Validation dans la classe de mathématiques

1. Validation dans la classe de mathématiques Claudine Mary DEASS

2. Plan de la présentation • Validation en mathématiques • Cadres d’analyse de l’activité de l’élève et de l’enseignant • Situations de validation

3. En conclusion d’une résolution de problème, pour vérifier une procédure Pour s’assurer d’avoir la bonne réponse Pour convaincre d’un résultat Pour vérifier une conjecture Pour tester un modèle Dans la communauté mathématique, pour prouver qu’un énoncé est vrai et l’insérer dans une théorie pour partager le savoir Validation en mathématiques

4. Recherche de vérité par nécessité  preuve – démonstration (Lakatos, Rouche, Balacheff/ Duval) Projet mais pas forcément réussite: Parfois on peut Parfois, on ne peut pas Différents enjeux: vérité ou vraisemblance? • Recherche de vraisemblance ou de pertinence  argumentation pour convaincre, vérification… Schéma S. E.. Schéma Math Fonctions

5. Cadre d’analyse de l’activité de l’élève et de l’enseignant • Structure de leçons (Joshua et Joshua): point de départ expérimental / sans point de départ expérimental • Niveaux de preuve chez les élèves (Balacheff): combien de diagonales dans un polygone? • Deux projets au moins dans la classe de mathématiques (Margolinas)

6. Validation "par nature" Él. manipulent du matériel constatent les règles avec l'aide de l'enseignant essaient sur quelques exemples font des exercices… Validation opétatoire implicite Ens. montre comment faire Les règles sont identifiées Les élèves essaient eux-mêmes la méthode Ils font des exercices… Point de départ expérimental Démarche de preuve • RP • Expérience par les élèves et conjectures • Production de preuves et débat (expériences-tests et contre-exemples) • Affinement des critères de validation et R du P Validation opératoire formelle • En. montre comment faire • Les propriétés sont identifiées • En. démontre les propriétés • Él. font des exercices…

7. Validation opératoire implicite En. donne la théorie (définitions, propriétés...) Il donne des exemples (pour convaincre ou faire comprendre) L'élève fait des exercices… Sans point de départ expérimental Validation démonstrative • Enseignement de la méthode • Pratique de la méthode: énoncé à valider Validation opératoire formelle • En. donne la théorie (définitions, propriétés...) • Il démontre les propriétés • Les élèves font des exercices… Joshua et Joshua (1989)

8. Niveaux de preuve chez les élèves Combiende diagonales dans un polygone convexe? • Arguments pragmatiques • vérification sur quelques cas • l'expérience cruciale • l'exemple générique • Arguments intellectuels • l’expérience mentale • calculs sur des énoncés

9. Niveaux de preuve chez les élèves Combiende diagonales dans un polygone convexe? • Arguments pragmatiques • vérification sur quelques cas • l'expérience cruciale • l'exemple générique • Arguments intellectuels • l’expérience mentale • calculs sur des énoncés Action réelle sur les objets, ostension, opérations et concepts non différenciées, non organisés en discours Manuels

10. Niveaux de preuve chez les élèves Combiende diagonales dans un polygone convexe? • Arguments pragmatiques • vérification sur quelques cas • l'expérience cruciale • l'exemple générique • Arguments intellectuels • l’expérience mentale • calculs sur des énoncés Exemple qui fonde une procédure

11. Niveaux de preuve chez les élèves Combiende diagonales dans un polygone convexe? • Arguments pragmatiques • vérification sur quelques cas • l'expérience cruciale • l'exemple générique • Arguments intellectuels • l’expérience mentale • calculs sur des énoncés Les arguments se détachent de l’action pour reposer sur la formulation des propriétés en jeu et de leurs relations

12. Niveaux de preuve chez les élèves Combiende diagonales dans un polygone convexe? • Arguments pragmatiques • vérification sur quelques cas • l'expérience cruciale • l'exemple générique • Arguments intellectuels • l’expérience mentale • calculs sur des énoncés Action intériorisée avec explication des propriétés (action mentale sur un cas général)

13. Niveaux de preuve chez les élèves Combiende diagonales dans un polygone convexe? • Arguments pragmatiques • vérification sur quelques cas • l'expérience cruciale • l'exemple générique • Arguments intellectuels • l’expérience mentale • calculs sur des énoncés Calcul inférentiel qui s’appuie sur des définitions ou des propriétés explicites

14. Niveaux de preuve chez les élèves Combiende diagonales dans un polygone convexe? • Arguments pragmatiques • vérification sur quelques cas • l'expérience cruciale • l'exemple générique • Arguments intellectuels • l’expérience mentale • calculs sur des énoncés Décontexualisation Détemporalisation Dépersonnalisation Formalisme ______ Généralisation Conceptualisation des connaissances exigés Balacheff, 1988

15. Deux projets dans la classe de mathématiques • Théorie des situations de Brousseau  analyse des situations • Phases de conclusion: phases d’évaluation / phases de validation • Validation - preuve / validation – vérification • Critère de validité: connaissances de l’élève Margolinas, 1989

16. Preuve …de nécessité …engagé suite à une quasi-certitude Un énoncé est formulé puis débattu Projet public Ce qui importe c'est la généralité de la procédure Quand ça ne marche pas: contre-exemples ou contradictions Vérification …de vraisemblance …engagé suite à un doute Aucun énoncé n’est formulé Projet privé Centration sur le résultat et le procédé (comment on fait) Quand ça ne marche pas: erreur Critères Pentamino devinette

17. Processus, procédé et procédure de résolution • Processus de résolution : ensemble des actions et des modèles d’action mis en œuvre temporellement dans la résolution de problème (dépend du sujet, du moment, du contexte) • Procédé de résolution : ce qui dans le processus est consciemment retenu par le sujet comme ayant contribué à obtenir la résolution • Procédure de résolution : méthode générale qui conduit au résultat.

18. Techniques de vérification(pour obtenir une information sur le résultat) • une double résolution par une même méthode • une double résolution par une méthode différente • l'utilisation d'informations supplémentaires non nécessaires à la résolution mais qui permettent une vérification • une résolution dans un autre cadre (cadre géométrique par exemple alors qu'on travaille algébriquement) • l'utilisation de propriétés mathématiques connues qui confirment ou infirment le résultat

19. Situations de validation Quelques considérations générales • Ancrage expérimental • Fonction sociale de la preuve • Fonctions de la preuve: convaincre, faire comprendre! • Quelle nécessité? Quelle rigueur? • Résolution de problèmes de façon à ce que les élèves s’engage dans un processus de validation • Le recours à des preuves intellectuelles ne va pas de soi (Balacheff)

20. Situations de validation (Exemples) • Arsac (1993). Initiation au raisonnement déductif au collège. • Plusieurs exemples de suffisent pas à prouver • Un dessin suffit-il à prouver? • Comment remettre en cause les mesures sur un dessin? Le rectangle d’Euclide • Comment aider les élèves à remettre en cause la valeur de preuve d’un instrument de mesure? • Dreyfus, 1998 (cours, Université de Concordia): problème des angles inscrits • Schmidt, Mary et Squalli, recherche en cours: situations de généralisation

21. Quelques références clés • ARSAC, G. (1993). Initiation au raisonnement déductif au collège, Presses universitaires de Lyon. IREM. • BALACHEFF, N. (1988). Une étude épistémologique du processus de preuve en mathématiques au collège. Thèse présentée à l'Université National Polytechnique, Grenoble. • DUVAL, R. (2005). Compréhension des démonstrations, développement de la rationalité et formation de la conscience individuelle. Actes du colloque du GDM, UQÀM, Montréal, pp. 5-38. • DUVAL, R. (1992-1993). Argumenter, démontrer, expliquer: continuité ou rupture cognitive? Petit x, no 31, pp. 37-61.

22. JOSHUA, M.-A. & JOSHUA, S. (1988). Les fonctions didactiques de l'expérimental dans l'enseignement scientifique (deuxième partie), Recherche en Didactique des Mathématiques, 9 (1), pp 5-30. • JOSHUA, M.-A. & JOSHUA, S. (1987). Les fonctions didactiques de l'expérimental dans l'enseignement scientifique (première partie), Recherche en Didactique des Mathématiques, Vol. 8, no 3, pp. 231-266. • LAKATOS, I. (1984). Preuves et réfutations. Paris: Hermann. Version originale: (1976) Proofs and Refutations, the Logic of Mathematical Discovery. Cambridge University Press.

23. MARGOLINAS, C. (1989). Le point de vue de la validation: essai de synthèse et d'analyse en didactique des mathématiques, thèse, Université Joseph Fourier, Grenoble 1. • ROUCHE, N. (1989). Prouver: amener à l'évidence ou contrôler des implications? In: Commission Inter-IREM Histoire et Épistémologie des Mathématiques, La démonstration mathématique dans l'histoire, Actes du 7ème colloque inter-IREM épistémologique et histoire des mathématiques. Besançon, pp 9-38.

24. Pour compléter la bibliographie, voir: • Mary C. (2003). Les hauts et les bas de la validation chez les futurs enseignants des mathématiques au secondaire. Éditions Bande didactique. Publication d’une thèse intitulée à l’origine « Place et fonction de la validation chez les futurs enseignants des mathématiques au secondaire ». Thèse présentée en 1999 à l’université de Montréal en vue de l’obtention du grade de Ph. D. en éducation.

25. Merci!

26. Vérité nécessaire / vérité contingente • Une fonction des mathématiques est de permettre l’anticipation des résultats d’une action. Le mot anticipation recouvre un double mouvement: la prédiction, et la validité de la prédiction. • Propositions mathématiques  apodictiques (nécessairement vraies), et non assertorique (vraies en fait) • La découverte du caractère apodictique des propositions mathématiques fait partie de l’apprentissage Margolinas, 1989, p. 11

27. Démonstration • Si P, on sait que P => Q, alors Q • Si l'on veut démontrer que A =>D, il suffit de construire une chaîne en partant de A: • A => B, si on a A donc B; B => C, on a B donc C; C => D, on a C donc D; par transitivité on peut conclure que A => D. • "A => B", "B => C" et "C => D" sont des énoncés reconnus valides qui font le relais jusqu'à la conclusion. • D est nécessairement vrai

28. Perspective épistémologique • Résolution locale d'un problème • Niveau 1: résolution générale pour un ensemble de cas possibles (raisonnement inductif) • Niveau 2: généralisation à l'aide d'une suite d'opérations intermédiaires, suite d'évidences partielles, où un discours devient nécessaire (pensée discursive); • Niveau 3: preuves qui s'appuient sur des objets abstraits, construits, les hypothèse distinguées de la conclusion, les opérations permises bien définies (pensée hypothético-déductive); discours de plus en plus symbolisé; • ce qui importe est la validité des inférences compte-tenu des axiomes de départ et non une vérité unique (rigueur formelle) Rouche (1989) Niveaux de preuve

29. Conclusion de Rouche • Étapes marquées par un changement non seulement de l’univers du sens mais par une modification du rapport au sens  • Niveaux de preuve • À chaque étape sa forme de rigueur • Ne pas attendre la démonstration pour avoir une préoccupation de rigueur

30. Schéma de la validation dans la démarche scientifique

31. Schéma de la validation avec point de départ expérimental en mathématiques

32. Fonction de la validation (preuve) • Faire accepter un résultat… • Statuer et systématiser • Expliquer et éclairer • Convaincre • Produire des connaissances • Communiquer Fonctions

33. Theoreme 25. I- VxVyVz.x(y+z) =xy + xz Proof. Induction on z.P(x) is x(y+z) =xy + xz. 1. y + 0 = y N3 2. x(y + 0) =xy sub,1 3. xy + 0 = xy N3 4. x(y + 0) = xy + 0 =,2, 3 5. x0 = 0 N5 6. x(y + 0) = xy + x0 sub, 5, 4 7. x(y + z) = xy + xz as (ind. hyp.) 8.* y + z' = (y + z)' N4 9. x(y + z') = x(y + z)' sub, 8 10. x(y + z') = x(y + z) + x N6 11. x(y + z') = xy + (xz + x) =,9, 10 12. x(y + z') = (xy + xz) + x sub, 7, 11 13. (xy + xz) + x = xy + (xz + x) T2 14. x(y + z') = xy + (xz + x) =,12, 13 15 xz' = xz + x N6 16. x(y + z') = xy + xz' sub, 15, 14 17. Vz.x(y + z) = xy + xz Æ x(y + z') = xy + xz' DT, 7-16, and gen 18. Vz.x(y + z) = xy + xz ind, 6, 17 * z' = z + 1 Margaris, A. (1967). First Order Mathematical Logic, p. 138

35. Pour construire un carré d'aire double d'un carré donné, il suffit de prendre pour côté du carré à construire la diagonale du carré donné. En effet, soit le carré de la figure (a). Sa diagonale le divise en deux triangles isométriques que l'on peut réarranger pour en faire un demi-carré, comme à la figure (b). D'où la solution présentée à la figure (c) (a) (b) (c)

36. La somme des angles intérieurs d’un triangle… En chaque nœud du pavage se retrouve deux fois chacun des angles du triangle.

37. La somme des n premiers nombres entiers positifs S(n) est n(n+1)/2. • Pour n=1, le théorème est vrai. • Supposons qu'il est vrai pour un k quelconque. • Alors S(k+1) = S(k) + (k+1) = n(n+1) / 2+ (n+1) = (n+1)(n+2) / 2 • Donc l'énoncé est vrai pour k+1 s'il est vrai pour k. • Par le théorème d'induction, l'énoncé est vrai pour tout n.

38. S = 1 + 2 + ... + n • S = n + (n-1) + ... + 1 • 2S= (n+1)+ (n+1)+ ... + (n+1)= n(n+1) • S = n(n+1) / 2 • C.Q.F.D. • Hanna (1995), p. 48.

39. Est-ce que ces angles peuvent être inscrits dans un cercle?

40. Validation empirique • Règle à suivre: Avant d'affirmer qu'un énoncé mathématique est toujours vrai, il faut attribuer différentes valeurs à la variable. • Mieux vaut éviter d'attribuer aux variables les valeurs 0, 1 et 2. Ces nombres présentent en effet trop de particularités. • Voyez vous-mêmes: • x + x = x C'est vrai si x = 0, mais c'est généralement faux! • xx = x C'est vrai si x = 0 ou 1, mais c'est généralement faux!

41. Élève Si on prend l'exemple de 3 tables, il y en a 1 à chaque bout, il y en a une à chaque table d'un côté et d'l'autre bord avec. T'imagines qu'il y en a 39 comme ça Problème des tables Exemple générique et expérience mentale

42. Enseignant On a un problème. On vérifie si ça fonctionne. (Il montre sur le dessin.) On a 1 table. Ici ça vaut 1x2+2=4. J'ai bien 4 personnes. Ça fonctionne. Les élèves calculent avec lui. Celle-ci (1-2)x2 + 6 Les élèves calculent avec lui: Ça fait 4, ça fonctionne aussi Enseignant: Donc ça fonctionne aussi. Ils vérifient ensuite pour trois tables (en se fiant sur le dessin au tableau qui donne 8 comme résultat). 2 formules ont été obtenues

43. En: Ces deux là fonctionnent. Est-ce que ça veut dire la même chose? Élèves: Oui En: Pourquoi? És: Parce que ça donne la bonne réponse Validation par l’intermédiaire des réponses  validation pragmatique Question de l’équivalence

44. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 60 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 Grille numérique Argument pragmatique C: «+20 – 2 » C: «+18 » (sous l’influence de Stella) En: Est-ce que ça fonctionne toujours pis comment vous le savez que ça fonctionne toujours? C: Mais même si tu les fais toute ça va marcher quand même. Parce que euh… on se les disait pis c’était ça genre que j’utilisais, pis… on autilisé peut-être une trentaine dans cette grille là pis je les disais toute bons. M: Moi j’ai essayé pis ça marche (…) avec 2. En: T’as essayé avec deux nombres (elle rit).

45. Reconnaissance d’une procédure Lors du choix de la forme la plus difficile, C dit: « Sont toutes pareilles parce que j’ai pas de problèmes de cases en tant que tel, parce que moi j’additionne la différence entre les deux…  je fais –3+20 et ça va donner la réponse [forme 7]» R : « + 17 » ça veut dire. C : Ou plus euh, attends peu. En : Roméo a dit « + 17 ». C : Oui, c’est ça. –2+20 ou –3+20 exemple générique

46. Argument général U a construit une forme qui est sensée être difficile: C dit : Tu fais ça. (Il montre qu'il n'a qu'à faire un « L » sur la forme d’U) C'est toute facile. Tu peux pas en dessiner une compliquée. Dégagement conscient d’une procédure schématisée par un L Seuls les aspects essentiels sont retenus La procédure devient critère de validité

47. Trace un rectangle ABCD tel que AB=8 cm et BC = 5cm. Place un point E sur AC tel que AE = 3 cm. Trace la parallèle à AD qui passe par E; elle coupe AB en N et DC en L. Trace la parallèle à AB qui passe par E; elle coupe AD en M et BC en K. Parmi les deux rectangles EMDL et ENBK, quel est celui qui a la plus grande aire? A N B M K D L C Le rectangle d’Euclide

48. Dessin avec mesures Le rectangle BENK a une aire de 8,8 cm carrés et MELD de 8,5 cm carrés. Conclusion: le rectangle BENK a la plus grande aire. Pour vérification, on additionne toutes les aires du rectangle. Le résultat sera égal à 40 c’est-à-dire à l’aire du grand rectangle. Figure Le triangle CDA est égal au triangle CBA. Le triangle CLE est égal au triangle CKE. Le triangle EMA est égal au triangle ENA. Donc ENBK est égal à EMDL. Affiches produites par les élèves

49. Choisissez, sans rien dire, un nombre compris entre 0 et 10. Multipliez-le mentalement par 6 Divisez le nombre obtenu par 3. Divisez le nombre obtenu par 2. Enlevez le nombre choisi au départ. Ajoutez 7. Retranchez 2. 63 2- +7-2 Jeu des devinettes Le but de l’activité est d’amener les élèves à réfléchir collectivement sur la généralité derrière la chaîne des opérations de calcul, de construire eux-mêmes de telles chaînes et de s’engager dans un processus de validation.

50. L’expression construite sert de modèles pour d’autres Validation pragmatique mais Anticipations du succès:    « Ça va marcher! » a + n’importe quoi –a « Ça va marcher, tu gages? » Ça ne marche pas avec des X Tentative avec des + et - a+(2+5-4+3)-a = 6 Validation pragmatique Productions d’Ulysse