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  1. Didaktik der Algebra (10) FunktionenEin zentraler Begriff im MathematikunterrichtTeil III

  2. Phasen zum Lernen des Funktionsbegriffs • Vermittlung von Grunderfahrungen, • Entdeckung von Funktionseigenschaften, • Aufdecken von Zusammenhängen, • Entdeckung neuer Funktionstypen, • Funktionen und Relationen, • Mit Funktionen operieren, • Erweiterungen.

  3. Nach der Betrachtung der linearen Funktionen werden weitere Funktionstypen untersucht. Vollrath (1994) schlägt vor, vor der Einführung der quadratischen Funktionen (in der Regel Klasse 9) die Betragsfunktion, Treppenfunktionen und charakteristische Funktionen zu behandeln.

  4. Sinn der Behandlung weiterer nichtlinearer Funktionstypen in Klasse 8 ist, eine verengte Vorstellung zum Funktionsbegriffs auf lineare Funktionen vorzubeugen. Dazu bieten sich die genannten Funktionstypen an, da sie z.B. einen Knick haben, nicht stetig sind oder evtl. kaum graphisch darstellbar sind.

  5. BetragsfunktionDie Betragsfunktion wird bei der Behandlung der negativen Zahlen eingeführt. In diesem Zusammenhang wird sie den Schülerinnen und Schüler aber nicht als Funktion bewusst:

  6. Der Graph der Betragsfunktion hat verschiedene besondere Eigenschaften wie z.B. den Knick im Ursprung. Es bietet sich an, diese Eigenschaften durch Rückgriff auf die Definition zu erläutern. Auch die Symmetrie und die Beziehung zur linearen Funktion x x sind von Interesse.

  7. Treppenfunktionen Der Zugang zu den nicht stetigen Treppenfunktionen erhält man leicht aus alltäglichen Anwendungsaufgaben wie z.B. Briefporto, Zensuren in Klassenarbeiten oder Parkgebühren.Bei den Treppenfunktionen sind vor allem die Unstetigkeit und die Charakterisierung als stückweise konstante Funktion von Interesse.

  8. Bei den charakteristischen Funktionen handelt es sich um Funktionen vom Typ wobei M  R . Interessant sind hier u.a. Funktionen, deren Graphen kaum noch zu zeichnen sind, z.B. wenn M alle Bruchzahlen enthält, die als Stammbrüche darstellbar sind.

  9. Mit der Einführung der reellen Zahlen, des Quadrierens und der Wurzelrechnung ergibt sich die Möglichkeit der Definition quadratischer Funktionen als weiteren Funktionstyp.

  10. Ausgangspunkt ist zunächst die Funktion x x2, deren Graph die Normalparabel ist. Schrittweise werden dann über Verschieben auf der x- und y-Achse, Stauchen, Strecken und Spiegeln alle quadratischen Funktionen hergeleitet.

  11. Anhand der Normalparabel wird zunächst die Symmetrie des Graphen zur y-Achse erarbeitet. Da die Bezeichnung Normalparabel erst einsichtig wird, wenn weitere Parabeln bekannt sind, sollte diese Namensgebung zunächst unterbleiben.

  12. Die Verschiebung der Normalparabel auf der y-Achse ist für die Schülerinnen und Schülern schnell klar, da es analog zum Verschieben der linearen Funktionen ist (y-Achsenabschnitt).

  13. Die Verschiebung auf der x-Achse bereitet dagegen mehr Probleme, da die Verschiebungs-richtung anders ist, als man vom Funktionsterm her denken würde. Es bietet sich hier an, verschiedene Graphen zeichnen zu lassen und Verschiebungen zu variieren. Ein Computer-einsatz oder ein Übereinanderlegen von Folien ist sicherlich hilfreich.

  14. Bei der Bestimmung der Funktionsgleichungen zu verschobenen Parabeln kann man sich z.B. an der Normalparabeln orientieren: Mathematik 9, Hahn/Dzewas, Westermann 1993.

  15. Bei der Verschiebung auf der x-Achse bzw. y-Achse werden jeweils die Scheitelpunkte S bestimmt:x  x2 + ys : S(0; ys)x  (x-xs) 2 : S(xs;0)x  (x-xs) 2 + ys : S(xs; ys)Diese Form der Funktionsterme werden Scheitelpunktsform genannt.

  16. Die Scheitelpunktsform x  (x - xs) 2 + yslässt sich durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen auf die Form x  x2 + bx+c bringen.

  17. Nach der Betrachtung der Funktionen der Art x  x2 + bx+c bleibt die Frage, welche Auswirkungen ein Faktor vor dem x2 hat?Auch hier liefern verschiedene Funktionsgraphen wieder Vermutungen.

  18. Für einen positiven Koeffizienten ergibt sich ein Stauchen oder Strecken (je nachdem ob der Koeffizient größer oder kleiner als 1 ist) und für einen negativen Koeffizienten wird die Parabel zusätzlich noch an der x-Achse gespiegelt.

  19. Funktionen in der Form x  ax2 + bx+c mit a 0 können durch Termumformungen in die Scheitelpunktform überführt werden. Bei den Umformungen wird die quadratische Ergänzung verwendet. Als Koordinaten des Scheitelpunkts erhält man

  20. Da der Zusammenhang zwischen Koeffizienten in den Funktionstermen und den Eigenschaften des Funktionsgraphen immer wieder Probleme bereitet, bietet es sich an, die verschiedenen Fälle noch einmal anhand von Beispielen zu veranschaulichen:

  21. Mathe-matik 9, Hahn/ Dzewas, Wester-mann 1993.

  22. Da man durch die Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion gleichzeitig rein algebraisch den Extremwert dieser Funktion bestimmt hat, können hier auch schon Extremwertaufgaben gelöst werden. Dieser algebraische Zugang dient dabei als Vorbereitung auf die Analysis der Sek. II.

  23. Beispiel: Welches Rechteck mit dem Umfang U hat den größten Flächeninhalt ? Diese Aufgabe führt zu der Funktion mit der bekannten Lösung (Quadrat).

  24. Phasen zum Lernen des Funktionsbegriffs • Vermittlung von Grunderfahrungen, • Entdeckung von Funktionseigenschaften, • Aufdecken von Zusammenhängen, • Entdeckung neuer Funktionstypen, • Funktionen und Relationen, • Mit Funktionen operieren, • Erweiterungen.

  25. Im Rahmen der Neuen Mathematik wurden Funktionen (im Extremfall) als rechtseindeutige und linkstotale Relationen definiert, d.h. Funktionen wurden aus dem Relationsbegriff abgeleitet und nicht wie hier aufbauend auf dem intuitiven Verständnis der Schülerinnen und Schüler entwickelt.

  26. Heute werden Relationen eventuell in der Sekundarstufe II behandelt, um den Funktionsbegriff zu verallgemeinern und anders zu beleuchten.In der Sek. I hat man mit Relationen höchstens implizit zu tun, wenn Umkehrfunktionen gebildet werden.

  27. Die Umkehrfunktionen werden erstmals im Rahmen quadratischer Funktionen behandelt, da das Wurzelziehen als Umkehrung des Quadrierens erkannt wird. Folglich liefert die Hintereinanderausführung der Funktionen die identische Funktion x  x .

  28. Problematisch ist dabei der Definitionsbereich, da die Quadratwurzel nur für nichtnegative Zahlen definiert ist.Anschaulich ergeben sich zwei Parabeläste im ersten Quadranten, die spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden liegen.

  29. Fasst man das Umkehren einer Funktion als Spiegelung des Graphen an der Winkelhalbierenden auf, so kann man die gesamte Normalparabel „umkehren“. Man erhält eine liegende Parabel, die die graphische Darstellung einer Relation (keiner Funktion!) ist. Für die Schule kann man prüfen, dass diese Umkehrrelation keine Funktion ist.

  30. Algebraisch kann man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion durch Vertauschen der Variablen erhalten: y=2x+3 x=2y+3  y=(x-3):2.Lässt sich die Gleichung nach Variablentausch nicht eindeutig nach y auflösen, so gibt es keine Umkehrfunktion.

  31. Phasen zum Lernen des Funktionsbegriffs • Vermittlung von Grunderfahrungen, • Entdeckung von Funktionseigenschaften, • Aufdecken von Zusammenhängen, • Entdeckung neuer Funktionstypen, • Funktionen und Relationen, • Mit Funktionen operieren, • Erweiterungen.

  32. Bei der Operation mit Funktionen werden verschiedene Verknüpfungen von Funktionen betrachtet. Beispielsweise kann die quadratische Funktion x  ax2 + bx+c als Summe zweier Funktionen x  ax2und x  bx+c aufgefasst werden. Analog kann eine Multiplikation von Funktionen definiert werden.

  33. Mögliche Fragestellungen wären, ob die Summe bzw. das Produkt zweier Funktionen wieder eine Funktion ist, ob das Kommutativgesetz gilt o.ä.. Neben Addition und Multiplikation gibt es noch einen weiteren Typ der Verknüpfung: die Verkettung von Funktionen.

  34. Die Verkettung von Funktionen h: x g(f(x)), d.h. h = g  fist durch das Hintereinanderausführen von Operatoren eigentlich schon bekannt. Als Veranschaulichung bieten sich hier Pfeildiagramme an. Die Behandlung der Verkettung von Funktionen trägt ebenfalls zum Verständnis von Umkehrfunktionen bei.

  35. Phasen zum Lernen des Funktionsbegriffs • Vermittlung von Grunderfahrungen, • Entdeckung von Funktionseigenschaften, • Aufdecken von Zusammenhängen, • Entdeckung neuer Funktionstypen, • Funktionen und Relationen, • Mit Funktionen operieren, • Erweiterungen.

  36. In dieser Erweiterungsphase werden noch einmal neue Funktionstypen eingeführt. Dabei handelt es sich um die Potenz- und Exponentialfunktion, die Logarithmusfunktion und um die trigonometrischen Funktionen.

  37. Die Potenz- und Exponentialfunktion ergeben sich beide aus der Betrachtung von Potenzen unter dem Aspekt der Funktionen: mit nN und aR+.

  38. Die Potenzfunktion kann als Erweiterung der Funktion x  x2zu x  x3usw. angesehen werden.Von Bedeutung sind hier die Eigenschaften des Funktionsgraphen bei steigendem Exponenten bzw. bei geradem/ungeradem Exponenten.

  39. Mathematik 10, Hahn/Dzewas, Westermann 1992.

  40. Die Potenzfunktion kann schließlich erweitert werden auf negative Exponenten bzw. rationale oder sogar reelle Exponenten. Diese Fälle werden im Rahmen der Funktionsbetrachtung allerdings nur am Gymnasium eine Rolle spielen.

  41. Die Potenzrechnung mit rationalen Exponenten ist dagegen auch in der Realschule und Hauptschule von Bedeutung. Sie ist u.a. Voraussetzung für die Behandlung der Exponential-funktionen.

  42. Die Rechenregeln für natürliche Exponenten können auf die Definition der Potenz als wiederholte Multiplikation zurückgeführt werden. Die Potenzen mit negativen Exponenten oder Null als Exponent werden so festgelegt, dass sie sich in Einklang mit der Multiplikations- bzw. Divisionsregel befinden.

  43. Die Potenzen mit rationalen Exponenten werden so festgelegt, dass sie sich in Einklang mit dem Potenzieren von Potenzen befinden. Dies lässt sich leicht an einem einfachen Beispiel aufzeigen:

  44. Mathematik 10, Hahn/Dzewas, Westermann 1992.

  45. Die Rechenregeln für die Potenzen umfassen damit auch die Rechenregeln für die Wurzeln. Es bedarf vielfältiger Übungsaufgaben, damit die Schülerinnen und Schüler mit den Möglichkeiten dieser Rechenregeln vertraut werden. Auch hier gilt wieder: stereotypes Üben alleine schafft kein mathematisches Verständnis.

  46. Die Exponentialfunktionen lassen sich leicht über Wachstumsprozesse, die den Schülerinnen und Schüler aus ihrer Lebenswelt bekannt sind, motivieren. Häufig gewählte Beispiele sind u.a. Algenwachstum, Bakterien-vermehrung, Zinseszinsen.

  47. Die herausragendste Eigenschaft der Exponentialfunktionen ist ihr starker Anstieg (bzw. Abfall), welcher im Vergleich zu den Potenzfunktionen herausgestellt werden sollte. Anhand des starken Anstiegs können z.B. aufwendige Vorsorgemaßnahmen bei der Bekämpfung von Tierseuchen (MKS, BSE) erklärt werden.

  48. Im Rahmen der Exponentialfunktion tauchen zum ersten Mal irrationale Exponenten von Potenzen auf. Diese lassen sich leicht anschaulich anhand der Stetigkeit von Wachstumsprozessen erklären.