Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2010-2011 Bahar Yarıyılı

1. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2010-2011 Bahar Yarıyılı Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL

2. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları BÖLÜM IV İKİ ve ÜÇ BOYUTLU ELEMANLAR

3. Fictitious nodal points Sanal düğüm noktaları Fictitious boundaries between fictitious elements Sanal eleman sınırları Discrete triangular elements connected only at the joints. Birbirlerine ortak bazı noktalarda bağlı oldukları varsayılan ayrık üçgen levha elemanlar Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Sanal Düğüm Noktaları Sanal Eleman Sınırları Birbirlerine ortak bazı noktalarda bağlı oldukları varsayılan üçgen elemanlar

4. Continuous Domain Equivalent Beam Elements Sürekli Ortam Parçası Eşdeğer Ayrık Sistem Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Sürekli Ortam İki Boyutlu Sonlu Eleman Eşdeğer Ayrık Sistemler

5. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları İki ve Üç Boyutlu Elemanlar Önceki haftalarda çubuk sistemler için verilen matris yerdeğiştirme yöntemi iki ve üç boyutlu sonlu elemanlardan oluşan sistemlere de uygulanabilir. Bu amaçla iki ve üç boyutlu sonlu elemanlara ait birim yerdeğiştirme ve yükleme matrislerinin tanımlanması gerekmektedir.

6. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Sonlu Elemanların Yerdeğiştirmelerinin Uç Yerdeğiştirmelerine Bağlı İfadeleri A- Düzlem Elastisite Düzlem elastisitede elemanlar iki boyutludur ve yükler eleman düzleminde etkimektedir. Düzlem elastisite problemleri ikiye ayrılır.

7. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Düzlem Elastisite a) Düzlem Gerilme Durumu (Levha) : Eleman düzlemi dışındaki gerilmeler sz=0 dır. Düzlem gerilme halinde ez≠0 olmaktadır. b) Düzlem Şekildeğiştirme Durumu (Baraj Dilimi) : Eleman düzlemi dışındaki şekildeğiştirmenin ez=0 olduğu durumdur. Düzlem şekildeğiştirme durumunda sz ≠ 0 olmaktadır.

8. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Düzlem Gerilme Durumu Düzlem Şekildeğiştirme Durumu

9. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Yerdeğiştirme Bileşenleri u=u(x,y) v=v(x,y) Yerdeğiştirme Matrisi : Eleman içindeki noktaların yerdeğiştirme bileşenlerinden oluşan kolon matristir. Uç yerdeğiştirmeleri (D)i = Yerdeğiştirme bileşenlerinin düğüm noktalarındaki değerleridir. Örneğin D3=u(x,y) ; (x,y) D3 yerdeğiştirmesinin ait olduğu düğüm noktasının koordinatlarıdır.

10. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Düzlem Elastisitede Uç Yerdeğiştirmeleri İle Uç Kuvvetleri Matrisleri Üçgen Eleman Uç Yerdeğiştirmeleri D4 D3 D6 2 3 D5 D2 1 D1

11. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Üçgen Eleman Uç Kuvvetleri

12. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Dikdörtgen Eleman Uç Yerdeğiştirmeleri ve Uç Kuvvetleri D4 D6 D3 2 D5 3 D8 D2 4 D7 D1 1

13. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Yerdeğiştirme bileşenlerinin eleman içindeki değişimini ifade eden fonksiyonlara yerdeğiştirme fonksiyonları (şekil fonksiyonları) adı verilir. Üçgen elemanda u=u(x,y) = a1x+a2y+a3 v=v(x,y) = a4x+a5y+a6 Dikdörtgen elemanda u=u(x,y) = a1xy+a2x+a3y+a4 v=v(x,y) = a5xy+a6x+a7y+a8 Bu fonksiyonların toplam terim sayısı, elemandaki toplam uç yerdeğiştirmelerinin sayısına eşittir. Yerdeğiştirme fonksiyonlarının ayrıca bazı koşulları da sağlaması gereklidir. (İleride açıklanacaktır.) Her iki doğrultuda doğrusal Her iki doğrultuda doğrusal

14. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Üç Boyutlu Elastisite Yerdeğiştirme bileşenleri u=u(x,y,z) v=v(x,y,z) w=w(x,y,z) Uç yerdeğiştirmeleri : D2=v(x1,y1,z1)

15. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Üçgen Prizma Eleman Uç Yerdeğiştirmeleri İle Uç Kuvvetleri Matrisleri

16. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Yerdeğiştirme Fonksiyonları u=u(x,y,z) = a1x+a2y+a3z+a4 v=v(x,y,z) = a5x+a6y+a7z+a8 w=w(x,y,z) = a9x+a10y+a11z+a12 Üç doğrultuda doğrusal

17. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

18. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Yerdeğiştirme Fonksiyonlarının Matris Formunda Yazılması Yerdeğiştirme fonksiyonları matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir. [U]=[A][a] ................................................(1) [A] Koordinat fonksiyonları matrisi [a] Koordinat fonksiyonlarının katsayıları

19. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Üçgen Levha Eleman [A] [a] Dikdörtgen Levha Eleman [A] [a]

20. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Üçgen Prizma Eleman Dikdörtgen Plak Eleman [A] [a]

21. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları [A] Matrisinde düğüm noktalarının koordinatları yerlerine konur ve [u]=[A][a] bağıntısı tüm düğüm noktaları için beraber yazılırsa, [d] uç yerdeğiştirme matrisi elde edilir. [d]=[Ad][a] .......................................(2) [Ad] Matrisi, [A] matrisinde düğüm noktalarının koordinatlarının yazılması ile elde edilen bir kare matristir. Boyutları düğüm noktalarının yerdeğiştirme bileşenleri toplamına eşittir.

22. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları [Ad]

23. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Yerdeğiştirmelerin Uç Yerdeğiştirmelerine Bağlı İfadesi (2) Bağıntısından [d]=[Ad][a]  [a]= [Ad]-1[d] Bu ifade (1) de yerine konulursa, eleman üzerindeki yerdeğiştirmelerin uç yerdeğiştirmelerine bağlı ifadeleri elde edilir. [u]= [A] [Ad]-1[d] …………(3)

24. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Şekildeğiştirmelerin Uç Yerdeğiştirmelerine Bağlı İfadeleri Elemanın şekildeğiştirmeleri ile yerdeğiştirmeler arasındaki bağıntı, matris formunda şöyle yazılabilir. [e]=[∂][u] [e]=Şekildeğiştirme matrisi [∂]=Kısmi türev operatör matrisi

25. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

26. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları [e]=[∂][u] bağıntısında, [u] matrisinin (3) deki ifadesi yerine konursa, [e]=[∂][A][Ad]-1[d] veya [∂A]=[∂][A] olmak üzere [e]=[∂A][Ad]-1[d] ………………………………..(4) elde edilir.

27. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları İç Kuvvetlerin Uç Yerdeğiştirmelerine Bağlı İfadeleri İç kuvvetlerle şekildeğiştirmeler arasındaki bağıntı [σ]=[D][ε] [σ] = İç kuvvet matrisi [D] = Ortamın rijitlik matrisi (Elastik sabitlere bağlı; E, n gibi)

28. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

29. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

30. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

31. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

32. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları [σ]=[D][ε] bağıntısında, [ε] matrisinin (4) denklemindeki değeri yerine konulursa [σ]=[D][∂A][Ad]-1[d] [σ] = İç kuvvetler matrisi [D] = Ortamın rijitlik matrisi [∂A] = Koordinat matrisinin [∂] ile çarpımı (Şekil fonksiyonlarının türev matrisi) [Ad]-1 = [A] da düğüm noktalarının koordinatları konularak elde edilen matrisin tersi [d] = Uç yerdeğiştirmeleri matrisi

33. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları [K] eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi Uç kuvvetleri ile uç yerdeğiştirmeleri arasındaki bağıntılar [p]=[K][d]+[p0] [K] : Eleman rijitlik matrisi [Po] : Eleman yükleme matrisi

34. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları [K] rijitlik matrisinin herhangi bir [K]ij alt matrisi, üzerinde yük bulunmayan elemanda j düğüm noktasındaki uç yerdeğiştirmelerinden dolayı i düğüm noktasında oluşan uç kuvvetlerini göstermektedir. Rijitlik matrisinin her terimini ayrı ayrı tanımlamak gerekirse, kij terimi yüksüz elemanda yalnız Dj=1 diğer uç yerdeğiştirmeleri sıfırken, Di yerdeğiştirmesi doğrultusunda oluşan Pi uç kuvvetini göstermektedir. [Po] matrisinin herhangi bir Pi,oterimi ise bütün uç yerdeğiştirmeleri sıfırken, eleman üzerindeki yüklerden dolayı Di yerdeğiştirmesi doğrultusunda oluşan uç kuvvetini (ankastrelik uç kuvveti) göstermektedir.

35. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Rijitlik Matrisinin Herhangi Bir Kij Teriminin Virtüel İş Teoremi İle Elde Edilmesi Düzlem Gerilme Durumu

36. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Rijitlik Matrisinin Herhangi Bir Kij Teriminin Virtüel İş Teoremi İle Elde Edilmesi (Düzlem Gerilme Durumu)

37. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Rijitlik Matrisinin Herhangi Bir Kij Teriminin Virtüel İş Teoremi İle Elde Edilmesi (İnce Plak Durumu)

38. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Eleman Yükleme Matrislerinin Tayini Dış yükler, elemanların yerdeğiştirme bileşenleri doğrultularında etkiyen kuvvetlerdir.

39. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Yükleme Matrisinin Herhangi Bir Pi,o Teriminin Betti Teoremi İle Elde Edilmesi (Düzlem Gerilme Durumu)

40. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Sıcaklık Değişmesi Matrisinin Herhangi Bir Pi,t Teriminin Virtüel İş Teoremi İle Tayini (Düzlm Gerilme Durumu)

41. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Sıcaklık Değişmesi Matrisinin Herhangi Bir Pi,t Teriminin Virtüel İş Teoremi İle Tayini (İnce Plak Durumu)