Lezione introduttiva su : Fluidi ideali

1. Lezione introduttiva su: Fluidi ideali (Ing. E. Foti)

2. Fluidi ideali: sommario della lezione (1)L. de Lagrange, “Mechanique analytique”; (1788).

3. 1. Premessa Il moto di un fluido che occupa la regione V(t) racchiusa dalla superficie S(t) è usualmente affrontato ipotizzando che le caratteristiche macroscopiche valutabili sperimentalmente siano funzioni continue dello spazio e del tempo. Ciò implica che il processo di movimento risulta individuato e predicibile una volta che le funzioni r(x,t), v(x,t), p(x,t) e T(x,t), rispettivamente significative della distribuzione di densità, velocità, pressione e temperatura, siano note al variare del tempo in tutta la regione fluida interessata dal processo di movimento. La descrizione appena data di movimento è quella che usualmente viene definita euleriana (anche se, in realtà, fu J.R. d’Alembert, nel 1752, ad introdurla per primo(1)), in cui tutte le grandezze significative, riferite ad un sistema di riferimento fisso, vengono individuate nel tempo attraverso equazioni differenziali(2). Tale descrizione si contrappone a quella della meccanica classica in cui le variabili indipendenti risultano essere, oltre al tempo (t), le coordinate che all’istante iniziale individuano la particella materiale di cui si vuol seguire l’evoluzione per tutto il processo di movimento (1)J.le R. d’Alembert, “Essai d’une nouvelle theorie de la résistence des fluides” (1752). Memoria presentata all’Accademia di Berlino nel dicembre del 1749. (2)L. Euler, “Principia motus fluidorum”.

4. 1. Premessa In particolari condizioni, invero assai frequenti nella realtà, specialmente se il fluido considerato sia l’aria o l’acqua, entrambi caratterizzati da un bassissimo valore della viscosità cinematica , risulta utile trascurare nel processo di moto gli effetti legati alla viscosità (ciò significa porre m=0). Tale modello di fluido, detto ideale, per il quale risultano nulle sia le tensioni tangenziali, sia la parte non isotropica delle tensioni normali, rappresenta uno schema concettuale di grande utilità dal momento che esso introduce notevoli semplificazioni nelle equazioni del moto. E’ chiaro come nella realtà fisica il moto di un fluido non sia mai “veramente” ideale. Tuttavia lo schema logico di fluido ideale assume rilevanza poiché in molti casi, alcuni dei quali sono di seguito descritti, gli effetti viscosi sono trascurabili. Ciò avviene ad esempio, quando il numero di Reynolds caratteristico del processo di moto risulta sufficientemente elevato. In altre parole, se Re>>1, le azioni viscose possono ritenersi trascurabili in tutto il campo di moto (tranne che in quelle regioni prossime a contorni solidi in cui i gradienti di velocità sono rilevanti)

5. 2. Formulazione del problema Sulla base delle considerazioni prima esposte, l’equazione del moto nel caso di fluidi ideali risulta essere la seguente: Cui va associata l’equazione di continuità che, nel caso più generale si può porre come segue: (equazione di Eulero) Vediamo quali considerazioni di carattere generale possono trarsi da essa. Si particolarizzi il campo di forze di massa come campo conservativo (es. campo gravitazionale) per cui è lecito porre: Ne segue allora che l’equazione di Eulero, nell’ipotesi di fluido incomprimibile, si riduce alla seguente: Quest’ultima pone chiaramente in evidenza come, nel caso di fluidi ideali e forze di massa conservative, l’accelerazione sia derivabile da un potenziale scalare.

6. Attenzione: la presenza di un potenziale scalare univoco per il campo delle accelerazioni non implica che il moto sia irrotazionale. In altre parole, il moto di un fluido ideale può essere sia rotazionale che irrotazionale. 2. Formulazione del problema Questo risultato è anche estendibile al caso di fluido comprimibile (barotropico) ideale, posto infatti r= r(p) si ricava:

7. 2.1 Il teorema di Kelvin Sulla base dell’ultima espressione mostrata, si può osservare che, indipendentemente dalla irrotazionalità del moto, per un fluido ideale immerso in un campo di forze conservative la circolazione Gdella velocità lungo una qualsiasi curva riducibile C in moto con il fluido si mantiene costante nel tempo. Infatti, definendo la circolazione G nella forma: Si ha che: Per cui, se r è una funzione monodroma di p ed il campo di forze di massa è costante (g=costante) allora la funzione integranda esprime un differenziale esatto e quindi

8. 2.1 Il teorema di kelvin Esaminiamo alcune conseguenze del teorema di Kelvin. Nel caso di irrotazionalità dal moto di un fluido ideale, il teorema di Kelvin sancisce la persistenza di tale condizione. Per chiarire questo concetto basta ricorrere al teorema di Stokes che, come è noto, assicura la seguente uguaglianza: Con n normale alla superficie A racchiusa da C. ricordando inoltre che la vorticità è definita come: Se ne ricava subito l’affermazione prima fatta. Il teorema di Stokes infatti impone sul piano fisico l’uguaglianza tra la circolazione della velocità lungo una qualsiasi curva riducibile C immersa nel dominio fluido ed il flusso di vorticità attraverso una qualsiasi superficie A da essa delimitata. In altre parole, G uguaglia l’intensità del tubo vorticoso formato da tutte le linee di vorticità (linee a tangente parallela al vettore vorticità locale) che si appoggiano alla curva C. Se il moto è irrotazionale (w=0) la circolazione risulta nulla lungo tutte le curve riducibili immerse nel campo di moto. Inoltre, per il teorema di Kelvin, se tale circostanza è verificata all’istante iniziale, essa risulterà verificata in tutti gli istanti successivi.

9. 2.1.1 Fluido ideale in moto irrotazionale e rotazionale • Riassumendo, per un fluido ideale: • Se il moto è irrotazionale (w=0) esso resta tale nel tempo ed inoltre G risulta nulla lungo tutte le linee riducibili immerse nel campo di moto • Se il moto è rotazionale (w0) l’evoluzione della vorticità è descritta dall’equazione seguente: • quest’ultima mostra che, nell’ipotesi di densità uniforme, la dinamica della vorticità non è influenzata né dal campo delle pressioni, né dalle forze di massa (supposte conservative). Essa risulta invece descritta da un bilancio tra variazione locale, convezione di vorticità da parte del fluido per effetto della disuniforme distribuzione di w oltre ad un termine che tiene conto della distorsione o dilatazione delle linee di vorticità per effetto del gradiente di velocità. • Nel caso di moto rotazionale, il teorema di Kelvin implica che nei fluidi ideali i tubi vorticosi sono permanenti, cioè si muovono con il fluido e mantengono intensità costante.

10. Se generata, la vorticità si intensifica o si attenua per effetto del termine e viene trascinata dal fluido per effetto dei termini convettivi 2.1.1 Fluido ideale in moto irrotazionale e rotazionale In un fluido a densità costante soggetto a un campo di forze conservativo, la vorticità non può essere generata all’interno della massa fluida.

11. 3. Soluzioni dell’equazione di Eulero Vediamo innanzitutto di derivare un importante risultato che vale in tale ambito: il teorema di Bernoulli. Si consideri l’equazione di Eulero per fluidi barotropici: Ovvero: Poiché vale l’identità vettoriale: Si può ricavare: Ponendo: Si ricava quindi:

12. Teorema di Bernoulli in grande Teorema di Bernoulli in piccolo 3. Soluzioni dell’equazione di Eulero Il risultato appena ricavato, ovverosia: suggerì a Lagrange due diverse soluzioni, che verranno presentate nel prosieguo, ottenute nelle ipotesi di:

13. L’equazione di Eulero scritta nell’ipotesi di forze di massa conservative e di fluido a comportamento al più barotropico e avendo introdotto la grandezza , può porsi nella forma: Se si introducono le ipotesi di: moto permanente; moto rotazionale; Si ricava: . Tuttavia, poiché il vettore è un vettore che risulta ortogonale sia a v che a w, ne segue che si mantiene costante sia lungo le linee di corrente che lungo le linee di vorticità (su dette linee infatti, ). H è costante sulle linee di corrente (che coincidono con le traiettorie nell’ipotesi introdotta di moto permanente) e sulle linee di vorticità. Questo è il teorema di Bernoulli in piccolo! 3.1 Soluzione per moti rotazionali in moto permanente: ovvero il teorema di Bernoulli in piccolo

14. fluido perfetto (m=0); fluido pesante (forze di massa dovute al campo gravitazionale per cui f=-g grad(z) ); fluido incomprimibile (r=costante); moto permanente ( ); Si ricava: Sulle linee di corrente (che coincidono con le traiettorie poiché il moto è stazionario) 3.1.1 Il teorema di Bernoulli “in piccolo” nella pratica idraulica Nelle ipotesi di: La grandezza H è detta carico totale. Ad essa può essere attribuito sia un significato geometrico, sia un significato energetico.

15. 3.1.2 Significato energetico del teorema di Bernoulli Al teorema di Bernoulli può essere attribuito un preciso significato energetico che ne costituisce l’essenza e l’importanza. Si può infatti dimostrare che il carico totale H rappresenta l’energia meccanica totale per unità di peso del fluido in movimento. Consideriamo separatamente i tre addendi del trinomio: La quota geodetica rappresenta, ovviamente, quella parte dell’energia potenziale che compete all’unità di peso del fluido per il fatto che essa occupa una ben determinata posizione nel campo gravitazionale. Infatti, spostandosi lungo la verticale, cioè lungo la linea di forza, dalla quota z alla quota zero essa potrebbe compiere un lavoro pari a z*1=z. Possiamo quindi indicare questa energia come energia posizionale. Il termine v2/2g rappresenta l’energia cinetica dell’unità di peso di fluido per il fatto che è animata da velocità. Basta ricordare che la massa dell’unità di peso vale 1/g. L’energia specifica è dunque:

16. 3.1.2 Significato energetico del teorema di Bernoulli L’interpretazione dell’altezza piezometrica come termine energetico può essere fatta discendere dall’esempio seguente. Nel recipiente illustrato in figura contenente liquido in quiete, si isoli idealmente un volume infinitesimo dw affondato di h rispetto allo specchio liquido. Esso è soggetto ad una pressione pari a p=gh Per il teorema di Archimede, le forze ad esso applicate, cioè al forza peso e la spinta idrostatica, si fanno equilibrio.

17. 3.1.2 Significato energetico del teorema di Bernoulli Se ora pensiamo di trasferire questo volume dw in prossimità del pelo libero, ovviamente non si compie alcun lavoro poiché stiamo stiamo spostando un sistema a risultante nullo. Per contro, a spostamento avvenuto, ci si può rendere conto che la sua energia posizionale è aumentata di ghdw: deve quindi essere diminuita un’altra forma di energia anch’essa di tipo potenziale giacché sia all’inizio che alla fine dell’operazione il liquido è in quiete. Dal che il solo mutamento avvenuto riguarda la pressione (da p a zero). Sembra lecito concludere che l’acquisto di energia posizionale sia avvenuto a spese di un’energia legata alla pressione. Detta energia deve essere diminuita per l’unità di peso di h=p/g. Designeremo questa energia come energia di pressione.

18. 3.1.3 Potenza di una correntge in una sezione. Estensione del teorema di Bernoulli a una corrente Il significato energetico che può essere attribuito al teorema di Bernoulli lo ricollega al concetto di potenza: anzi, attraverso questo concetto si può giungere all’estensione del teorema di Bernoulli alle correnti di sezione finita. Definiamo come potenza di una corrente in una generica sezione trasversale l’energia che la corrente fa passare attraverso quella sezione nell’unità di tempo. Si consideri un tubo di flusso di sezione infinitesima dA, sia: la portata del tubo di flusso e sia inoltre H il carico totale. Detta dP la potenza del filetto di corrente nella sezione, si ha allora per definizione: Per passare alla corrente di sezione finita basta integrare all’intera sezione sezione trasversale:

19. 3.1.3 Potenza di una corrente in una sezione. Estensione del teorema di Bernoulli a una corrente Nell’ipotesi di validità del teorema di Bernoulli (fluido perfetto, pesante, incomprimibile in moto permanente) sia il carico H che la portata dQ restano costanti per ognuno dei tubi di flusso elementari che costituiscono l’intera corrente. Ne segue che anche P resta costante. Si può quindi concludere che: nel moto permanente di un fluido perfetto, pesante e incomprimibile la potenza si mantiene costante in tutte le sezioni trasversali. Ad una espressione analoga a quella che è stata prima mostrata per una traiettoria si può pervenire per il caso delle correnti gradualmente variate caratterizzate, cioè, da una distribuzione idrostatica della pressione nelle singole sezioni trasversali. Per questa proprietà, infatti, separando la potenza cinetica da quella potenziale, è possibile scrivere: La Pc dipende dalla distribuzione della velocità nella sezione trasversale che, nella maggior parte dei casi di interesse pratico, nota solo per via sperimentale. Tuttavia si può giungere ad una sua espressione in termini finiti ricorrendo all’artificio di introdurre un coefficiente di ragguaglio a. Lo diremo coefficiente di ragguaglio per le potenze cinetiche.

20. 3.1.3 Potenza di una corrente in una sezione. Estensione del teorema di Bernoulli a una corrente Il coefficiente di ragguaglio a è definito come rapporto tra la potenza cinetica effettiva della corrente e la potenza cinetica di una corrente fittizia di pari portata ma che avesse una distribuzione uniforme della velocità nella sezione trasversale: Essendo V la velocità media. Si ottiene quindi: e pertanto: Avendo indicato con H il trinomio: Che rappresenta l’energia specifica media del fluido che attraversa la sezione. Per la costanza di H e di Q lungo la corrente, ilo teorema di Bernoulli può dunque scriversi nella forma:

21. Se adesso si introduce l’ipotesi di: moto irrotazionale (w=0); Utilizziamo ancora una volta l’identità vettoriale seguente: Ciò postula l’esistenza di una funzione F detta “potenziale delle velocità” tale che 3.2 Soluzione per moti irrotazionali: ovvero il teorema di Bernoulli in grande Ancora una volta partiamo dall’equazione di Eulero scritta nell’ipotesi di forze di massa conservative e di fluido a comportamento al più barotropico, ovvero partiamo dalla seguente relazione: Ovvero, come già visto,:

22. Ossia: Con F(t) funzione arbitraria del tempo la cui forma risulta irrilevante ai fini della risoluzione del problema della determinazione del campo di moto, poiché è sempre possibile definire una nuova funzione potenziale delle velocità tale che: 3.2 Soluzione per moti irrotazionali: ovvero il teorema di Bernoulli in grande Inoltre, se il dominio risulta semplicemente connesso, allora G=0 (per il teorema di kelvin) e quindi la funzione F è monodroma e dipende solo dai vettori che ne caratterizzano la posizione iniziale e quella finale per cui: Cioè, appunto: che sostituita nell’equazione di Eulero, permette di ricavare il seguente risultato:

23. Questo quadrinomio è costante ovunque. Questo è il teorema di Bernoulli in grande! 3.1 Soluzione per moti rotazionali in moto permanente: ovvero il teorema di Bernoulli in grande In definitiva quindi si ottiene:

24. fluido perfetto (m=0) in moto irrotazionale (w=0); fluido pesante (forze di massa dovute al campo gravitazionale per cui f=-g grad(z) ); fluido incomprimibile (r=costante); moto permanente ( ); Dalla: 3.1.1 Il teorema di Bernoulli “in grande” nella pratica idraulica Nelle ipotesi di: Si noti che, in questo caso, il carico totale si mantiene costante in tutto il campo di moto!

25. 4. Moti irrotazionali L’oggetto di questo capitolo riguarda lo studio del campo di moto attorno a corpi di varia forma. Il fluido sarà assunto privo di viscosità e incompressibile. Sulla base del teorema di Kelvin si può affermate che il moto di un fluido ideale, al più barotropico, che ha inizio dalla quiete (cioè da una situazione irrotazionale) permane indefinitamente irrotazionale. Un siffatto moto ideale presenta tuttavia una velocità non nulla in corrispondenza dei contorni solidi. Di contro, un fluido viscoso, deve soddisfare la condizione di aderenza in corrispondenza dei contorni solidi. Quando il numero di Reynolds è sufficientemente elevato, il campo di moto attorno a corpi immersi può però essere suddiviso in una regione esterna in cui il moto si assume ideale e irrotazionale, e una regione interna, prossima ai contorni solidi, in cui la diffusione viscosa e la vorticità sono elevate. Il moto esterno può essere affrontato trascurando la presenza dello “strato limite” e applicando la teoria dei moti irrotazionali di seguito presentata, una volta che il moto “esterno” è risolto, il moto all’interno dello strato limite può essere risolto imponendo un “matching” con la soluzione esterna.

26. 4. Moti irrotazionali

27. 4.1 Potenziale delle velocità ed equazione di Laplace L’equazione di continuità per un fluido incomprimibile, in due dimensioni, nella forma: Garantisce l’esistenza di una funzione di corrente y che consente di ricavare le componenti di velocità secondo le identità: Allo stesso modo, la condizione di irrotazionalità postula l’esistenza della funzione potenziale delle velocità che è correlata, in due dimensioni, al campo delle velocità dalle relazioni: Dalle condizioni sopra riportate si ricava che la funzione di corrente e la funzione potenziale sono tra loro correlate dalle condizioni di Cauchy-Riemann:

28. 4.1 Potenziale delle velocità ed equazione di Laplace Le linee equipotenziali e le linee di corrente sono tra loro ortogonali. Infatti: inoltre, le linee equipotenziali e le linee di corrente soddisfano le equazioni di Laplace: per quanto concerne le condizioni al contorno, esse possono essere di due tipi. 1) condizioni in corrispondenza dei contorni solidi: deve essere nulla la componente normale della velocità; 2) condizioni all’infinito: usualmente si impongono condizioni del tipo:

29. 4.2 Applicazioni di variabili complesse Introduciamo la variabile complessa z tale che: Supponiamo inoltre di introdurre anche la variabile complessa w definita dalla seguente relazione: Detta funzione è chiamata “potenziale complesso”. Dalla teoria delle funzioni di variabile complessa, è noto come nel caso in cui una funzione di variabile complessa soddisfi alle condizioni di Cauchy-Riemann, la sua derivata è unica, nel senso che: è indipendente dalla direzione di derivazione con cui dz tende a zero nel piano xy. Nella descrizione dei moti irrotazionali, la quantità rappresenta un’importante quantità. Infatti, poiché essa è indipendente dall’orientamento di dz, possiamo prendere dz parallelo all’asse x, ovvero

30. 4.2 Applicazioni di variabili complesse si ottiene quindi: ovvero, ricordando i legami tra funzione di corrente, funzione potenziale e campo di velocità: La derivata del potenziale complesso w rispetto a z è pertanto una quantità immaginaria la cui parte reale e parte immaginaria forniscono le componenti del campo di velocità. La conoscenza del potenziale complesso come funzione complessa della variabile z consente dunque di determinare, attraverso una semplice operazione di derivazione, il campo di velocità.

31. 4.3 Le trasformazioni conformi Fino ad ora si è mostrato come il campo di moto possa essere rappresentato anche nel piano complesso. Tuttavia non è ancora chiara l’utilità di detta rappresentazione. L’utilità della rappresentazione nel piano connesso è strettamente collegata alle trasformazioni conformi. Accanto al piano z=x+iy si introduca il piano z’=x’+iy. Si consideri inoltre la funzione analitica z’=z’(z) che associa ad ogni punto del piano z un punto del piano z’. Tale trasformazione si dice conforme perché conserva gli angoli, nel senso che se due linee nel piano z si intersecano nel piano z secondo un angolo, le due linee trasformate di queste nel piano z’ si intersecheranno secondo lo stesso angolo. Da ciò segue che la trasformazione conforme fa corrispondere le linee equipotenziali e di corrente di un moto irrotazionale ideale nel piano z a quelle di un altro moto irrotazionale nel piano z’. Tale trasformazione si dice conforme perché conserva gli angoli, nel senso che se due linee nel piano z si intersecano nel piano z secondo un angolo, le due linee trasformate di queste nel piano z’ si intersecheranno secondo lo stesso angolo.

32. 4.3 Le trasformazioni conformi Sia dunque dato nel piano z un campo di moto di potenziale complesso w(z). La funzione: è analitica perché la sua derivata esiste ed è unica, basti vedere il secondo membro della seguente relazione: Ne segue che w’ è il potenziale complesso di un moto irrotazionale ideale nel piano z’ Siano p e p’ due punti corrispondenti nel piano z e z’: sarà per cui: nei punti corrispondenti dei due piani i due potenziali hanno lo stesso valore.

33. 4.3 Le trasformazioni conformi Anche la circolazione rimane immutata nei due piani poiché essa è datata rispettivamente dagli integrali: Che sono uguali perché lungo le due linee C e C’, che sono l’una la trasformata dell’altra, il potenziale assume lo stesso valore.