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Ecuaciones cuadráticas

Ecuaciones cuadráticas. Lección 3. Definición. Una ecuación cuadr á tica en x es una ecuación que se puede escribir de la forma ax 2 + bx + c = 0 , donde a ≠ 0 . Ejemplos : 4 x 2 = 8 – 11 x x (3 + x ) = 5 4 x = x 2. Factorizaci ón.

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Ecuaciones cuadráticas

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  1. Ecuaciones cuadráticas Lección 3

  2. Definición Unaecuacióncuadráticaen xesunaecuaciónque se puedeescribir de la forma ax2 + bx + c = 0 , dondea ≠ 0 . Ejemplos: 4x2 = 8 – 11x x(3 + x) = 5 4x = x2

  3. Factorización Invierte el proceso de buscar el producto de dos binomios. Producto Factorización

  4. Resolver mediantefactorización Se basa en el teorema del factor cero: Si p y q son expresionesalgebraicas, entoncespq= 0 si y solo sip=0 o q=0 . Si ax2 + bx + c se puedeescribircomo el producto de dos expresioneslineales, entonces la solución de la ecuaciónse puedeencontrarigualandocada factor a cero y resolviendocadaecuación lineal.

  5. Ejemplo Resolver la ecuación 3x2 = 10 – x . • El método AC • La ecuación es cuadrática y sigue el modelo ax2 + bx + c = 0 con a=3 b = 1 y c = -10. • La ecuación se puede factorizar si existen factores de AC = -30 que sumen b = 1. • Los factores son 6 y – 5 .

  6. Ejemplo Resolver la ecuación 3x2 = 10 – x . Usando los factores son 6 y – 5 .

  7. Ejemplo Resolver la ecuación 8x2 – 12= 4x. Notarqueprimeramentedebemosel factor común de 4. • El método AC • La ecuación es cuadrática y sigue el modelo ax2 + bx + c = 0 con a = 2 b = -1 y c = - 3 . • La ecuación se puede factorizar si existen factores de AC = -6 que sumen b = -1. • Los factores son 2 y – 3 .

  8. Ejemplo Usando los factores son 2 y – 3 .

  9. Ejemplo Resolver la ecuaciónx2 + 16 = 8x . Cómox – 4 aparececomo factor , llamamos a 4 unaraizdobleo raiz de multiplicidad2 de estaecuación.

  10. Ejemplo Resolver la ecuación2x2 – 1 = 3x. Método AC: a=2, b= - 3 , c = -1 La ecuación factoriza si existen factores de ac = -2 que sumen b= -3 Los factores de -2 son (-2 x 1) ó (2 x -1) NO existen factores de -2 que sumen -3 La ecuación no factoriza como el producto de dos factores lineales NO existe una solución RACIONAL.

  11. Una Ecuación CuadráticaEspecial Si x2 = d , entonces la factorización de x2 – d gives Porejemplo, lassoluciones de la ecuacióncuadráticax2= 5 son Resolver: (x+ 3)2 = 5

  12. Método de completar el cuadrado Una técnica convertir una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 a la forma a(x + e)2 + d =0 donde . Resolver: (caso simple: a=1) (convertir en un cuadrado perfecto) (sumar y restar )  la forma a(x + e)2 + d =0

  13. Método de completar el cuadrado Una técnica convertir una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 a la forma a(x + e)2 + d =0 donde .

  14. Método de completar el cuadrado Resolver:

  15. Método de completar el cuadrado x = 1 y x = - ½

  16. La FórmulaCuadrática Para resolver la ecuacióncuadrática general: ax2+ bx + c = 0 , a ≠ 0 . Escribimos la ecuación: ax2+ bx= -c . Dividimos entre a : Sumamos en ambos lados. Obtenemos:

  17. El Discriminante El número representado por la expresiónb2 – 4ac. El discriminanteindica de quétipo son lasraices de unaecuacióncuadrática.

  18. FórmulaCuadrática Resolver:

  19. FórmulaCuadrática Resolver: 2x2 – 4x – 3 = 0

  20. La FórmulaCuadrática Determinar si la ecuación dada tiene raices reales o no: 9x2 + 12x + 4 = 0 3x2 + 4x + 2 = 0 x2 + 2x – 1 = 0

  21. Ecuaciones de tipocuadrático Una ecuaciónes del tipocuadráticosi se puedeescribir de la forma au2+ bu + c = 0 , dondea ≠ 0 yuesunaexpresiónen algunavariable.

  22. Ecuaciones de tipocuadrático Por ejemplo: se puedeescribir y resolver. Resolver:

  23. Ecuaciones de tipocuadrático Resolver: se puedeescribir y resolver. u=4 u=1; resolvimosprimeropor u u = 4 x2=4 u = 1 x2=1

  24. Ecuaciones de tipocuadrático Encontrar solucionesreales de se puedeescribir y resolver. u=25 u = -25; resolvimosprimeropor u Si u= 2516 x2=25 u = -25 16x2= -25 NO es real.

  25. EcuacionesRacionales • No factorizacomo el producto de factoreslineales con coeficientesracionales.

  26. EcuacionesRacionales • Para resolver hay queutilizar el método de completar el cuadrado o la fórmula cuadrática.

  27. Ecuaciones con Radicales

  28. Ecuaciones con radicales Verificación: Primer valor x =1: ladoizquierdo: ladoderecho: 1 Como , x = 1 NO essolución. Segundo valor: x = 8 lado izquierdo: lado derecho: 8 Como 8 = 8, x = 8 es solución

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