Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

1. Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

2. דירוג 2 אלבומים • נניח שחברי מערכת בעיתון מוסיקה מעוניינים לדרג את האלבומים של הזמרת אליס. נניח לשם פשטות, שיש 3 חברי מערכת ושכל חבר מערכת מעדיף את אחד האלבומים ממש יותר מהאלבום האחר. • אליס הוציאה עד כה שני אלבומים: (1) אליס בארץ הפלאות, (2) אל(ב)יס.

3. דירוג 2 אלבומים • נניח שחברי מערכת בעיתון מוסיקה מעוניינים לדרג את האלבומים של הזמרת אליס. נניח לשם פשטות, שיש 3 חברי מערכת ושכל חבר מערכת מעדיף את אחד האלבומים ממש יותר מהאלבום האחר. • אליס הוציאה עד כה שני אלבומים: (1) אליס בארץ הפלאות, (2) אל(ב)יס.

4. דירוג 2 אלבומים • נניח שחברי מערכת בעיתון מוסיקה מעוניינים לדרג את האלבומים של הזמרת אליס. נניח לשם פשטות, שיש מספר איזוגי של חברי מערכת ושכל חבר מערכת מעדיף את אחד האלבומים ממש יותר מהאלבום האחר. • אליס הוציאה עד כה שני אלבומים: (1) אליס בארץ הפלאות, (2) אל(ב)יס. • נוכל להשתמש בהצבעת רוב כדי לדרג מיהו האלבום המועדף על כלל המערכת, האלבום הזוכה ידורג במקום הראשון, והאלבום המפסיד ידורג במקום השני.

5. נניח שחברי מערכת בעיתון מוסיקה מעוניינים לדרג את האלבומים של הזמרת אליס. נניח לשם פשטות, שיש מספר איזוגי של חברי מערכת ושכל חבר מערכת מעדיף את אחד האלבומים ממש יותר מהאלבום האחר. • אליס הוציאה עד כה שני אלבומים: (1) אליס בארץ הפלאות, (2) אל(ב)יס. • איך נכליל את שיטת הצבעת רוב ליותר משני אלבומים?

6. דירוג 3 אלבומים • נניח שחברי מערכת בעיתון מוסיקה מעוניינים לדרג את האלבומים של בוב הזמר. • בוב הוציא שלושה אלבומים: (1) a, (2) b, (3) c. • כדי לציין שחבר מערכת מספר 2 מעדיף יותר את אלבום cמאלבום a נשתמש בסימון הבא: c a. • כדי לציין שכלל חברי המערכת דירגו את אלבום b גבוה יותר מאלבום c, נשתמש בסימון: b c

7. דירוג 3 אלבומים • נניח שחברי מערכת בעיתון מוסיקה מעוניינים לדרג את האלבומים של בוב הזמר. • בוב הוציא שלושה אלבומים: (1) a, (2) b, (3) c. • כדי לציין שחבר מערכת מספר 2 מעדיף יותר את אלבום cמאלבום a נשתמש בסימון הבא: c a. • כדי לציין שכלל חברי המערכת דירגו את אלבום b גבוה יותר מאלבום c, נשתמש בסימון: b c

8. דירוג 3 אלבומים • העורך הציע את השיטה הבאה לדירוג 3 האלבומים: ביצוע הצבעת רוב על כל זוג אלבומים בנפרד.

9. דירוג 3 אלבומים • העורך הציע את השיטה הבאה לדירוג 3 האלבומים: ביצוע הצבעת רוב על כל זוג אלבומים בנפרד. • בעיה: מה יקרה אם אוסף הדירוגים של חברי המערכת נראה כך: • נקבל ש:ab ca

10. הבעייתיות של שיטת הצבעת "ראש בראש", הוצגה על ידי המרקיז דה קונדרוסה, 1785

11. נראה בהמשך הסבר פורמלי לבעייתיות. נתחיל עם הגדרה

12. פונקצית דירוג = פונקציות רווחה חברתית • N is the set of voters N = {1, 2, …, n} • A is the set of alternatives (“the albums”) • L is the set of linear orders on A (“the rankings”) • A function F : Ln → L is called a social welfare function

13. פה אחד ותכונות אחרות • A social welfare function F satisfies unanimityif x ≺iy for every i, then x ≺F y • Voter i is a dictator in social welfare function F if for all ≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n, F (≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n) = ≺i . • F is not a dictatorship if no voter i is a dictator in it.

14. פה אחד ותכונות אחרות • A social welfare function F satisfies unanimityif x ≺iy for every i, then x ≺F y • Voter i is a dictator in social welfare function F if for all ≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n, F (≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n) = ≺i . • F is not a dictatorship if no voter i is a dictator in it.

17. דוגמאות • שיטת "ראש בראש" מקיימת את תכונת פה אחד והיא אינה דיקטטורית. • מה לגבי שיטת "כלל הרוב" עבור 2 אלטרנטיבות?

18. דוגמאות • שיטת "ספירת בורדה": נניח שיש k אלבומים. כל אלבום יקבל k-i קולות מכל מצביע שדירג אותו במקום ה-i. נדרג את האלבומים על פי מספר הקולות שקיבלו. • במקרה של שיוויון במספר הקולות נשתמש בסדר לכסיקוגרפי לקביעת הדירוג.

19. דוגמאות • שיטת "ספירת בורדה": נניח שיש k אלבומים. כל אלבום יקבל k-i קולות מכל מצביע שדירג אותו במקום ה-i. נדרג את האלבומים על פי מספר הקולות שקיבלו. • למשל: • a יקבל 2+0 קולות • bיקבל1+2קולות • cיקבל0+1קולות. • ולכן הדירוג החברתי יהיה:b

20. שיטת "ספירת בורדה" מקיימת את תכונת פה אחד והיא אינה דיקטטורית. • למשל: • a יקבל 2 +0 קולות • b יקבל 1 +2 קולות • c יקבל 0 + 1 קולות, ולכן: b Jean-Charles, chevalier de Borda (1733 – 1799)

21. דוגמא:מנצח קונדורסה = aמנצח בורדה = b60% מהבוחרים מעדיפים את a יותר מ- b

23. נראה בהמשך הסבר פורמלי לבעייתיות. נתחיל עם כמה הגדרות תכונה בסיסיות אחרונה

24. אי-תלות • A social welfare function F satisfies unanimity if all voters favor x over y then the social ranking favor x over y. • Voter i is a dictator in social welfare function F if for all ≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n, F (≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n) = ≺i . • F is not a dictatorship if no voter i is a dictator in it. • Fsatisfies independence of irrelevant alternatives if the social ranking between any two alternatives a and b only depends on the voters’ ranking of a and b.

26. דוגמאות • שיטת הדיקטטור מקיימת את תכונת אי-התלות. • שיטת בורדה לא מקיימת את תכונת אי-התלות. דוגמא בשקף הבא:

27. דוגמאות • דוגמא: 5 מצביעים מדרגים 5 אלבומים a, b, c, d, e • המיקום היחסי של b, c הוא זהה בשני הדירוגים. • ספירת בורדה של הדירוג הימני: a =12, b=11, c=13, d=8, e=6 • ספירת בורדה של הדירוג השמאלי: a =12, b=13, c=13, d=6, e=6

29. 3 תכונות רצויות • A social welfare function F satisfies unanimityif all voters favor x over y then the social ranking favor x over y. • Voter i is a dictator in social welfare function F if for all ≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n, F (≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n) = ≺i . • F isnot a dictatorshipif no voter i is a dictator in it. • Fsatisfies independence of irrelevant alternatives if the social ranking between any two alternatives a and b only depends on the voters’ ranking of a and b.

30. 3 תכונות רצויות • A social welfare function F satisfies unanimity if all voters favor x over y then the social ranking favor x over y. • Voter i is a dictator in social welfare function F if for all ≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n, F (≺1, ≺2, ≺3, … , ≺n) = ≺i . • F is not a dictatorship if no voter i is a dictator in it. • Fsatisfies independence of irrelevant alternatives if the social ranking between any two alternatives a and b only depends on the voters’ ranking of a and b. • בעיה: מסתבר שלא קיימת פונקצית רווחה חברתית F שמקיימת את שלושת התכונות בו-זמנית.

31. משפט אי האפשרות ((Arrow, 1951:כל פונקצית רווחה חברתית F: Ln→ Lלדירוג 3 אלטרנטיבות או יותר, המקיימת את תכונת האי-תלות ואת תכונת ה"פה אחד" היא פונקציה שבה אחד המצביעים הוא דיקטטור.

32. בורדה לעומת קונדורסה, הערות:מכיוון ששיטת הספירה של בורדה מקיימת את תכונת הפה-אחד והיא אינה דיקטטורית, אז ע"פ המשפט היא אינה מקיימת "אי-התלות".שיטת "ראש בראש" של קונדורסה מקיימת את תכונות האי-תלות והפה-אחד והיא אינה דיקטטורית. אך שיטה זו אינה מוגדרת היטב.

33. בורדה לעומת קונדורסה, הערות:מכיוון ששיטת הספירה של בורדה מקיימת את תכונת הפה-אחד והיא אינה דיקטטורית, אז ע"פ המשפט היא אינה מקיימת "אי-התלות".שיטת "ראש בראש" של קונדורסה מקיימת את תכונות האי-תלות, הפה-אחד והיא אינה דיקטטורית. אך שיטה זו אינה מוגדרת היטב.

34. קנת' ארו זכה בפרס נובל בשנת 1972 על תרומתו לכלכלה

36. נראה את הוכחת משפט אי האפשרות, בשלבים ...

38. פונקצית בחירה חברתית - הגדרה • N is the set of voters N = {1, 2, …, n} • A is the set of alternatives (“the albums”) • L is the set of linear orders on A (“the rankings”) • A function F : Ln → L is called a social welfare function • In Hebrew: פונקצית רווחה חברתית • A function f : Ln → A is called a social choice function • In Hebrew: פונקצית בחירה חברתית

39. משפט אי האפשרות ((Gibbard, Satterwaite, 1973:כל פונקצית בחירה חברתית f : Ln→ Aלבחירה בין 3 אלטרנטיבות או יותר שהיא על ושאינה ניתנת למניפולציה היא פונקציה דיקטטורית.

40. קיימת הוכחה באמצעות שימוש במשפט אי האפשרות של ARROW משפט אי האפשרות ((Gibbard, Satterwaite, 1973:כל פונקצית בחירה חברתית fשאינה ניתנת למניפולציה לבחירה בין 3 אלטרנטיבות או יותר (שהיא על) היא פונקציה דיקטטורית.

43. משפט אפשרותפונקצית החציון לבחירה בין 2 אלטרנטיבות או יותר אינה ניתנת למניפולציה כאשר העדפות השחקנים הם חד-שיאיות.

44. הערה: פונקצית החציון היא על. כעת, נראה את רעיון הוכחת המשפט

46. Bibliography תורת המשחקים, שמואל זמיר מיכאל משלר ואילון סולן, הוצאת ספרים ע"ש מאגנס, האוניברסיטה העברית, 2008 Noam Nisan, Tim Roughgarden, Eva Tardos, and Vijay Vazirani, Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2007. David Easleyand Jon Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge University Press, 2010 Wikipedia