Aberraciones monocromáticas: aberración esférica

1. Aberraciones monocromáticas: aberración esférica • Introducción • Aberración de onda • Aberración transversal. Aberraciones de Seidel • Aberración esférica • Aberración esférica de una lente delgada

2. Introducción • El estudio de los sistemas ópticos centrados realizado en aproximación paraxial o de primer orden, impone restricciones muy fuertes a las aperturas y campos de forma que dicho estudio sólo es válido dentro de un rango en el que se pueden aproximar los senos y las tangentes a los ángulos. • Dentro de esta aproximación, los sistemas centrados se comportan estigmáticamente para cualquier punto del espacio, es decir, son capaces de formar imágenes perfectas de cualquier punto objeto. • Sin embargo, en los sistemas reales, las aperturas toman valores que distan mucho de satisfacer la aproximación paraxial, lo que hace que, en general, estos sistemas no se comporten de manera perfecta.

3. Introducción • Así, a medida que se abren los diafragmas y los haces de luz aumentan su tamaño, la imagen obtenida comienza a presentar defectos. Los planos imagen se convierten en superficies curvas, la semejanza entre el objeto y la imagen no se conserva y la nitidez de los detalles se pierde apareciendo imágenes borrosas. Todos estos defectos se agrupan bajo la denominación de aberraciones.

4. Introducción • Los rayos paraxiales determinan la posición del plano imagen paraxial y la posición del punto imagen P’. Plano imagen paraxial P’ P • Los rayos no paraxiales cortan al plano imagen paraxial en puntos diferentes de P’.

5. Introducción • Para el análisis de las aberraciones se utilizan dos puntos de vista: uno ondulatorio que lleva a la definición de aberración de onda y otro geométrico, basado en el modelo de rayos y que origina la definición de aberración transversal de rayo.

6. Aberración de onda • En un sistema perfecto los frentes de onda son esferas centradas en el punto objeto O y el punto imagen O’ Sistema perfecto O O’

7. Aberración de onda • La aberración de onda es la diferencia entre el frente de ondas real y el ideal. Se mide por el camino óptico existente entre los dos frentes de onda a lo largo del rayo real. • En un sistema real, los frentes de onda emergentes están deformados y cada rayo cortará al eje en un punto diferente del punto O’ (que sería la imagen ideal) A aberración de onda = n’ AB Sistema real B Sistema real O’ O

8. Plano imagen paraxial Plano imagen paraxial P’ P’ ex ey P Aberración transversal. Aberraciones de Seidel. • La aberración transversal de rayo es la distancia entre el punto de corte de cada rayo con el plano imagen paraxial y el punto imagen paraxial. Aberración transversal de rayo (ex , ey)

9. Aberración transversal. Aberraciones de Seidel. • La aproximación de tercer orden equivale a sustituir las funciones seno y coseno por los tres primeros términos de su desarrollo en serie. • Dentro de esta aproximación, la aberración transversal es el resultado de la contribución de cinco términos. Aberraciones de tercer orden o de Seidel: • aberración esférica • coma • astigmatismo • curvatura de campo • distorsión aberraciones de punto aberraciones de campo

10. ¢ s p ¢ O h h r s s’ AEL ¢ O r p ¢ s h Aberración esférica Plano imagen paraxial O r=AET A la distancia entre la imagen obtenida en la zona paraxial y la proporcionada por el cono de rayos de ángulo s, se le denomina A.E.L. • La aberración esférica transversal es el tamaño de la mancha de luz obtenida en el plano imagen paraxial AET = AEL tan s’

11. Aberración esférica Plano imagen paraxial 3 4 5 6 1 2 • En un sistema con aberración esférica, la forma de la imagen depende del plano escogido como plano imagen. La posición 4 es donde el haz tiene una sección mínima (círculo de mínima confusión). 5 1 2 3 4 6

12. Aberración esférica • El telescopio Hubble, puesto en órbita en 1990 presentaba una cierta cantidad de aberración esférica debido a que el espejo primario era demasiado plano en su periferia AEL Telescopio Hubble

13. Aberración esférica El problema no fue descubierto hasta que se recibieron las primeras imágenes proporcionadas por el telescopio en las que se apreciaba claramente esta AE. Hubo que esperar tres años, hasta que en 1993 se realizo una compleja misión espacial y se consiguió insertar una serie de dispositivos para corregir esta AE. • A continuación se muestra, para ver el efecto de la AE, imágenes tomadas antes y después de la reparación. AEL Telescopio Hubble

14. Aberración esférica • La comparación entre las imágenes de una estrella lejana y de una galaxia, tomadas antes y después de la reparación del Hubble muestran el efecto de la aberración esférica difuminando los puntos y contornos de la imagen Melnick 34

15. Aberración esférica • La comparación entre las imágenes de una estrella lejana y de una galaxia, tomadas antes y después de la reparación del Hubble muestran el efecto de la aberración esférica difuminando los puntos y contornos de la imagen Galaxia M100

16. Aberración esférica Si ahora desplazamos el plano imagen acercándonos hacia la lente, se puede apreciar una cierta mejora en la imagen que es máxima en el círculo de mínima confusión para después empeorar. • La imagen que se obtiene en un sistema óptico con aberración esférica, varía en función del plano elegido como plano imagen

17. Aberración esférica • En general, se toma como plano de mejor imagen aquel en el que la sección del haz es mínima. • Al variar el tamaño del haz, la imagen debe ser reenfocada puesto que este plano cambia de posición

18. h 20 -20 AEL (mm) Aberración esférica La aberración esférica se representa en un sistema cartesiano, en ordenadas la altura de incidencia o el ángulo de abertura, en abscisas el valor de la aberración esférica longitudinal Plano imagen paraxial

19. Aberración esférica Tres sistemas ópticos con la misma focal 100 mm pero distinta AEL h h h -20 20 -0.5 0.5 -0.1 0.1 AEL (mm) AEL (mm) AEL (mm)

20. Aberración esféricade una lente delgada Una misma lente delgada presenta valores diferentes de aberración esférica según la posición del objeto…

21. Aberración esféricade una lente delgada de manera similar, para un objeto determinado, la forma de la lente también hace variar la aberración esférica presente en la imagen. Con el fin de especificar estos dos parámetros (posición del objeto y forma de la lente), se pueden escoger diferentes variables, pero las más adecuadas ya que dan lugar a unas ecuaciones más sencillas, son el factor de posición y el factor de forma, propuestos por Henry Coddington.

22. p<-1 p=-1 p=0 F O’ F’ O F F’ O F F’ O’ s>0, s’<f’ s=-∞, s’=f’ s=-2f’, s’=2f’ p=1 p>1 F F’ O’ F O F’ s=-f’, s’=∞ s>-f’, s’<0 Aberración esféricade una lente delgada Factor de posición:

23. q=-2 q=-1 q=-1/2 q=0 q=1/2 q=1 q=2 Aberración esféricade una lente delgada Factor de forma:

24. ¢ ¢ s s p h ¢ ¢ O O h p h O AET s AEL Aberración esféricade una lente delgada La aberración esférica se suele cuantificar en dioptrías mediante la cantidad Ls.

25. Aberración esféricade una lente delgada En aproximación de tercer orden, la cantidad Ls puede calcularse mediante una expresión que depende de las características de la lente (n, f’, q), de la posición del objeto (p) y de la altura de incidencia (h)

26. n=1.60 n=1.70 n=1.80 Aberración esféricade una lente delgada En esta gráfica se representan los valores de p y de q para los cuales Ls se hace cero. Se incluyen los resultados para varios índices de refracción. n=1.50 Ls(p, q)=0 Se aprecia una región de valores de p, es decir de posiciones del objeto, para la que no hay ninguna forma de la lente que haga que la imagen de ese objeto este libre de AE.

27. n=1.60 n=1.70 n=1.80 Aberración esféricade una lente delgada Es decir, puesto que para objetos e imágenes reales, -1<p<1, es imposible construir una lente simple que proporcione de un objeto real una imagen también real y libre de AE. n=1.50 Ls(p, q)=0

28. Aberración esféricade una lente delgada n=1.5 Veamos un caso en que sí se pueda anular la AEL. Para n=1.5, el valor de p debe ser çpç> 4.58

29. q=5.11 q=3.45 q=3.45 q=5.11 Aberración esféricade una lente delgada Supongamos entonces un objeto con factor de posición p= -6 (objeto virtual) y una lente delgada de 50 mm de focal y n = 1.5. p=-6 f’=50 mm s=20 mm Se obtienen dos posibles valores de q

30. Aberración esféricade una lente delgada Veamos como estas dos lentes no presentan AEL para las condiciones exigidas q=3.45 q=5.11 O O’ O’ O

31. Aberración esféricade una lente delgada Si se mantiene la focal y la posición del objeto, pero se escogen otras lentes con distinto factor de forma ya no se anula la aberración esférica y el valor de ésta irá haciéndose más grande conforme nos vamos alejando más de los valores de q que la anulaban. q=2.0 q=2.5 O O

32. Aberración esféricade una lente delgada Dado que no podemos anular la AEL en un caso de gran interés práctico como es el de objeto e imagen real tratemos al menos de minimizarla. Se puede buscar la forma óptima de una lente que minimice esta aberración para un objeto determinado. Minimización de la aberración esférica

33. ( ) 2 - 2 n 1 p = - = q 0 . 714 + n 2 Aberración esféricade una lente delgada Por ejemplo supongamos el objeto en el infinito y obtengamos la forma de una lente de f´=100 mm e índice 1.5 p=-1 f’=100 mm h=12.5 mm n=1.5

34. Por último, puesto que la aberración esférica es una aberración que depende fuertemente de la apertura…. …es poco importante en lentes oftálmicas puesto que la pupila reduce considerablemente el haz que atraviesa la lente …pero muy importante en lentes de contacto y lentes intraoculares debido a las elevadas curvaturas utilizadas