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Seminarthema 4 Numerische Methoden der Eigenwertberechnung

Seminarthema 4 Numerische Methoden der Eigenwertberechnung Von: Robert Schirmer Matnr.: 41460 Betreuer: Prof.Dr Eiermann. Inhalt: . „von-Mises“ - Verfahren Inverse Iteration shifted Inverse Iteration. von-Mises Verfahren / Power-Methode Voraussetzungen: (V1) A (n x n)

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Seminarthema 4 Numerische Methoden der Eigenwertberechnung

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Presentation Transcript

  1. Seminarthema 4 Numerische Methoden der Eigenwertberechnung Von: Robert Schirmer Matnr.: 41460 Betreuer:Prof.Dr Eiermann

  2. Inhalt:  „von-Mises“ - Verfahren Inverse Iteration shifted Inverse Iteration

  3. von-Mises Verfahren / Power-Methode • Voraussetzungen: • (V1) • A (n x n) • A diagonalisierbar <=>es gibt eine Basis des aus Eigenvektoren von A • (V2) jeder Vektor aus als Linearkombination dieser Basisvektoren

  4. Verfahren: man wählt beliebigen Startvektor und bildet Iterationsfolge , , . . . nach (V2): da gilt

  5. Verfahren iterativ fortsetzen umstellen:

  6. Was passiert wenn ? laut (V1) folgt => man erhält also ein Vielfaches des Eigenvektors zum zugehörigen Eigenwert Folgerung: ðvon Mises Verfahren liefert betragsgrößten EW ð      falls deshalb verwendet man stets normierte da so folgt: konvergiert gegen normierten EV zum EW -> siehe späteres MATLAB Bsp.

  7. Wie erhält man Eigenwert? Durch Rayleigh-Quotienten: Beweis: Konvergenzgeschwindigkeit des Verfahrens ist sehr gering falls (da so nur langsam gegen NULL strebt) es konvergiert umso schneller, je kleiner ist

  8. Algorithmus: i=0 repeat until Konvergenz (normierter EV) (EW) Siehe „Mises.m“

  9. Inverse Iteration • Nun Suche nach dem betraglich kleinsten EW • Macht sich zunutze • wenn • so • da beim von-Mises-Verfahren der betraglich größte EW war, so ist nun der betraglich kleinste EW • es ist also zu lösen: • da man nicht die Inverse berechnen will stellt man um und erhält: • bei jedem Iterationsschritt ist also ein Gleichungssystem zu lösen

  10. 1 0.8782 0.8600 0.8534 0.8528 0.8526 0.8526 0 -0.1484 -0.2105 -0.2126 -0.2140 -0.2140 -0.2141 0 0.4205 0.4068 0.4150 0.4148 0.4149 0.4149 0 0.1732 0.2250 0.2330 0.2345 0.2348 0.2348 Beispiel: Es gilt zu beachten das nach jedem Schritt wieder normiert wurde durch: , da sonst sehr groß werden könnten. durch Rayleigh erhält man den EW beim 6. Schritt: 0.4978

  11. Shifted Inverse Iteration Diese oben genannte Verfahren kann man nun noch erweitern: Nehmen wir an wir suchen einen EW in der Umgebung von Wir bedienen uns dem Shiften : man erhält EW durch Inverse Iteration erhalten wir einen „fiktiven“ kleinsten EW-> man muss noch „zurückshiften“ und erhält wahren EW in der Umgebung von . Das Verfahren konvergiert umso schneller, je kleiner das Verhältnis: Wobeider Abstand zum nächstgelegensten EW und der Abstand zum zweitnächsten ist. Siehe „inverse_shift.m“

  12. Quellen: • Gene H. Golub and Charles F. Van Loan. Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press, Baltimore, MA, 3rd edition, 1996 • James W. Demmel. Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphis, PA, 1997 • “Numerik für Eigenwertaufgaben” Dr. Norbert Herrmann

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