Dynamik komplexer systeme
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Dynamik komplexer Systeme - PowerPoint PPT Presentation


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Dynamik komplexer Systeme. Fraktale. 0-dimensionale Menge Punkt endliche Punktwolke 1-dimensionale Menge Linie Gerade, Strecke, Kreisumfang, Gesamtkantenlänge eines Würfels. 2-dimensionale Menge Fläche Ebene, Kreisfläche, Kugeloberfläche 3-dimensionale Menge Volumen Raum, Kugelvolumen.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Dimensionen l.jpg

0-dimensionale Menge

Punkt

endliche Punktwolke

1-dimensionale Menge

Linie

Gerade, Strecke, Kreisumfang, Gesamtkantenlänge eines Würfels

2-dimensionale Menge

Fläche

Ebene, Kreisfläche, Kugeloberfläche

3-dimensionale Menge

Volumen

Raum, Kugelvolumen

Dimensionen


Topologische dimension l.jpg
Topologische Dimension

  • Wenn man zur Beschreibung eines Punktes einer Menge mindestens D reelle Zahlen braucht, dann ist die topologische Dimension dieser Menge D.

  • Die topologische Dimension einer Menge ist immer eine ganze Zahl.


Hausdorff dimension l.jpg
Hausdorff Dimension

  • Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Strecke zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius:

  • N(R)  1 / R


Hausdorff dimension5 l.jpg
Hausdorff Dimension

  • Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Strecke zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius hoch eins:

  • N(R)  1 / R1


Hausdorff dimension6 l.jpg
Hausdorff Dimension

  • Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Fläche zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius zum Quadrat:

  • N(R)  1 / R2


Hausdorff dimension7 l.jpg
Hausdorff Dimension

  • Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um einen Raum zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius hoch drei:

  • N(R)  1 / R3


Hausdorff dimension8 l.jpg
Hausdorff Dimension

  • Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine D-dimensionale Menge zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius hoch D:

  • N(R)  1 / RD= RD

  • Die Dimension D ist nicht immer ganzzahlig.


Slide9 l.jpg

How Long Is the WestCoast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional DimensionBenoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638

  • N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)

  • gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D


Slide10 l.jpg

How Long Is the WestCoast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional DimensionBenoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638

  • N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)

  • gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D

R [km] N(R) L(R) [km]

986,48 0,79 778,30

548,64 1,45 792,80

209,90 4,81 1009,30

101,89 12,85 1309,00

29,95 59,91 1794,90

10,43 251,80 2626,30


Slide11 l.jpg

How Long Is the WestCoast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional DimensionBenoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638

  • N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)

  • gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D

  • Potenzförmige Zusammenhänge werden leicht erkennbar in der

doppeltlogarithmischen Darstellung (log-log-Plot)

L(R) =   R1D

log(L(R)) = log() + (1D)  log(R)


Slide12 l.jpg

How Long Is the WestCoast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional DimensionBenoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638

  • N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)

  • gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D

  • Potenzförmige Zusammenhänge werden leicht erkennbar in der

doppeltlogarithmischen Darstellung (log-log-Plot)

L(R) =   R1D

log(L(R)) = log() + (1D)  log(R)


Slide13 l.jpg

How Long Is the WestCoast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional DimensionBenoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638

  • N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte)

  • gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D


Die koch kurve l.jpg
Die Koch-Kurve

  • Konstruktion durch Iteration:

    • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

    • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

Ausgangskonfiguration


Die koch kurve15 l.jpg
Die Koch-Kurve

  • Konstruktion durch Iteration:

    • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

    • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

1 Iteration


Die koch kurve16 l.jpg
Die Koch-Kurve

  • Konstruktion durch Iteration:

    • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

    • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

2 Iterationen


Die koch kurve17 l.jpg
Die Koch-Kurve

  • Konstruktion durch Iteration:

    • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

    • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

3 Iterationen


Die koch kurve18 l.jpg
Die Koch-Kurve

  • Konstruktion durch Iteration:

    • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

    • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

4 Iterationen


Die koch kurve19 l.jpg
Die Koch-Kurve

  • Konstruktion durch Iteration:

    • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

    • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

5 Iterationen


Die koch kurve20 l.jpg
Die Koch-Kurve

  • Konstruktion durch Iteration:

    • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

    • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

6 Iterationen


Die koch kurve21 l.jpg
Die Koch-Kurve

  • Konstruktion durch Iteration:

    • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt.

    • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt.

7 Iterationen


Wie lang ist eine koch kurve l.jpg
Wie lang ist eine Koch-Kurve?

  • Ausgangssituation: z.B. 1 m

  • nach 1 Iteration: 4/3 m

  • nach 2 Iterationen: 16/9 m

  • nach n Iterationen: (4/3)n m

  • nach  Iterationen...

 m

2 Iterationen


Selbst hnlichkeit l.jpg
Selbstähnlichkeit

  • Eine Menge ist streng selbstähnlich, wenn eine Vergrößerung einer Teilmenge zu derselben Struktur führt wie die Struktur der gesamten Menge.

  • Die Koch-Kurve ist streng selbstähnlich.

  • Die Mandelbrot-Menge (s. Chaos) ist quasi selbstähnlich: ähnliche Struktur

  • Die Westküste Britanniens ist statistisch selbstähnlich: ähnliche statistische Eigenschaften


Selbst hnlichkeit und hausdorff dimension l.jpg
Selbstähnlichkeit und Hausdorff-Dimension

  • Eine selbstähnliche Menge sei aus k Teilmengen zusammengesetzt, die der Gesamtmenge im Maßstab 1 : m entsprechen.

  • Für die Gesamtmenge benötigt man N(R) Kugeln des Radius R zur Überdeckung.

  • Für eine der k Teilmengen benötigt man dieselbe Zahl von Kugeln mit Radius R/m.

  • Die Gesamtmenge kann man auch überdecken mit k  N(R) Kugeln des Radius R/m.

    N(R/m)

N(R/m) = k  N(R)

 N(R)  RDN(R) =   RD

 (R/m)D = k  RD

 mD = k

 D = log(k) / log(m)