Modélisation markovienne en phylogénie : contraintes et adaptations moléculaires

1. Modélisation markovienne en phylogénie : contraintes et adaptations moléculaires N. Galtier CNRS UMR 5554 – Institut des Sciences de l’Evolution Université Montpellier 2 galtier@univ-montp2.fr

2. Modèles Markoviens et phylogénie Processus Markoviens: généralités - Définition: Les chaînes de Markov ou processus de Markov sont des objets mathématiques destinés à décrire les variations d’un système au cours du temps, sous l’hypothèse (très faible) d’absence de mémoire: le futur du système dépend seulement de son état présent, et non pas de la trajectoire qu’il a suivie pour l’atteindre. • Quelques exemples: temps discret, états discrets: processus de branchement • temps discret, états continus: marches aléatoires • temps continu, états discrets: processus de Poisson • temps continu, états continus: mouvements browniens • En phylogénie moléculaire, les états du système sont les 4 nucléotides / 20 amino-acides / • 61 codons, et le processus est typiquement représenté par une matrice de transition en • temps continu.

3. Modèles Markoviens et phylogénie A C G T A X a k.a a C a X a k.a k.aa X a G ak.a a X T Modèle de Kimura (nucléotides) Modèle WAG (amino-acides)

4. Pourquoi? • parce que l'évolution est très généralement sans mémoire Pour quoi faire? - pour simuler des données - pour reconstruire des phylogénies en tenant compte du processus évolutif - pour estimer les processus et apprendre les mécanismes de l'évolution moléculaire Comment? - par l’approche statistique en phylogénie moléculaire Modèles Markoviens et phylogénie Les modèles Markoviens sont l’outil de base de la phylogénie moléculaire - parce que la théorie des chaînes de Markov est bien développée

5. Modèles Markoviens et phylogénie L’approche statistique en phylogénie moléculaire 1- modéliser L'évolution d'une séquence est représentée par un processus de Markov courant le long d'un arbre. 2- calculer les attendus sous le modèle Calculer la fonction de vraisemblance, c'est-à-dire la probabilité des données sachant les paramètres du modèle. 3- ajuster le modèle aux données Maximiser la vraisemblance sur l'espace des paramètres, de manière à obtenir les estimateurs au maximum de vraisemblance des paramètres ou Calculer la probabilité postérieure des paramètres sachant les données et les a priori (approche bayésienne).

6. y1: A A C A G y2: T T C T T y3: A A A A A données : Y Modèles Markoviens et phylogénie Calcul de vraisemblance en phylogénie moléculaire longueurs de branches: li topologie d'arbre T X0 l1 A C G T l6 X1 b b l2 A a X3 l5 X2 b a C b l7 G b b a l8 l3 l4 b T b a matrice de substitution : M

7. y1: A A C A G y2: T T C T T y3: A A A A A données : Y Pr(y13=C| X1=x1). Pr(X3=x3| X0=x0). Pr(y14=A| X3=x3). Pr(y15=G| X3=x3) Modèles Markoviens et phylogénie Calcul de vraisemblance en phylogénie moléculaire longueurs de branches: li topologie d'arbre T X0 l1 A C G T l6 X1 b b l2 A a X3 l5 X2 b a C b l7 G b b a l8 l3 l4 b T b a matrice de substitution : M L(li, M, T ) = Pr(Y | li, M, T ) = PPr(yi | li, M , T ) i Pr(y1 | li, M, T ) = SSSS Pr(X0=x0).Pr(X1=x1| X0=x0). Pr(X2=x2|X1=x1). Pr(y11=A| X2=x2). Pr(y12=A| X2=x2). x0 x1 x2 x3 Felsenstein 1981 J Mol Evol 17:368

8. Modèles Markoviens et phylogénie Calcul des probabilités de transition Hypothèses: les sites évoluent indépendamment selon un processus Markoviencommun (i.i.d.) Le processus est typiquement représenté par une matrice M=(mij), où mij est le taux instantané de changement de l'état i vers l'état j (A, C, G ou T). Dynamique instantanée: La probabilité d'être dans l'état A à l'instant t+dt est: A(t+dt) = A(t) + C(t) mCAdt + G(t) mGAdt + T(t) mTAdt - A(t) (mAC + mAG + mAT) dt (1) et de même pour les 3 autres états. Ces 4 équations différentielles s'expriment matriciellement comme: F(t+dt)=F(t)+M.F(t).dt (2) , où F(t) = (A(t), C(t), G(t), T(t))t Dynamique de long terme: La dynamique sur le long terme s'obtient en intégrant les équations différentielles (2): (3) F(t+dt)=F(t)+M.F(t).dt F(t)=eM.t.F(0)  La matrice P(t)=eMt donne les probabilités de changement sous M pendant la durée t: pij(t) est la probabilité d'être dans l'état j au temps t sachant qu'on était dans l'état i au temps 0.

9. Modèles Markoviens et phylogénie Usages de la fonction de vraisemblance Sachant calculer la vraisemblance, on peut: • estimer les paramètres en la maximisant (ML = Maximum Likelihood) • reconstruire les détails du processus en utilisant les vraisemblances conditionnelles • (EB = Empirical Bayesian) • tester des hypothèses en comparant des modèles (LRT = Likelihood Ratio Test) L'approche bayésienne permet de faire la même chose avec des modèles plus complexes, si l'on accepte de se donner des a priori (et d’attendre que les MCMC mélangent).

10. Trois exemples de questions biologiques que l’on peut vouloir poser à sa molécule favorite et qui requièrent un bon usage des modèles Markoviens: - a-t-elle évolué sous l’influence de la sélection positive? (modèles codon) - a-t-telle subi des changements fonctionnels ? (modèles covarion = hétérotaches) - peut-on exhiber des effets de coévolution entre sites ? (modèles d’écart à l’indépendance)

11. Détecter la sélection positive 2e position T C A G TTT  Phe TTC  Phe TTA  Leu TTG  Leu TCT  Ser TCC  Ser TCA  Ser TCG  Ser TAT  Tyr TAC  Tyr TAA  Stop TAG  Stop TGT  Cys TGC  Cys TGA  Stop TGG  Trp T CTT  Leu CTC  Leu CTA  Leu CTG  Leu CCT  Pro CCC  Pro CCA  Pro CCG  Pro CGT  Arg CGC  Arg CGA  Arg CGG  Arg CAT  His CAC  His CAA  Gln CAG  Gln C ATT  Ile ATC  Ile ATA  Ile ATG  Met ACT  Thr ACC  Thr ACA  Thr ACG  Thr AAT  Asn AAC  Asn AAA  Lys AAG  Lys AGT  Ser AGC  Ser AGA  Arg AGG  Arg A GTT  Val GTC  Val GTA  Val GTG  Val GCT  Ala GCC  Ala GCA  Ala GCG  Ala GAT  Asp GAC  Asp GAA  Glu GAG  Glu GGT  Gly GGC  Gly GGA  Gly GGG  Gly G

12. Détecter la sélection positive Evolution synonyme vs. non-synonyme Un changement de nucléotide dans une région codante est dit: • synonyme s'il n'entraine pas de modification de l'acide aminé codé - non-synonyme dans le cas contraire Les changements synonymes sont neutres (en première approximation) et évoluent selon le processus mutationnel. Les changements non-synonymes sont soumis à sélection naturelle: - sous le régime (majoritaire) de la sélection purificatrice, la vitesse d'évolution non-synonyme (dN) est inférieure à la vitesse d'évolution synonyme (dS). - pour un pseudogène(cas neutre), on a dN=dS. Idée: détecter l'adaptation par la recherche de gènes pour lesquels dN>dS (e.g. Messier & Stewart 1997 Nature 385:151, Wyckoff et al. 2000 Nature 403:304)

13. Détecter la sélection positive Le modèle codon de Goldman & Yang On définit M, la matrice de substitution 61 x 61 entre codons, par: b .pY si les 2 codons X et Y diffèrent par une transversion synonyme bw.pY si les 2 codons X et Y diffèrent par une transversion non-synonyme mXY = a .pY si les 2 codons X et Y diffèrent par une transition synonyme a.w.pY si les 2 codons X et Y diffèrent par une transversion non-synonyme 0 si les 2 codons X et Y diffèrent par plus d'une base Le paramètre d'intérêt w peut être estimé pour l'ensemble du jeu de données, ou bien séparément pour différentes lignées, ou bien séparément pour différents sites. w<1: sélection purificatrice ; w =1: évolution neutre ; w >1: sélection positive Goldman & Yang 1994 Mol Biol Evol 11:725

14. Détecter la sélection positive Exemple de l’adaptation à l’herbivorie chez les Colobinés Lysozyme: Modèle 1 : w0 = wC ln(L)= -1043.84 w0 = wC = 0.574 Modèle 2 : w0wC ln(L)= -1037.04 w0 = 0.389 ; wC = 3.383 Modèle 3 : w0 (wC = 1) ln(L)= -1042.58 w0 = 0.488 (Yang 1998 Mol Biol Evol 15:568)

15. Fonction n p-val Tissue n p-val <10-10 <10-3 417 247 Immunité Testicules 51 66 Gametogenèse <10-3 Thyroïde <5% 40 405 Inhibition apoptose Sang <10-2 NS 133 133 Perception sensorielle Cerveau <5% NS Détecter la sélection positive Une approche génomique chez l’homme Nielsen et al (2005 PLoS 3:170) analysent 13731 gènes chez l'homme et le chimpanzé calculent le dN/dS pour chaque paire, et comparent différents facteurs. Les principales cibles de l'adaptation moléculaire chez l'homme sont la défense immunitaire, la perception/communication, et la compétition spermatique/conflit génomique.

16. mutation favorable sites hétérotaches fonction 1 fonction 2 Changements fonctionnels et hétérotachie Adaptation moléculaire et changements de vitesse sites-spécifiques

17. Changements fonctionnels et hétérotachie Vitesse d’évolution constante entre sites Vitesse d’évolution variable entre sites Variation de vitesse site-spécifique = HETEROTACHIE

18. Changements fonctionnels et hétérotachie a. Vitesse constante entre sites b. Vitesse variable entre sites M M.r1 M.r2 M.r3 c. Variation de vitesse site-spécifique = covarions = hétérotachie n n n n M.r1 n n n n n n n n M.r2 n n n n n n n n M.r3 n n n n Galtier (2001) Mol. Biol. Evol. 18:866

19. r > 1 r = 1 r < 1 M0 (pas d’hétérotachie) M1 (hétérotachie) r2> r1 r1 > r2 Changements fonctionnels et hétérotachie Un test de rapport de vraisemblance pour déteter l’hétérotachie LR = 2 . [ln(L1) – ln(L0)] ~ c2 (1 ddl)

20. a b c d e f g S TMF S LP S TMF S LP S TMFIFP S TMFTFP S TMFYFM S TMFHFH S TMFHFT S TMFYFP S TMFLFP S TMFF F F S TMFHFT S TMFYFA S TMFPFP S TMFPFP S TMFPHL S TMFPFP S TMFLHT S TMFWVF S TMFFTP S TMFTVF S TMFLFL A AMVLFI ATMILFIAT N ALFI AIV S LFI S VMFLFITTVILFI FT TLLFI S TMFW S I S TM MW S T S TMFM N Q S TMFPHY S TMFPHP P R I M A T E S Pupko & Galtier (2002) Proc Roy Soc London B 269:1313

21. Ecarts à l’indépendance des sites = coévolution Les modèles standard font l’hypothèse d’indépendance entre sites - cela parait naïf vue l’importance des interactions entre résidus dans les macromolécules • ceci dit, autant la coévolution est flagrante au sein des ARN, autant elle est peu visible • entre amino-acides • d’où le double intérêt à l’étude de la coévolution moléculaire: • - identifier les contraintes ayant influencé l’évolution de ma molécule favorite • - comprendre le vide bibliographique associé aux protéines: • mauvaises méthodes? données inappropriées? signal réellement faible?

22. Ecarts à l’indépendance des sites = coévolution On peut modéliser la coévolution • Tillier & Collins 1998 Genetics 148:1993, Pollock et al 1999 J Mol Biol 287:187 • proposent des modèles sur les paires d’états: AC AG AT CA … AA AA AG AT CA . . . - Mais ces modèles sont difficiles à utiliser, et peu généralisables

23. A C A G T T C . . . A G A G C T A . . . A G A G C T A . . . T C A G T T C . . . T C G G T T T . . . Ecarts à l’indépendance des sites = coévolution Une approche par cartographie des substitutions . . . cartographie probabiliste . . . "clustering des mappings" tests de significativité

24. Escherichia coli D U18997 C C G A C G A U G C G U U G G C U A A G U A G G G A A U U C G G C G A C G C C U A U G G A G4 G C A A U A G C U A G C U A A C G G G C A C G A A C G U U G C G A U G U G U A G U A U U A A U G U A G G A A G C C U A U C C G U A C C G U A C C G G C U G U G U G G U U G5 G C G G A U A G C G U U A G11 A A C G A A E14 U U G A C G U U U A A U U A C G A U C G U U U A U A U A G A U C C G E25 C C A C A A C G G A A G A G U A C G G U G G G A A U A U A U G C G U U G G C U G U C G A U G G U C A A A U A E23 U C U G12 C C G C G G A U A G C U A G C G G G C G U G G U G G A G A A G G C C A U C A A C C U G C G C A A U A U G U G G A A C C G G U G G U G A G C A C G C G A C G U C G G10 G A C A U U G A E26 U G U A A G E15 G7 U G C A A U A U C A C G G A A U U A U G6 U U A A A G G C A A U U G G C A C A A G A G C U G3 U G G U G A U U U G U G G G C U G C G U A C G G G G C A G13 C C A A U U C C G C C G G U G U C G U G E13 G C G G G9 C A C C G A C G C G C U G G A U C G G C C A G C G G G A G G 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25. Modèles Markoviens et phylogénie: perspectives Il existe d'autres modèles, d'autres applications: horloge moléculaire relâchée et datations (Thorne & Kishino 2002 Syst. Biol. 51:689) reconstruction de séquences ancestrales (Zhang 2006 Nat Genet 38:819) variations de processus entre sites (Lartillot & Philippe 2004 Mol Biol Evol 21:1095) variations temporelles du régime sélectif d'un site (Guindon et al 2004 PNAS 101:12957) prise en compte des contraintes structurales (Kleinman et al 2006 BMC Bioinform 7:326) … Passage à l'échelle génomique?