บทที่ 4

1. บทที่ 4 อินทิกรัลไม่ตรงแบบ

2. อินทิกรัลไม่ตรงแบบ การศึกษาอินทิกรัลไม่ตรงแบบ b f(x)dx a = - คือการศึกษา ในกรณีที่ a f b = หรือ หรือในกรณีที่ฟังก์ชัน x = c a  c  b ไม่มีขอบเขตที่ ซึ่ง

3. กล่าวคือ lim f(x) =  - หรือ หรือ x  c- lim f(x) =  - หรือ หรือ x  c+

4. -1  dx dx 5 5 เช่น , x4 x4 -  2 อินทิกรัลไม่ตรงแบบ แบบที่หนึ่ง f ฟังก์ชัน ต่อเนื่องบนช่วงการอินทิเกรต โดยที่ช่วงการอินทิเกรต เป็นช่วงอนันต์

5. 0 0 dx dx 1 1 x+2 x+2 -3 -2  dx 5 x4 0 เช่น แบบที่สอง f c ฟังก์ชัน ไม่มีขอบเขตที่ ซึ่งเป็นจุดใน [ a, b ] a, b โดยที่ เป็นจำนวนจริง 1 dx 1 เช่น , , (x-1)1/3 0 แบบผสม อินทิกรัลที่เป็นทั้งแบบที่หนึ่ง และแบบที่สอง

6. 1 1 y = x2 x2 S : x อาณาบริเวณที่อยู่เหนือแกน อยู่ภายใต้กราฟ แนวคิดของอินทิกรัลไม่ตรงแบบ แบบที่หนึ่ง [ a,  ) บนช่วง y x x = 1 x = t

7. 1 1 y = x2 x2 A(t) : S พื้นที่ของอาณาบริเวณ y x x = 1 x = t S : x อาณาบริเวณที่อยู่เหนือแกน อยู่ภายใต้กราฟ x = 1 ล้อมรอบทางซ้ายด้วย x = t ล้อมรอบทางขวาด้วย

8. 1 y = x2 2 dx 1 A(2) = x2 1 y t = 2 x x = 2 x = 1 S

9. 1 y = x2 3 dx 1 A(3) = x2 1 y t = 3 x x = 3 x = 1 S

10. 1 y = x2 4 dx 1 A(4) = x2 1 y t = 4 x x = 4 x = 1 S

11. t dx 1 A(t) = x2 1 1 S y = อาณาบริเวณ x2 ดังนั้น t  ถ้า แล้วจะได้ภาพซึ่งแสดงให้เห็น y x x = 1

12. 1 y = x2 t  dx dx 1 1 x2 x2 = lim 1 1 t  = y x x = 1 = lim A(t) พื้นที่ส่วนที่แรเงา t 

13. lim = (4.1.1) t  t   f (x) dx f (x) dx f (x) dx a a a บทนิยาม 4.1.1 f a ให้ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [ , ) ถ้าลิมิตทางขวามือในสมการ(4.1.1)หาค่าได้ และมีค่าเท่ากับ L แล้ว เราจะกล่าวว่า ลู่เข้า และมีค่าเท่ากับ L

14.  f (x) dx a แต่ถ้าลิมิตดังกล่าวหาค่าไม่ได้ เราจะกล่าวว่า ลู่ออก

15.  วิธีทำ dx 5 f x4 จะเห็นว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกๆจุด 2 5 x4 x = 0 ยกเว้นที่ ตัวอย่าง 4.1.1 จงพิจารณาว่า ลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าอินทิกรัลนี้ลู่เข้า จงระบุค่าของอินทิกรัล f (x) = พิจารณา f ดังนั้น เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [2,  )

16. t t dx dx 5 5 x4 x4 2 2 lim lim t  t  - + 5 5 t3 3 24  dx 5 = x4 2 จากการศึกษาเอกสาร นักศึกษาจะได้ว่า = - + 5 5 t3 3 24 ดังนั้น  dx 5 = x4 2

17. - + 5 5 = t3 3 24 + 5 0 24   lim lim dx dx 5 5 ดังนั้น ลู่เข้า และ x4 x4 t  t  2 2 5 มีค่าเท่ากับ 24 = 5 = 24

18. (-,b] อินทิกรัลไม่ตรงแบบ แบบที่หนึ่งบนช่วง y y = f(x) x x = b b f (x) dx = พื้นที่ส่วนที่แรเงา - 

19. บทนิยาม 4.1.2 f b ] ให้ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน (-, b b lim f (x) dx f (x) dx = (4.1.2) k k-  -  ถ้าลิมิตทางขวามือในสมการ(4.1.2)หาค่าได้ และมีค่าเท่ากับ L แล้ว เราจะกล่าวว่า b f (x) dx ลู่เข้า และมีค่าเท่ากับ L - 

20. แต่ถ้าลิมิตดังกล่าวหาค่าไม่ได้ เราจะกล่าวว่า b f (x) dx ลู่ออก - 

21. วิธีทำ f จะเห็นว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกๆจุด 5 x4 x = 0 ยกเว้นที่ ตัวอย่าง 4.1.6 -1 dx 5 จงพิจารณาว่า ลู่เข้าหรือลู่ออก x4 -  ถ้าอินทิกรัลนี้ลู่เข้า จงระบุค่าของอินทิกรัล f (x) = พิจารณา f ดังนั้น เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน (-, -1]

22. -1 -1 -  -  -1 k lim k - -1 dx lim 5 dx 5 = x4 x4 k -  k จากการศึกษาเอกสาร นักศึกษาจะได้ว่า dx 5 5 5 = + k3 x4 3 3 ดังนั้น dx 5 5 5 = + x4 k3 3 3

23. -1 -1 -  -  + lim lim 5 5 = k3 k -  k -  3 3 + 5 = 0 3 5 = 3 dx dx 5 5 ดังนั้น ลู่เข้า และ x4 x4 5 มีค่าเท่ากับ 3

24. c f (x) dx -  (-,) อินทิกรัลไม่ตรงแบบ แบบที่หนึ่งบนช่วง บทนิยาม 4.1.3 f ให้ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน (-, ) c และ เป็นจำนวนจริงใดๆ   f (x) dx f (x) dx = + c -  c  f (x) dx f (x) dx เรากล่าวว่า ลู่เข้าเมื่อ -  - 

25.  f (x) dx ลู่เข้าและ ลู่เข้า c  f (x) dx เรากล่าวว่า ลู่เข้าเมื่อ -  c f (x) dx -   f (x) dx และกล่าวว่า ลู่ออกเมื่อ -  c  f (x) dx f (x) dx ลู่ออกหรือ ลู่ออก c - 

26.   dx dx 1 1 x2 x2 1+9 1+9 -  -  วิธีทำ ตัวอย่าง 4.1.10 จงหาค่าของ 0  dx dx 1 1 = + x2 x2 1+9 1+9 -  0 ในการศึกษาเอกสาร จะได้ว่า 0  dx 1 ลู่เข้า และมีค่าเท่ากับ x2 6 1+9 - 

27.   dx 1 และ ลู่เข้า และมีค่าเท่ากับ x2 6 1+9 0  dx 1 ดังนั้น ลู่เข้า และมีค่าเท่ากับ x2 1+9 -     + = 6 6 3

28. วิธีทำ f จะเห็นว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน ตัวอย่าง 4.1.11  xdx จงพิจารณาว่า ลู่เข้าหรือลู่ออก -  ถ้าอินทิกรัลนี้ลู่เข้า จงระบุค่าของอินทิกรัล f (x) = x ให้ (-,) จากบทนิยาม 4.1.3 จะได้ว่า 0   xdx xdx xdx = + -  -  0

29. 0 xdx จากการศึกษาเอกสาร จะเห็นว่า ลู่ออก -   xdx ดังนั้น ลู่ออก - 

30. y y = f(x) S x x = a x = b อินทิกรัลไม่ตรงแบบ บนช่วงจำกัด S พิจารณา อาณาบริเวณ ที่ถูกแรเงาในภาพ ต่อไปนี้

31. y y = f(x) lim x b- f(x) =  S A S ให้ แทนพื้นที่ของ x x = a x = b ขอให้สังเกตว่า A คำถาม: จะหา ได้อย่างไร

32. y y = f(x) S 1 x x = a x = b x = t t b S ให้ และ เป็นอาณาบริเวณที่ถูกแรเงา 1 ในภาพต่อไปนี้ A S ให้ แทนพื้นที่ของ 1 1

33. A = เพราะว่า t t 1 f(x) dx f(x) dx a a lim A = ดังนั้น t b- A  A เห็นได้ชัดว่า 1 A A t b แต่ จะมีค่าเข้าใกล้ ถ้า เข้าใกล้ 1 lim A A = 1 t b-

34. lim lim b t t f (x) dx t b- t b- f (x) dx f (x) dx a a a ถ้า หาค่าได้ บทนิยาม 4.2.1 f a b ให้ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [, ) f (x) lim = โดยที่ หรือ -  x b- = และมีค่าเท่ากับ L

35. แล้ว เรากล่าวว่า ลู่เข้า lim b t b f (x) dx t b- f (x) dx f (x) dx แล้ว เราจะกล่าวว่า ลู่ออก a a a และมีค่าเท่ากับ L แต่ถ้า หาค่าไม่ได้

36. 1 1 (x- ) 0 1 1 1 3 3 lim วิธีทำ x1- f จะเห็นว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกๆจุด x = 1 ตัวอย่าง 4.2.3 dx จงพิจารณาว่า ลู่เข้าหรือลู่ออก และถ้าอินทิกรัลนี้ลู่เข้า จงระบุค่าของอินทิกรัล 1 f (x) = ให้ (x- ) 1 f (x) = ยกเว้นที่ และ -

37. 1 (x- ) 1 1 1 1 1 3 3 3 3 t 1 1 1 lim lim (x- ) (x- ) t1- t1- 0 0 1 1 2 2 3 3 t - t - ( 1) ( 1) จากบทนิยาม 4.2.1 t dx dx = o จากการศึกษาเอกสาร จะเห็นว่า = - 3 3 dx 2 2 1 - 1 3 3 dx = จะได้ว่า 2 2 (x- ) 0 1

38. 1 3 lim lim t1- t1- 2 3 t - ( 1) - 3 3 = 2 2 - 3 = 0 2 - 3 = 2 1 - 3 1 dx ดังนั้น ลู่เข้า และมีค่าเท่ากับ 2 (x- ) 0 1

39. b b lim lim f (x) dx f (x) dx xb- xa+ f (x) = f (x) = a a   หรือ - ในบทนิยาม 4.2.1 เราได้กล่าวถึงอินทิกรัล ไม่ตรงแบบ เมื่อ หรือ ในทำนองเดียวกัน เราอาจกล่าวถึง - อินทิกรัลไม่ตรงแบบ เมื่อ

40. lim lim b b f (x) dx t a+ t a+ f (x) dx a t ถ้า หาค่าได้ บทนิยาม 4.2.2 f a b ให้ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน (, ] f (x) lim = โดยที่ หรือ -  x a+ b f (x) dx = t และมีค่าเท่ากับ L

41. แล้ว เรากล่าวว่า ลู่เข้า lim b b b f (x) dx t a+ f (x) dx f (x) dx แล้ว เราจะกล่าวว่า ลู่ออก a t a และมีค่าเท่ากับ L ถ้า หาค่าไม่ได้

42. 3 5 0 1 dx x + b 2 f (x) lim -2 = เมื่อ หรือ f (x) dx -  x a+ a 5 1 dx 2 (x- ) 2 4 ตัวอย่างของอินทิกรัลไม่ตรงแบบ (ดูรายละเอียด ในตัวอย่าง 4.2.6) (ดูรายละเอียด ในตัวอย่าง 4.2.7)

43. f (x) f (x) lim lim = = หรือ หรือ -  -  x c+ x c- b b c f (x) dx f (x) dx f (x) dx a c a บทนิยาม 4.2.3 f a b ถ้า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [, ] a < c < b ยกเว้นที่ cโดยที่ และ หรือ = + แล้ว

44. b f (x) dx a c b f (x) dx f (x) dx a c ถ้า ลู่เข้า และมีค่าเท่ากับ L1 และ ลู่เข้า และมีค่าเท่ากับ L2 แล้ว เราจะกล่าวว่า ลู่เข้า และ มีค่าเท่ากับ L1 +L2

45. 3 1 (x- ) 0 1 1 1 3 3 lim lim วิธีทำ x1+ x1- f จะเห็นว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกๆจุด x = 1 dx พิจารณา ตัวอย่าง 1 f (x) = ให้ (x- ) 1 = f (x) ยกเว้นที่ และ - = f (x) และ 

46. 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 (x- ) (x- ) (x- ) (x- ) (x- ) 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 .2 3 3 3 3 3 3 - 2 2 โดยบทนิยาม 4.2.3 dx = + dx dx จากตัวอย่าง 4.2.9 จะเห็นว่า dx ลู่เข้า และมีค่าเท่ากับ dx และ ลู่เข้า และมีค่าเท่ากับ

47. 2 (x- ) 4 1 1 1 5 5 5 4 dx 2 3 1 4 -1 ( x - ) dx 4 -1 5 dx 2 (x+ ) -1 1 การตรวจสอบอินทิกรัลไม่ตรงแบบ จงพิจารณาว่า อินทิกรัลในข้อใดต่อไปนี้เป็น อินทิกรัลไม่ตรงแบบ

48. 2 (x- ) 4 1 1 5 5 f (x) = ยกเว้นที่ และ - lim วิธีทำ และช่วงการอินทิเกรตคือ [ -1, 4 ] x4- f จะเห็นว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกๆจุด x = 4 4 dx -1 2 f (x) = (1)ให้ (x- ) 4 จะเห็นว่า 4  [ -1, 4 ] ดังนั้น เป็นอินทิกรัลไม่ตรงแบบ

49. 2 2 2 (x- ) (x- ) (x- ) 4 4 4 1 1 1 5 5 5 lim t 4- 4 4 dx dx -1 -1 โดยบทนิยาม 4.2.1 t dx = -1 ( สำหรับรายละเอียดในการพิจารณาว่า ลู่เข้า หรือลู่ออก ให้ดูเฉลย ข้อ 2 ในกิจกรรม 4.2.2 )

50. f จะเห็นว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน (-,) 1 1 5 5 f ดังนั้น เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [ -1, 4 ] วิธีทำ แสดงว่า ไม่เป็นอินทิกรัล 4 ( x - ) dx 4 -1 (x- ) f (x) = (2)ให้ 4 ซึ่งเป็นช่วงการอินทิเกรต ไม่ตรงแบบ