Usando Indexação - Modelos Literais

1. Usando Indexação - Modelos Literais Fazendo uso de indexação e somatórios é possível escrever modelos matemáticos compactos usando a forma literal. Considere o Problema de Transporte: A companhia de eletricidade CPFLL supre 4 cidades com energia. As potências (103 kWA) de suas 3 subestações são 35, 50 e 40. As demandas de pico das 4 cidades são: 45, 20, 30 e 30. Os custos de perda para enviar energia para as cidades são: Como distribuir energia de modo a minimizar o custo de perda e suprir a demanda de pico? 3-16

2. Usando Indexação - Modelos Literais 3-17

3. Usando Indexação - Modelos Literais • Variáveis de decisão: • xij = quantidade de energia enviada da subestação i à cidade j • Modelo Matemático: = = = = = = = 3-18

4. Usando Indexação - Modelos Literais Modelo de Transporte em forma literal: Fica possível a representação compacta de modelos com muitas variáveis e restrições 3-19

5. Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água Problema dos Reservatórios Dois reservatórios d’água capazes de fornecer cada um 50 milhões de litros/dia abastecem três cidades, cada qual com uma demanda diária de 30 milhões de litros. Os custos de energia para bombear 1 milhão de litros d’água de cada reservatório para cada cidade são: Cid. 1 Cid. 2 Cid. 3 Res. 1 7 8 10 Res. 2 9 7 8 Escreva o modelo matemático capaz de suprir as demandas a um custo mínimo de energia. 3-20

6. Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água Min 7x11 + 8x12 + 10x13 + 9x21 + 7x22 + 8x23 sujeito a x11 + x12+ x13 <= 50 x21 + x22+ x23 <= 50 x11 + x21 >= 30 x12 +x22 >= 30 x13 + x23 >= 30 xij>= 0 (i=1, 2; j=1,2,3) Este é um modelo de Transporte desbalanceado (soma das ofertas maior que a soma das demandas) 3-21

7. Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água Para se transformar um modelo de Transporte desbalanceado num balanceado, emprega-se um artifício: Cria-se um nó de demanda fictício (dummy) com demanda igual à diferença entre a soma das ofertas e a soma das demandas, e com custos nulos. reservatórios cidades d1 = 30 s1=50 d2 = 30 s2=50 d3 = 30 d4 = 100-90=10 0 0 3-22

8. d1=40 d2=40 d3=40 20 22 23 Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água Suponha agora que a demanda de cada cidade seja aumentada para 40 milhões de litros/dia e que o déficit d’água cause às cidades 1, 2 e 3 um prejuízo por milhão de litro não fornecido de $20, $22 e $23, respectivamente. Escreva o modelo matemático balanceado que minimiza o custo total (energia + déficit). reserv. cidade s1=50 s2=50 s3=120-100=20 Deve-se criar igualmente um nó de oferta fictício com oferta igual a diferença entre a soma das demandas e a soma das ofertas. 3-23

9. Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água Modelo matemático balanceado Min 7x11 + 8x12 + 10x13 + 9x21 + 7x22 + 8x23+ 20x31 + 22x32 + 23x33 sujeito a x11 + x12+ x13 = 50 x21 + x22+ x23 = 50 + x31 +x32 + x33 = 20 x11 + x21 + x31= 40 x12 +x22 + x32 = 40 x13 + x23 + x33 = 40 xij>= 0 (i=1, 2; j=1,2,3) 3-24

10. Programas Lineares, Não-Lineares e Inteiros • Um Modelo Matemático pode ser: • Linear (Programa Linear): A Função objetiva e todas as restrições são lineares. Ex: Problema da Recap, Problema de Transporte • Não-Linear (Programa Não-Linear): Se a função objetiva ou qualquer restrição for não-linear. Ex: Modelo EOQ, Problema da área máxima. • Inteiro (Programa Inteiro ou Discreto; Problema de Otimização Combinatória): Todas as variáveis de decisão são discretas. • Inteiro-Misto: (Programa Inteiro-Misto): Há variáveis de decisão contínuas e discretas. 3-25

11. Programas Não-Lineares Exemplo de Programa Não-Linear: As Lojas Nappin querem lançar uma ampla campanha de propaganda no valor de $100 mil visando aumentar as vendas em suas lojas. A Nappin tem 12 seções diferentes, como roupas masc., fem. e infantis, eletro, móveis, etc. (i=1,...,12), cujos artigos podem ser anunciados através de 15 diferentes formatos de propaganda, que combinam a seção certa com o veículo certo como TV, rádio, catálogo, etc. (j=1,...,15). Ela sabe que o investimento feito num formato j aumenta as vendas de forma logarítmica com o investimento feito. Como distribuir o investimento por formato de maneira a maximizar o retorno total? cij = expectativa de aumento de vendas da seção i por dolar investido no formato j. li = taxa de lucro da seção j. xj = investimento no formato j. funçãoretorno em vendas = log(xj + 1) 3-26

12. Programas Não-Lineares Modelo Não-linear: Max sujeito a xj >= 0 , j=1, ..., 15 3-27