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1.5 状态矢量的线性变换

1.5 状态矢量的线性变换. 如前所述,一个 n 阶系统必有 n 个状态变量。然而,这 n 个状态变量的选择却不是唯一的,但它们之间存在着线性变换关系。. 1. 定义:状态 与 的变换,称为状态的线性变换. 由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此,状态变换的实质就是状态空间基底(坐标)的变换。线性变换关系为:. 1.5.1 状态空间表达式的非唯一性. 多 输入 多 输出 系统. 可见,满足上述条件的变换矩阵 T 有无穷多个,故状态变量不是唯一的。.

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1.5 状态矢量的线性变换

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  1. 1.5 状态矢量的线性变换 如前所述,一个n阶系统必有n个状态变量。然而,这n个状态变量的选择却不是唯一的,但它们之间存在着线性变换关系。 1.定义:状态 与 的变换,称为状态的线性变换. 由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此,状态变换的实质就是状态空间基底(坐标)的变换。线性变换关系为:

  2. 1.5.1 状态空间表达式的非唯一性 多输入 多输出 系统 可见,满足上述条件的变换矩阵T有无穷多个,故状态变量不是唯一的。

  3. 1.系统的特征值:对于线性定常系统,系统的特征值是一个重要的概念,它决定了系统的基本特性。有关特征值的概念是从线性代数中提出的。 1.5.2 特征值的不变性与不变量 定义:

  4. 2 系统的不变量与特征值的不变性 不变量

  5. 例:求 的特征值,取变换阵 验证不变性 解:

  6. 重点就是:

  7. 例:求 的特征值和特征向量。 解:

  8. 1.5.3 状态空间变换为标准型 必存在一非奇异矩阵T,可以通过线性变换,使A阵化为标准形。 无重根 对角线标准型

  9. 有重根 约当标准型 当重特征根对应的独立向量的个数等于重数,A阵可化为对角线标准型。

  10. 1、A阵为任意形式 (1)无重根时 例1-10

  11. [例]变换系统为对角线标准型。 [解]: 1)求其特征值: 2)确定变换矩阵T

  12. 对角线标准型为: 3)求

  13. 时有q个独立的实特征向量 互异实特征值对应的实特征向量 , 满足: (2)A有q重实特征值 ,其余为n-q个互异实特征值 。求解 非奇异线性变换矩阵

  14. [例]已知系统矩阵A,将其 变换为标准型。 [解]: 特征值1对应两个 独立的特征向量

  15. [例]已知系统矩阵A,将其 变换为标准型。 [解]: 特征值4对应一个 独立的特征向量

  16. 仍可以化为对角阵! 用上述方法运算例1-11

  17. (3)A为任意形式的方阵,有q重实特征值 ,其余为n-q个互异实特征值 。求解 为广义实特征向量,满足: 时只有1个独立的实特征向量

  18. 互异实特征值对应的实特征向量 , 满足: 非奇异线性变换矩阵 q阶 约当块 约当块(若干) 对角线元素

  19. (二重根)时的特征矢量为: 时特征矢量: [例]:试将下列状态方程化为标准型: [解]:求特征值: 另一广义的特征矢量:

  20. (1)有n个互异实特征值 ,其变换阵是一个范德蒙德矩阵 2、A阵为标准型(友矩阵) 范德蒙 矩阵 非奇异线性变换矩阵

  21. [例]:已知系统矩阵A,将其 变换为对角线矩阵。 [解]:

  22. 3、系统的并联型实现 留数 1、互异极点 选取 状态变量 对角标准型1

  23. 对角标准型1 系统模拟结构图:

  24. 三、系统的并联型实现 留数 1、互异极点 选取 状态变量 对角标准型2

  25. 对角标准型2 系统模拟结构图:

  26. 例:求以下系统的对角标准型状态空间表达式。例:求以下系统的对角标准型状态空间表达式。 解: 注意符号 不变 对角标准型1

  27. 例:求以下系统的对角标准型状态空间表达式。例:求以下系统的对角标准型状态空间表达式。 解: 对角标准型2

  28. 2、n重极点 状态变量

  29. 约当标准型1

  30. 例:求以下系统的约当标准型状态空间表达式。例:求以下系统的约当标准型状态空间表达式。 解:

  31. 约当块 对角块

  32. 1.6 由状态空间表达式求传递函数矩阵 一、定义及表达式 零初始条件下,输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏 变换之间的传递关系——传递函数矩阵。

  33. 例:已知系统的状态方程,求传递函数矩阵。 解: 传递函数 组成的矩阵!

  34. 例:机械位移系统 设系统原处于静止状态。 输入:F1,F2 输出:Y1,Y2 求传递矩阵。

  35. 解:写微分方程 设初始条件为零,取拉氏变换: 写成矩阵形式:

  36. 耦合关系 第 个输入与第 个输出之间的传递函数。 根据矩阵求逆公式:

  37. 唯一性 线性变换 同一系统,传递函数阵是唯一的!

  38. 二、各种连接时的传递函数矩阵 1、并联连接(书P46) 2、串联连接 3、反馈连接

  39. 作业 1-9(1)

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