przyjmujemy, że wystrzelona z łuku strzała pokonała określony dowolny odcinek drogi. • Można więc powiedzieć, że w momencie wystrzelenia znajdowała się ona na początku tej trasy, a po dotarciu do celu – na końcu. • Stawiamy pytanie: gdzie przebywała w trakcie pokonywania tej drogi?

12. Można odpowiedzieć, że w 1/4 czasu pokonywania tego odcinka musiała być w 1/4 odcinka. Gdy zadamy pytanie, gdzie była po 1/2 czasu lotu, znowu można odpowiedzieć, że w 1/2 odcinka. Po 3/4 czasu – w 3/4 odcinka, i tak dalej w nieskończoność. • Możemy sobie wyobrażać dowolną chwilę lotu, w którym strzała znajdowała się w jakimś konkretnym punkcie, w konkretnej odległości od łucznika. Czyli możemy powiedzieć, że skoro w każdej chwili znajdowała się w jakimś konkretnym punkcie, więc w każdej chwili była w spoczynku. Niemożliwe jest zatem aby w każdej chwili czasu strzała pozostawała w spoczynku i poruszała się jednocześnie.

13. Liczb naturalnych jest tyle samo co liczb parzystych nieujemnych. • Jest to paradoks. Wydaje się przecież, że liczb naturalnych jest więcej niż liczb parzystych nieujemnych. Na rysunku można zobaczyć, że każdej liczbie naturalnej można przyporządkować dokładnie jedną liczbę parzystą nieujemna i na odwrót, każdej liczbie parzystej nieujemnej można przyporządkować dokładnie jedna liczbę naturalna. Zatem można liczby z tych zbiorów połączyć w pary, muszą więc być one równoliczne. • 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … • 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 …

14. Odcinek ap jest równy połowie długości odcinka ab, ale liczba punktów znajdujących się na odcinku apjest taka sama jak liczba punktów na odcinku ab. To twierdzenie wydaje się nam co najmniej dziwne, jednak jest prawdziwe. Mamy tu do czynienia z paradoksem. Każdemu punktowi L odcinka AB możemy przyporządkować jeden i tylko jeden punkt L´ na odcinku CD = AP i na odwrót. Na podstawie rysunku łatwiej to zrozumieć.

15. Która z liczb: 1czy 0.999... jest większa? Aby to sprawdzić zamieńmy ułamek okresowy 0.(9) na ułamek zwykły. Niech x = 0.999... Obie strony tego równania mnożymy przez 10. Otrzymujemy 10x = 9.999... Mamy zatem prosty układ równań: 10x = 9.999... i x = 0.999... Kiedy odejmiemy od pierwszego równania drugie, otrzymamy:9x = 9.000..., czyli 9x = 9. Dzieląc obie strony równania przez 9 otrzymujemy wynik: x = 1. Ale przecież na początku zapisaliśmy, że x = 0.999... ! Wnioskujemy więc że liczby te są równe!: 1 = 0.999... Oczywiście nie mamy tutaj do czynienia z żadnym przybliżeniem.Każdy ułamek dziesiętny, mający okres 9 można zastąpić ułamkiem dziesiętnym skończonym. A więc dla przykładu: 0.8(9) = 0.9 1.999... = 2 0.1(9) = 0.2 1 i 0.999... to po prostu różny sposób zapisu tej samej liczby.

16. paradoksy Były burzliwe dyskusje, bo nie wszyscy potrafili je zaakceptować.

17. PARADOKS FILOZOFICZNY • Paradoks wody i diamentu - paradoks sformułowany na polu ekonomii, który najczęściej przyjmuje postać pytania, jakie postawił Arystoteles: • "Dlaczego woda, która jest niezbędna do życia, jest tania, podczas gdy diamenty są bardzo drogie, choć można się bez nich obejść?".

18. Prawdę mówiąc, kłamię • "To co teraz mówię jest kłamstwem„ - ktoś tak właśnie nam powiedział. Co mamy o nim myśleć? Prawdę mówi on, czy kłamie? Zastanówmy się: Każdemu zdaniu możemy przypisać dwie wartości logiczne, prawdę lub fałsz. Najpierw założymy, że jest prawdziwe i przebadamy konsekwencje takiego założenia, potem to samo zrobimy z fałszem. Gdyby zdanie "To co teraz mówię jest kłamstwem" było prawdziwe, równocześnie byłoby fałszywe (gdyż samo określa, że jest kłamstwem). A ponieważ nie można jednocześnie mówić prawdy i kłamać, w tym przypadku mamy do czynienia ze sprzecznością, czyli paradoksem.

19. Może wobec tego powyższe zdanie jest kłamstwem? Zastanówmy się. • Skoro kłamię, że kłamię, muszę w takiej sytuacji mówić prawdę Arystotelesowska zasada wyłączonego środka jest bezlitosna, odstępstwa są niemożliwe. • Jeśli zatem zdanie jest fałszywe, jednocześnie jest prawdziwe. • Jest to klasyczny przykład paradoksu.

20. I JAK TO ZROZUMIEĆ? Dziewczyny napisały, a chłopcy się głowią.

21. Marznąc na przystanku • Czy jest coś paradoksalnego w tym, że autobus zawsze się spóźnia? Wbrew pozorom, jest. Wyobraźmy sobie sytuację, że wychodzimy na autobus, kursujący średnio co 10 minut. Oznacza to, że raz autobus przyjedzie za 8 minut, a innym razem za 12 minut, ale średnia z całego dnia wynosi 10 minut. Tak się składa, że nigdy nie chciało się nam spisać rozkładu i zawsze wychodziliśmy "w ciemno" licząc się z tym, że przyjdzie nam trochę czekać. Ile? Skoro średnio autobus kursuje co 10 minut, średni czas oczekiwania dla wybranego losowo momentu, powinien wynosić 5 minut (mowa oczywiście o dużej liczbie prób). Zapewne taka sytuacja wydarzyła się nie raz i zwykle czekaliśmy dłużej niż 5 minut. To wcale nie przypadek: gdyby starczyło nam cierpliwości na zapisywanie czasów czekania i wyliczenie z nich średniej, wyszłaby ona większa niż 5 minut. To się nazywa paradoksem w życiu codziennym.

22. Epimenides z Krety grecki kapłan, wieszcz, poeta i filozof grecki, czczony w Atenach jako cudotwórca. Żył na przełomie VII i VI wieku p.n.e. Ostatni z „siedmiu mędrców”. Według Epimenidesa świat rozwijał się w pięciu etapach, a pramaterią tego było powietrze i noc. Według legendy Epimenides z Krety miał dożyć 157 lat. Epimenidesowi przypisuje się wypowiedź zacytowaną w Biblii przez apostoła Pawła w Liście do Tytusa 1:12. Apostoł charakteryzując mieszkańców Krety napisał: "Jeden z nich, własny ich prorok, powiedział: `Kreteńczycy to zawsze kłamcy, bestie wyrządzające krzywdę, żarłoki bezczynne'". (cytat z przekładu Nowego Testamentu)

23. Paradoks Epimenidesa • Jest to problem logiczny. Jego nazwa pochodzi od imienia greckiego filozofa Epimenidesa z Krety. Wypowiedział on zdanie Κρῆτες ἀεί ψεύσται, co znaczy Kreteńczycy zawsze kłamią. Na pierwszy rzut oka nie ma w tym żadnego paradoksu, chyba że zauważymy, że Epimenides sam był Kreteńczykiem. Skoro Epimenides jest Kreteńczykiem, to twierdząc, że wszyscy Kreteńczycy to kłamcy, sam kłamie, czyli mówi prawdę. Paradoks ten jest wersją paradoksu kłamcy.

24. Wyjaśnienie:W rzeczywistości nie ma w tych słowach żadnego paradoksu. W momencie kiedy Epimenides wypowiada słowa: Kreteńczycy zawsze kłamią, sam w tym momencie nie mówi prawdy, która brzmi następująco: Kreteńczycy nie zawsze kłamią. Można założyć, że Kreteńczycy zawsze mówią prawdę z jednym wyjątkiem - kiedy powiedzieli, że zawsze kłamią. Można także sądzić, że tylko Epimenides jest kłamcą a inni Kreteńczycy mówią prawdę. Wynika to jednak ze złego przedstawienia paradoksu. Wersją, której nie można już w ten sposób wyjaśnić jest następujące zdanie: "Niniejsze zdanie jest fałszywe", ale nie zalicza się ono do tak zwanego Paradoksu Epimenidesa.

25. PARADOKS FIZYCZNY • Paradoks bliźniąt – eksperyment myślowy w szczególnej teorii względności, którego domniemana sprzeczność ma wykazywać nieprawdziwość tej teorii. Paradoks wynika z wyciągania wniosków z fałszywych założeń. Paradoks bliźniąt ma ogromne znaczenie dydaktyczne, gdyż jest bardzo często wykorzystywanym zagadnieniem, na przykładzie którego tłumaczone są konsekwencje szczególnej teorii względności, a dokładna analiza paradoksu pomogła zrozumieć tę teorię wielu pokoleniom uczniów.

26. PARADOKS bliźniąt • Paradoks ten polega na tym, że rodzi się na Ziemi dwóch braci bliźniaków. Jeden pozostaje na planecie, a drugi wyrusza w przestrzeń kosmiczną z prędkością zbliżoną do prędkości światła. Po jakimś czasie zawraca on i wraca na rodzimą planetę. • Paradoks wygląda w ten sposób, że zgodnie z teorią względności występuje zjawisko tak zwanej dylatacji czasu – czas w poruszającym się układzie odniesienia płynie wolniej (im prędkość bliższa prędkości światła – tym upływ czasu jest wolniejszy). • Jednakże z punktu widzenia każdego z braci – po powrocie na Ziemię to ten drugi bliźniak powinien być młodszy. Spowodowane to jest różnicą w sposobie widzenia – ten, który pozostał na Ziemi twierdzi, że jeśli brat w kosmosie poruszał się względem niego – to on powinien być młodszy. Brat kosmonauta z kolei uważa, że względem niego poruszał się bliźniak, który pozostał na rodzimej planecie – i zatem to on powinien być młodszy. Rodzi się więc paradoks – gdyż obaj bracia nie mogą mieć jednocześnie racji.

27. Co to jest sofizmat? • Sofizmat(z gr. "sophisma" - wybieg, wykręt) czyli sztuka "wykręcania kota ogonem", jest to nazwa funkcjonująca w co najmniej trzech znaczeniach: • zwodniczy "dowód" matematyczny, pozornie poprawny, lecz faktycznie błędny, zawierający rozmyślnie wprowadzony błąd logiczny, trudny do wykrycia na pierwszy rzut oka; • wypowiedź lub sformułowanie, w którym świadomie został ukryty błąd rozumowania nadający pozory prawdy fałszywym twierdzeniom; • wszelka próba dowiedzenia swoich racji, bez względu na wartość logiczną przedstawionej argumentacji.

28. Błędne rozumowania - sofizmaty - były od czasów starożytnych i są często do dziś stosowane w nauczaniu matematyki. • Filozofowie w starożytnej Grecji wyznający nurt filozoficzny zwany sofizmem twierdzili, że nie ma prawd bezwzględnych, a wobec tego można udowodnić każde twierdzenie, opierając się na wieloznaczności pojęć, nieścisłości definicji i nie zawsze poprawnym stosowaniu reguł logiki. • We współczesnej dydaktyce sofizmaty to rozumowania zachowujące wszelkie pozory prawdziwości, ale zawierające sprytnie ukryty błąd, który w efekcie sprowadza wywód do niedorzeczności lub wewnętrznej sprzeczności. • Zadaniem ucznia jest znalezienie błędu w rozumowaniu, wytłumaczenie jego przyczyny i poprawienie.

29. PRZykład • Przyjmujemy, że a>b i a = b+c • równość mnożymy przez a-b a(a-b)=(b+c)(a-b) wykonujemy mnożenie i otrzymujemy a²-ab=ba-b²+ca-cb przenosimy wyrazy a²-ab-ac=ab-b²-bc wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i otrzymujemy a(a-b-c)=b(a-b-c) obydwie strony dzielimy przez (a-b-c) i otrzymujemy a=b Końcowy wniosek jest fałszywy chociaż na pozór zrobiono wszystko prawidłowo. Błąd powstał wskutek dzielenia równania przez wyrażenie, którego wartość jest równa zero ( a-b-c=0).

30. Przygotowywanie ciekawych zadań

31. PRZykład • Przyjmujemy, że x=y mnożymy tę równość przez x x²=yx odejmujemy od obu stron równania y² x²-y²=yx-y² przekształcamy, zapisujemy w postaci iloczynu obydwie strony (x-y)(x+y)=y(x-y) dzielimy przez (x-y) x+y=y ponieważ przyjęliśmy na początku, że x=y, więc można zapisać 2y=y zatem wyciągamy wniosek 2=1Końcowy wniosek jest fałszywy chociaż na pozór zrobiono wszystko prawidłowo. Błąd powstał wskutek dzielenia równania przezwyrażenie,którego wartość jest równa zero (x-y=0, bo x=y).

32. Teraz to wyjaśniamy

33. Prezentowanie prac przez grupy Kto pierwszy znajdzie błąd w przedstawianym rozumowaniu?

34. Dyskusje, dyskusje, dyskusje…

35. To też jest ciekawy przykład

36. Niels Fabian Helge von Koch Urodził się 25 stycznia 1870 roku, zmarł 11 marca 1924 roku - szwedzki matematyk, twórca jednego z najbardziej znanych i zarazem jednego z pierwszych fraktali - Krzywej Kocha. Napisał wiele prac na temat teorii liczb, zajmował się hipotezą Riemanna. Zajmował się nieskończonymi wyznacznikami. Płatek Kocha (Krzywa Kocha) wynalazł w 1904 r.

37. KRZYWA KOCHA • W 1904 roku, szwedzki matematyk Helge von Koch, stworzył bardzo ciekawą krzywą, która została wykorzystana do wielu uogólnień matematycznych, znaną później jako krzywa Kocha. Krzywą Kocha tworzy się w następujący sposób: -najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem, -następnie dzieli się ją na trzy równe części, - na środkowej tworzy trójkąt równoboczny i usuwa jego podstawę. To pierwszy krok - generator krzywej Kocha. Ten sam algorytm wykonuje się na każdym z powstałych odcinków , nieskończoną ilość razy. W ten sposób Koch otrzymał jeden z pierwszych fraktali.

38. Powstawanie płatka kocha

39. Płatek KOCHA • Konstrukcja Płatka polega na połączeniu trzech Krzywych Kocha, trójkątem równobocznym, na którego każdy bok zadziałano algorytmem tworzącym Krzywą Kocha. Figura ta posiada trudne do wyobrażenia własności: - jej obwód jest nieskończony, powstaje z nieskończonej ilości trójkątów równobocznych choć ma skończone pole powierzchni - Krzywa, a co za tym idzie i Płatek Kocha nie zawiera jakichkolwiek odcinków, w każdym swym punkcie ma zagięcie, czyli nie posiada  w nim jednoznacznie dopasowanej stycznej - to krzywa nieróżniczkowalna. • Jako fraktale Płatek i Krzywa są samopodobne co oznacza, że w dowolnym  ich powiększeniu można zauważyć struktury podobne do większego fragmentu całości.

40. PŁATEK KOCHA

41. Paradoks linii brzegowej • Paradoks linii brzegowej – odkrycie, że linie brzegowe lądów nie mają określonej długości. Wynika to z ich własności fraktalnych. • Długość linii brzegowej zależy od tego, jaką metodą się ją mierzy. Ponieważ ma ona nierówności we wszystkich skalach, od setek kilometrów do milimetra i mniejszych. Przy mierzeniu linii brzegowej odcinkami różnych długości uzyskuje się różne wyniki. Efekt ten jest szczególnie wyraźny dla bardzo poszarpanych linii brzegowych.

42. Paradoks linii brzegowej - Wykorzystanie • Paradoks ten powoduje, że w praktyce używa się zwykle przybliżenia odpowiadającego jednostce, jakiej używa się do pomiaru. Przykładowo, jeśli podaje się długość linii brzegowej w kilometrach, ignoruje się te jej nierówności, które mają wielkość mniejszą niż kilometr.

43. Przykład paradoksu linii brzegowej Jeśli brzeg Wielkiej Brytanii zmierzyć za pomocą odcinków długości 200, 100 i 50 km, to jego długość wyniesie odpowiednio 2350, 2775 i 3425 km.

44. Enrico Fermi (ur. 29 września 1901 w Rzymie(Włochy) zm. 28 listopada 1954 w Chicago(USA)) – włoski fizyk teoretyk, laureat Nagrody Nobla z dziedziny fizyki w roku 1938, za wytworzenie w reakcjach z neutronami nowych pierwiastków promieniotwórczych.

45. Paradoks Fermiego • Jest to wyraźna sprzeczność pomiędzy wysokimi oszacowaniami prawdopodobieństwa istnienia pozaziemskich cywilizacji i brakiem jakichkolwiek obserwowalnych śladów ich istnienia.

46. Paradoks Fermiego Definiuje się w następujący sposób: • Wielkość i wiek Wszechświata sugerują, że powinno istnieć wiele zaawansowanych technicznie pozaziemskich cywilizacji. Jednak takiemu rozumowaniu przeczy brak obserwacyjnych dowodów ich istnienia. Zatem albo początkowe założenia są nieprawidłowe i zaawansowane technicznie życie jest znacznie rzadsze niż się sądzi, albo metody obserwacji są niekompletne i ludzkość jeszcze ich nie wykryła, albo metody są błędne i cywilizacja ludzka poszukuje niewłaściwych śladów.

47. Złudzenia optyczne • Są one związane ze skłonnością ludzkiego oka do odbierania obrazu całościowo. Przedmiot postrzegamy w powiązaniu z jego otoczeniem.  • Który ołówek jest większy? • Jest to złudzenie spowodowane przezfiguryz otoczenia.

48. Złudzenia optyczne Czy te odcinki są jednakowej długości? Na pierwszy „rzut oka” – nie, ale po zmierzeniu… Czy te okręgi są jednakowej wielkości? Wydaje się że nie, a jednak…

49. Złudzenie spowodowane tłem. • Czy są to okręgi?

50. Złudzenia spowodowane różną interpretacją wklęsłości i wypukłości. • Czy słynne schody Zöllnera widać od góry, czy od dołu?