Jak mierzyć asymetrię zjawiska?

1. Jak mierzyć asymetrię zjawiska? Wykład 5

2. Miary jednej cechy Miary poziomu Miary dyspersji (zmienności, zróżnicowania, rozproszenia) Miary asymetrii (skośności)

3. Szereg symetryczny x ● to szereg, w którym liczba jednostek rozłożona jest równomiernie po obu stronach wartości dominującej ● w szeregu takim miary tendencji centralnej, a więc średnia arytmetyczna, mediana i dominanta mają jednakową wartość, czyli:

4. Wykres rozkładu normalnego • Kształt tego rozkładu może być różny w zależności od 2-óch parametrów: od średniej i wariancji S2(względnie odchylenia standardowego S). • Zawsze jednak jest to krzywa symetryczna względem swojej wartości średniej z charakterystycznym kształtem „dzwonu” oraz o mniejszym lub większym spłaszczeniu zależnie od odchylenia standardowego.

5. ●Krzywa N1 ma ustaloną wartość średnią i odchylenie standardowe s.● Krzywa N2 różni się od niej tym, że przy tej samej wartości średniej ma mniejsze odchylenie standardowe (krzywa staje się bardziej wysmukła).●Krzywa N3 różni się od N1 tym, że przy tym samym odchyleniu standardowym ma większą wartość średnią, czyli jest przesunięta w prawo. N2 N1 N3

6. Dla zbiorów w większości symetrycznych lub umiarkowanie symetrycznych rozkłady empiryczne przyjmują kształt „dzwonu” • wszystkie wartości w zbiorze są rozproszone („rozrzucone”) wokół średniej • w celu określenia „rozpiętości” wokół średniej możemy użyć w bardzo precyzyjny sposób odchylenia standardowego.

7. Dla zbiorów danych o rozkładach mających kształt „dzwonu” empiryczna reguła określa jak blisko dane wartości są do średniej • 1. W przybliżeniu 68% liczebności populacji znajduje się w przedziale zmienności równym wartości 1-go odchylenia standardowego od średniej • 2. Prawie 95% liczebności populacji znajduje się w przedziale zmienności równym wartości 2-óch odchyleń standardowych od średniej. • 3. Prawie 99.7% liczebności populacji znajduje się w przedziale zmienności równym wartości 3-ch odchyleń standardowych od średniej.

8. Empiryczna zasada 68% 95% 99,7%

9. Szeregi asymetryczne • Rozkład prawostronny • Rozkład lewostronny

10. Miary asymetrii (skośności) • wskaźnik asymetrii (skośności): • wartość wskaźnika asymetrii większa od zera informuje o dodatnim (prawostronnym) kierunku asymetrii rozkładu • Ws równy zero oznacza rozkład symetryczny • Ws mniejsze od zera wskazuje asymetrię ujemną (lewostronną)

11. Miary asymetrii (skośności) • współczynnik asymetrii (skośności) informuje jaka częśćodchylenia standardowego stanowi różnica między średnią arytmetyczną a dominantą • znak współczynnika określa kierunek a moduł siłę asymetrii • As zawarty w granicach wskazuje na umiarkowaną asymetrię • w przypadku asymetrii prawostronnej As przyjmuje wartości dodatnie, • w przypadku asymetrii lewostronnej As przyjmuje wartości ujemne.

12. Miary asymetrii (skośności) • Jeżeli dany szereg wymaga użycia miar pozycyjnych(np. otwarte przedziały klasowe, nierówne rozpiętości przedziałów), do opisania asymetrii rozkładu należy użyć pozycyjnej miary asymetrii opartej na kwartylach: • lub określa kierunek i siłę asymetrii jednostek znajdujących się w 2-iej i 3-ej ćwiartce obszaru zmienności

13. Miary asymetrii (skośności) • Momenty definiuje się jako średnie arytmetyczne odchyleń wartości cechy (zmiennej) od liczby a podniesione do potęgi r: gdzie: - wykładnik potęgi r określa rząd momentu, a więc gdy r = 1 mówimy o momencie rzędu pierwszego, gdy r = 2 o momencie rzędu drugiego itd., - liczba a określa rodzaje momentów, gdy a = 0 mówimy o momentach zwykłych (zerowych) oraz gdy o momentach centralnych.

14. Miary asymetrii (skośności) • Momenty zwykłe(oznaczamy symbolem m):

15. Miary asymetrii (skośności) • Momenty centralne(oznaczamy symbolem e):

16. Miary asymetrii (skośności) • Do określenia asymetrii rozkładu stosuje się moment centralny trzeci e3, informujący o kierunku skośności. - jeśli rozkład jest symetryczny to e3 = 0, - w przypadku asymetrii prawostronnej e3 > 0; - w przypadku asymetrii lewostronnej e3 < 0. • Siłę zjawiska przedstawia moment centralny trzeci wyrażony w jednostkach odchylenia standardowego: • Jako miarę względną kurtozy stosuje się współczynnik: