1 / 23

KOLOROWANIE MAP

KOLOROWANIE MAP. Grafy dualne do płaskich. Dany jest 2-spójny graf płaski G . Wybierzmy po jednym wierzchołku v*(S) z wnętrza każdej ściany S . Jeśli brzegi ścian S i S’ mają wspólną krawędź e , to połączmy v*(S) i v*(S’) krawędzią e* (krzywą Jordana przechodzącą przez e ).

zurina
Download Presentation

KOLOROWANIE MAP

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. KOLOROWANIE MAP

  2. Grafy dualne do płaskich • Dany jest 2-spójny graf płaski G. • Wybierzmy po jednym wierzchołku v*(S) z wnętrza każdej ściany S. • Jeśli brzegi ścian S i S’ mają wspólną krawędź e, to połączmy v*(S) i v*(S’) krawędzią e* (krzywą Jordana przechodzącą przez e). • Otrzymujemy (multi)graf płaski G*, dualny do G, gdzie • n*=l, m*=m, l*=n

  3. Ilustracja G i G* e e*

  4. Ściany  wierzchołki • Każda ściana grafu G staje się wierzchołkiem grafu G*. • I odwrotnie: G**=G

  5. Kolorowanie map

  6. Mapy a grafy planarne • Mapa to zbiór ścian 2-spójnego grafu płaskiego o δ(G)>2 (ścianę zewnętrzną można traktować jako tło/ramę mapy). • Kolorowanie mapy to kolorowanie (właściwe) wierzchołków grafu dualnego. • Są mapy, które wymagają aż 4 kolorów.

  7. Hipoteza 4 kolorów - historia H4K: KAŻDĄ mapę można pomalować 4 kolorami! • Hipoteza z roku 1852 (de Morgan, bracia Guthrie) • Dwa błędne dowody w XIX wieku (Kempe, Tait) • Dowód komputerowy ogłoszony w 1976, zweryfikowany w 1989 (Appel, Haken, Koch) i 1997 (Robertson, Sanders, Seymour, Thomas)

  8. 6 kolorów wystarczy! Algorytm zachłanny: Jeśli G jest planarny, to e(G)<3v(G), więc δ(G)<6. Zatem

  9. Heawood: 5 kolorów wystarczy! Tw. o 5 kolorach (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny. Dowód: (nie wprost, oparty na korekcie błędnego dowodu Kempe) Niech G będzie grafem płaskim o χ(G)=6 i minimalnej liczbie wierzchołków. Niech wierzchołek x ma stopień 5. G-x jest 5-kolorowalny.

  10. Dowód – c.d. • Pomalujmy G-x 5 kolorami i spójrzmy na sąsiadów x: x_1,...,x_5 ponumerowanych cyklicznie wokół x. • Można przyjąć, że x_i ma kolor i, i=1,...,5 • Niech H(i,j) –podgraf indukowany przez kolory i i j. • Gdyby x_1 i x_3 były w różnych składowych H(1,3), to zamieniając kolory w jednej z nich mielibyśmy tylko 4 kolory wokół x. • Zatem x_1 i x_3 są połączone ścieżką, podobnie x_2 i x_4 – sprzeczność z płaskością G.

  11. Ilustracja x_4 x_3 x x_5 x_2 x_1 ?

  12. Błąd Kempe • Analogiczne przekolorowanie nie działa, jeśli zamiast 5 różnych kolorów, wystepują 4, (w tym jeden dwa razy). • Zauważył to dopiero Heawood.

  13. Appel, Haken, Koch: idea Idea dowodu Heawooda/Kempe: • Minimalny graf 6-kolorowalny G nie może zawierać wierzchołka xstopnia 5, bo 5-kolorowanie G-x można by rozszerzyć na G. • Każdy graf planarny zawiera taki wierzchołek.

  14. Konfiguracje • Konfiguracja jest redukowalna, gdy żaden minimalny 5-chromatyczny graf płaski jej nie zawiera. • Zbiór konfiguracji jest nieunikniony, gdy każda triangulacja zawiera przynajmniej jedną z nich. • Appel i Haken znaleźli nieunikniony zbiór złożony z 1482 konfiguracji i wraz z Kochem, przy pomocy komputerów, sprawdzili, że wszystkie one są redukowalne. • To dowodzi H4K (dlaczego?).

  15. Redukcja do map 3-regularnych Fakt 1.H4K jest prawdziwa wgdy każda 3-regularna mapa jest 4-kolorowalna. Dowód: Weźmy mapę G (2-spójna, δ(G)>2). Zastąpmy każdy wierzchołek stopnia >3 nowym krajem:

  16. Pierwsza próba Taita 1880 Fakt 2. H4K jest prawdziwa wgdy każdy 3-regularny i 2-spójny graf planarny ma indeks chromatyczny 3. (Tait sądził, że potrafi udowodnić druga część tej równoważności.)

  17. Dowód: Pomalujmy ściany G elementami grupy Kleina: c_0=(0,0), c_1=(1,0), c_2=(0,1), c_3=(1,1) z dodawaniem mod 2. Każdej krawędzi przypiszmy kolor będący sumą kolorów ścian, które rozdziela. Ta suma nigdy nie będzie równa c_0. Dla 3 różnych indeksów i,j,k z {0,1,2,3} sumy c_i+c_j,c_i+c_k,c_j+c_k są parami różne . 

  18. Ilustracja c_i+c_j c_i c_j c_i+c_k c_j+c_k c_k

  19. Dowód  • Malujemy krawędzie G niezerowymi elementami grupy Kleina. • Jeśli C jest krzywą zamkniętą omijającą wierzchołki G, to suma kolorów krawędzi, które przecina wynosi c_0=(0,0). (ćw) • Dowolną ścianę S_0 malujemy kolorem c_0. • Do pozostałych ścian prowadzimy krzywe z S_0 i nadajemy im kolory równe sumom kolorów przecinanych krawędzi. • Ta definicja jest poprawna a kolorowanie właściwe (ćw). 

  20. Ilustracja S_0 S c_0

  21. Druga próba Taita 1880 • Mapę hamiltonowską można pomalować 4 kolorami. Dowód bezpośredni (ćw) lub korzystając z dowodu Faktu 2, bowiem • 3-regularnygraf hamiltonowski ma indeks chromatyczny 3. Hipoteza Taita (1890). Każdy 3-spójny, 3-regularny graf planarny jest hamiltonowski. • Z niej wynikałaby H4K, bo wystarczy ograniczyć się do map 3-regularnych (Fakt 1) oraz 3-spójnych (bez dowodu). • Niestety... kontrprzykład Tutte’a (1946).

More Related