Chapter 1 by 胡興民老師 基礎數位訊號處理

1. Chapter 1 by胡興民老師基礎數位訊號處理 訊號在日常生活中，扮演著重要的角色。 訊號是由獨立變數所構成的函數，這些獨立變數 可以是時間、距離、位置、溫度與壓力。 語音與音樂訊號：表示空間中一個點上空氣壓力的時間函數。“I like digital signal processing” 的語音波形 如下。

3. 黑白(black and white) 圖片 – 將明亮度 (intensity)以兩個空間座標的函數來表示。

4. 視訊(video) 訊號 – 包含一連串的影像（或稱像格，frame)，是一個包含時間及二維空間座標的三變數函數。

5. 大部分我們所遇到的訊號都是自然產生的。 • 當然，一個訊號也可以透過合成或電腦模擬的方式來產生。 • 訊號處理 • 訊號 (signal) 帶有資訊 (information)。 • 訊號處理的目的：將訊號中有用的資訊抽取出來。 • 資訊抽取的方法：依據訊號的類型及訊號中所帶資訊的性質而有所不同。 • 本課程主要討論訊號的離散時間 (discrete-time) 表示法和離散時間的訊號處理。

6. 訊號的特性與分類 • 訊號種類：依據獨立變數的性質及定義該訊號的函數值的不同而分類。 • 例如，獨立變數可以是連續 (continuous) 的或離散 (discrete) 的。 • 同樣地，訊號可以是獨立變數的連續或離散函數 。 • 此外，訊號又可以分為實數 (real) 函數或複數 (complex) 函數。 • 訊號如果是由單一個訊號源產生，則稱為純量(scalar) 訊號。 • 訊號也可以由多個訊號源產生，則稱為向量(vector) 訊號或多頻道(multi-channel) 訊號。

7. 一維(1-D) 訊號是一個單一獨立變數的函數。 • 多維(M-D) 訊號是多個變數的函數。 • 語音訊號就是一維訊號的例子，其獨立變數是時間。 • 影像訊號，如照片，就是二維訊號的例子，其獨立變數為兩個空間變數。 • 彩色視訊訊號包含了三個二維訊號，分別表示三個主要顏色（紅色、綠色及藍色，RGB）。 • 為了傳輸的目的，這個 RGB 電視訊號會被轉換到另一個型態的三頻道訊號，由一個亮度成分和兩個彩度成分所構成。

8. 下圖為一張彩色影像的三個顏色成分。 • 下圖為顯示前述三個顏色成分之全彩(full color) 影像。

9. 黑白視訊訊號的每一個像格也是二維的影像訊號，其函數的獨立變數為兩個離散的空間變數，每一像格依序在每個離散時間點產生。黑白視訊訊號的每一個像格也是二維的影像訊號，其函數的獨立變數為兩個離散的空間變數，每一像格依序在每個離散時間點產生。 • 因此，黑白視訊訊號可以視為一個三維(3-D) 訊號的例子，三個獨立變數分別為兩個空間變數和一個時間變數。 • 對於一維訊號，其獨立變數通常標示為時間。 • 如果這個獨立變數是連續的，這個訊號就稱為連續時間訊號。 • 如果這個獨立變數是離散的，這個訊號就稱為離散時間訊號。

10. 連續時間訊號是定義在每一個瞬間的時間點上。 • 離散時間訊號則是定義在每一個離散的時間點上 ，因此可以視為是一連串的數字。 • 一個有連續振幅值的連續時間訊號，通常稱之為類比訊號 (analog signal)。 • 語音(speech) 訊號為類比訊號的一個例子。

11. 一個以有限位元 (bit) 來表示其離散振幅(amplitude) 值的離散時間訊號，稱為數位訊號 (digital signal)。 • 一個數位訊號的範例：經過數位化並存在於光碟中的音樂訊號。 • 具有連續振幅值的離散時間訊號，稱為資料取樣訊號 (sampled-data signal)。

12. 數位訊號可以看作是量化(quantization) 過的資料取樣訊號。 • 具有離散振幅值的連續時間訊號，稱為量化箱車訊號 (quantized boxcar signal)。 • 下一張投影片說明上述四種類型訊號。

14. 訊號的函數相依特性通常可以清楚地由其數學表示式中看出。訊號的函數相依特性通常可以清楚地由其數學表示式中看出。 • 對於連續時間一維訊號，其連續獨立變數通常以 t 表示。 • 例如，以 u(t)表示連續時間一維訊號。 • 對於離散時間一維訊號，其離散獨立變數通常以 n 表示。 • 例如，以 {v[n]} 表示離散時間一維訊號。 • 離散時間訊號中的每一項 v[n] 稱為一個取樣(sample)。

15. 在許多的應用中，離散時間訊號都是將原本的連續時間訊號經過固定時間間隔取樣而得到。在許多的應用中，離散時間訊號都是將原本的連續時間訊號經過固定時間間隔取樣而得到。 • 如果離散時間訊號所定義的離散時間點間隔一致，則可以將離散的獨立變數 n 正規化並假設為整數值。 • 在連續時間二維訊號中，兩個獨立變數為空間座標，通常以 x和 y 表示。 • 例如，一張黑白影像在 (x , y) 位置的明暗度可以表示為 u (x , y)。

16. 另一方面，一張數位化的影像是二維的離散時間訊號，兩個獨立變數是離散的空間變數，通常以 m 和 n 表示。 • 因此，一張數位化的影像可以表示為 v [m , n]。 • 一個黑白的視訊訊號是一個三維的訊號，可以表示成 u (x , y , t)。 • 一個彩色的視訊訊號是一個向量訊號，由代表紅色、綠色及藍色的三原色視訊訊號所組成。

17. 若透過一個完善定義的程序，如數學表示式、法則或查表法，則訊號可以被唯一來決定，這樣的訊號稱為決定性訊號。若透過一個完善定義的程序，如數學表示式、法則或查表法，則訊號可以被唯一來決定，這樣的訊號稱為決定性訊號。 • 一個由隨機方式所產生的訊號，無法在其發生之前就預測出來，稱之為隨機訊號。 • 對於類比訊號，大部分訊號處理運算是在時間域(time-domain) 上完成的。 • 對於離散訊號，時間域或頻率域(frequency-domain) 的運算都是經常被採用的。

18. 基本時間域運算 • 三種最基本的時域訊號運算為：比例縮放(scaling)、延遲(delay) 和相加(addition)。 • 比例縮放就是將訊號乘上一個正值或負值的常數。 • 對於類比訊號，如果所乘的這個常數（稱為增益，gain）大於1，則這個運算稱為增幅(amplification)。 • 如果所乘的這個常數小於 1，則將這個運算稱為衰減(attenuation)。

19. 如果 x(t) 是一個類比訊號，則經過比例縮放運算後可以得到 y(t) =αx(t)，其中α為所乘的常數。 • 另外兩個基本運算是積分 (integration) 和微分 (differentiation)。 • 一個類比訊號 x(t) 經過積分所得到的訊號為 • 一個類比訊號 x(t) 經過微分所得到的訊號為

20. 訊號經過延遲運算後，會得到原訊號的延遲複本(delayed replica)。 • 對於類比訊號 x(t), y(t) = x(t-to ) 是類比訊號 x(t) 經過（t0 : 正數）的延遲後所得到的訊號。 • 如果 to 是負數，則稱為超前(advance) 運算。 • 許多應用會需要兩個或更多的訊號源來進行運算，以得到一個新的訊號。例如， 是將三個類比訊號 x1(t)、x2(t)、x3(t) 透過相加運算而得到。

21. 兩個訊號 x1(t) 和 x2(t) 相乘，可以得到訊號 • 以上所提到的基本運算也可以應用在離散時間訊號上。 • 更多複雜的訊號處理是由兩個或更多的基本運算所組成。

22. 濾波 • 最廣泛複雜的訊號處理運算之一是濾波 (filtering)。 • 完成這個運算的系統就稱為濾波器(filter)。 • 濾波器讓訊號中的某些頻率成分不失真的通過系統，而將其他的頻率成分濾除。 • 可以通過濾波器的頻率範圍稱為通帶(passband)，無法通過濾波器的頻率範圍稱為阻帶(stopband) 。 • 一般應用在類比訊號的濾波運算大多是線性的。

23. 線性類比濾波器的運算可以利用迴旋積分(convolution integral) 來描述如下： 其中，x(t) 為輸入訊號，y(t) 為輸出訊號，h(t) 為濾波器的脈衝響應(impulse response)。 低通濾波器 (lowpass filter) 可以讓低於通帶邊緣頻率 fp 的頻率成分通過，並將高於阻帶邊緣頻率 fs 的高頻成分濾除。 • 高通濾波器 (highpass filter) 可以讓高於通帶邊緣頻率 fp的高頻成分通過，將低於阻帶邊緣頻率 fs 的低頻成分濾除。

24. 帶通濾波器 (bandpass filter) 可以讓介於兩個通帶邊緣頻率 fp1 及 fp2 之間 ( fp1 < fp2 ) 的頻率成分通過，並將低於 fs1 與高於 fs2的頻率成分濾除。 • 帶阻濾波器 (bandstop filter) 可以濾除介於頻率 fs1 及 fs2 之間的頻率成分，讓低於 fp1 和高於 fp2的頻率成分通過。

25. 下圖說明一個由頻率50 Hz、110 Hz、及210 Hz 三個弦波成分所構成訊號的低通濾波結果。

26. 下圖說明相同輸入訊號之高通與帶通濾波。

27. 還有其他幾種濾波器 • 濾除單一頻率成分的濾波器，稱為凹口濾波器 (notch filter)。 • 多頻帶濾波器 (multi-band filter) 具有一個以上的通帶和阻帶。 • 梳形濾波器 (comb filter) 可以用來將某個低頻的整數倍頻率成分濾除。

28. 在許多應用中，所需要訊號的頻率成份在直流到 fL Hz 之間，但由於高頻雜訊的干擾，會有頻率大於 fH Hz 的高頻率成分出現，其中 fH > fL。 • 在這種情況下，我們可以將受到干擾的訊號通過一個截止頻率為 fc 的低通濾波器 ( fL < fc < fH)，以得到原本未受干擾的訊號。 • 常見的雜訊來源是電源線，其輻射出電磁場。 • 電源線輻射電磁場所產生的雜訊是一個 60 Hz的弦波訊號，因此我們可以讓受到干擾的訊號通過一個凹口頻率為 60 Hz 的凹口濾波器，以便將所要的訊號復原。

29. 複數訊號之產生 • 一個訊號可以是實數值或是複數值。 • 為了方便，通常稱前者為實數訊號，後者為複數訊號。 • 利用 Hilbert 轉換器，可以由實數訊號得到複數訊號。其脈衝響應為 • 考慮一實數類比訊號 x(t)，其連續時間傅立葉轉換 (CTFT)X(jΩ) 為 • X ( jΩ) 被稱為 x(t) 的頻譜。

30. 一個實數訊號的強度頻譜(magnitude spectrum) 具有偶對稱 (even symmetry) 的特性，而相位頻譜則具有奇對稱 (odd symmetry) 的特性。 • 實數訊號 x(t) 的頻譜具有正頻率和負頻率的成分。因此，可以寫為 • 其中，代表 中佔有正頻率的部分，而 代表 中佔有負頻率的部分。 • 若 x(t) 經過一個 Hilbert 轉換器 ，則其輸出 y(t) 為 • y(t) 的頻譜Y( jΩ) 為 hHT(t) 和 x(t) 個別 CTFT的乘積。

31. hHT(t) 的CTFT HHT( jΩ) 為 因此， • 當 Y( jΩ) 的強度與相位頻譜分別為偶函數與奇函數時，從 • 可知，y(t) 亦是一個實數函數。 • 考慮複數函數 g(t): • 因此，g(t) 的 CTFT 為 • 換句話說，複數訊號 g(t)，又稱為解析訊號 (analytic signal)，只有正頻率成分。

32. 為了要在頻道上有效率地傳送一個低頻率訊號，就必須先藉由調變將原本的訊號轉變為高頻率的訊號。為了要在頻道上有效率地傳送一個低頻率訊號，就必須先藉由調變將原本的訊號轉變為高頻率的訊號。 • 在接收端，則需將調變後的高頻率訊號解調變，才能得到原本的低頻率訊號。

33. 調變與解調變 • 用於類比訊號調變的方法有四種： (1) 振幅調變 (amplitude modulation) (2) 頻率調變 (frequency modulation) (3) 相位調變 (phase modulation) (4) 脈波振幅調變 (pulse amplitude modulation) 概念上，振幅調變是簡單的。 • 一個高頻弦波訊號 Acos(Ω0t) 的振幅，稱為載波訊號 (carrier signal)，會被一個低頻且有限頻寬的訊號 x(t) 所改變，因此 x(t) 被稱為調變訊號 (modulating signal)。

34. 所產生出來的高頻訊號 y(t)，則稱為已調變訊號 (modulated signal)： • 振幅調變可以透過將調變訊號與載波訊號相乘而達成。 • 為了證明頻率位移性質，令 • 其中， • 因此 • y(t) 的 CTFT Y(jΩ)為 其中， X(jΩ)為 x(t) 的 CTFT 。

35. 所產生出來的高頻訊號 y(t)，則稱為已調變訊號 (modulated signal)： 振幅調變可以透過將調變訊號與載波訊號相乘而達成。 為了證明頻率位移性質，令 其中， 因此 y(t) 的 CTFT Y(jΩ)為 其中， X(jΩ)為 x(t) 的 CTFT。

36. 調變訊號 x(t) 與已調變訊號 y(t) 的頻譜顯示如下：

37. 由上一張投影片的圖形可看出，y(t) 是一個中心頻率在 Ω0 的有限頻寬訊號，其頻寬為2Ωm。 • 振幅調變訊號介於 Ω0和 Ω0+ Ωm 之間的部份，稱為高旁頻帶(upper sideband) ；介於Ω0與 Ω0- Ωm之間的部份，則稱為低旁頻帶(lower sideband)。 • 由於已調變訊號中的載波成分會消失並產生兩個旁頻帶，所以稱之為雙旁頻帶載波抑制(double-sideband suppressed carrier, DSB-SC) 調變。 • 欲解調變 y(t) 以重新獲得 x(t)，需要兩個階段的處理步驟。 • 首先，y(t) 乘上一個與載波頻率相同的弦波訊號，得到 ：

38. 這個結果說明這個乘積訊號 r(t) 相當於原本的調變訊號乘上1/2 後，再加上一個載波頻率為 2 Ω0 的振幅調變訊號。 • r(t) 的頻譜R( jΩ) 如下： 因此，原本的調變訊號 x(t) 可以由 r(t) 經過一個截止頻率為 Ωc的低通濾波器而回復，其中必須滿足 Ωm < Ωc < 2 Ω0 - Ωm

39. 調變和解調變系統顯示如下： 一般而言，很難保證用來解調變的弦波信號頻率在任何時間都會和載波的頻率相等。 要克服這個問題，在傳送振幅調變無線電訊號時，調變的方法必須稍作調整，讓傳送的訊號中包含載波訊號。因此重新定義振幅調變如下 ： 其中，m 值必須適當選擇，以確定 [1+m x(t)]在任何 t值時皆為正數。 • 載波也會包含在調變後訊號中，這個方法稱為雙旁頻帶(DSB) 調變。

40. 下圖顯示一個頻率 20 Hz 的調變用弦波訊號與經 DSB 調變後的載波波形，其中載波頻率為 400 Hz 且 m=0.5。

41. 在傳統振幅調變中，調變後訊號具有 2Ωm的頻寬，而調變訊號的頻寬則為 Ωm。 • 為了增加傳播媒介的能力，我們通常使用一種修正式的振幅調變方法：僅傳遞已調變訊號的高旁頻帶(upper sideband) 或低旁頻帶(lower sideband) 。這種程序被稱為單旁頻帶(single sideband, SSB) 調變 ，一種可能實現的方法如下：

42. 垂直相位振幅調變 • 對頻譜的使用率來說，DSB 調變的效率只有 SSB 調變的一半。 • 垂直相位振幅調變 (quadrature amplitude modulation, QAM) 是利用 DSB 調變方法來調變兩個不同的訊號，讓它們存在於相同的頻帶中。 • 因此，QAM 所需的頻寬和 SSB 調變是一樣的。 • 考慮兩個具有限頻寬Ωm 的低頻訊號 x1(t) 與 x2(t)

43. 這兩個調變訊號分別以載波訊號 Acos(Ω0t) 和 Asin(Ω0t) 進行調變，然後將結果相加，產生一個合成訊號如下： • 這兩個載波訊號具有相同的載波頻率Ω0，但有 90 度的相位差。 • 一般稱載波 Acos(Ω0t) 為同相位(In-phase) 成份，而稱載波 Asin(Ω0t) 為 90 度相位成分。 • 合成訊號 y(t) 的頻譜 Y(jΩ) 如下： • y(t) 與經過 DSB 調變後的訊號有相同的頻寬。

44. 將 y(t) 代入上述公式（前一張投影片），再經過一些代數運算，可以獲得： 將r1(t) 與 r2(t) 經過截止頻率為Ωm的低通濾波器，即可得到兩個調變訊號 x1(t) 和 x2(t)。 • 為了重建原始的調變訊號，將合成訊號分別乘上載波的同相位成分與90度相位成分，得到兩個訊號：

45. 垂直相位振幅調變和解調變方法的方塊圖 如下：

46. 多工與解多工 • 為了有效利用寬頻的傳輸通道，許多窄頻的低頻訊號會被結合起來形成一個寬頻訊號，然後把它們當作單一訊號來傳送。 • 這個結合許多訊號的方法就稱為多工(multiplexing) 。 多工方法的使用必須確定這些原本的窄頻低頻訊號可以在接收端被還原回來。這個還原方法就稱為解多工(demultiplexing)。 分頻多工(FDM) 是電話通訊系統中一種結合不同聲音的方法。這裡，每一個聲音訊號典型地都是被限制為低頻訊號，然後利用振幅調變方法，將它們轉變為高頻訊號。

47. 相鄰振幅調變訊號的載波頻率間隔為Ω0，為確保後續各調變後訊號在相加產生基頻組合訊號時不會發生頻譜重疊的現象，我們必須選擇Ω0>2Ωm。相鄰振幅調變訊號的載波頻率間隔為Ω0，為確保後續各調變後訊號在相加產生基頻組合訊號時不會發生頻譜重疊的現象，我們必須選擇Ω0>2Ωm。 • 這一個組合訊號再被調變到主要載波上，以形成 FDM 訊號而進行傳送。

48. 在接收端，先將 FDM 訊號解調變，以得到組合之基頻訊號。 • 然後再將組合基頻訊號通過帶通濾波器，而解多工 出每個頻率平移後的訊號。 • 帶通濾波器的中心頻率為相對應的載波頻率，且頻寬稍大於 2Ωm。 • 最後再對帶通濾波器的輸出訊號進行解調變，以回復成原始聲音訊號的一個比例縮放(scaled) 版本。