7.3 循环群与置换群

1. 7.3 循环群与置换群 一、循环群 定义7.3.1设(G ,◦)是一个群，H ⊆G, 若G的元素均可由H中的若干元素经过有限次的二元运算◦而得到，则称子集 H生成群(G,◦)，并将生成群的子集中最小的称为群(G,◦)的生成元集。 注意：生成元集不一定唯一！其最小性是相对于集合的基数而言。

2. 定义7.3.2 若群( G,◦)的生成元集为{ g }，则称G为循环群，g称为G的生成元，并记 G = < g>。 • 同半群时的讨论类似，G={ gk |k∈ Z}(其中可能有相同的元素) • 循环群是可交换的。

3. 例7.3.1整数加群(Z, +)是一个循环群，其生成元为1或-1，即Z=<1>或Z=<-1>。 例7.3.2模 n的剩余类加群(Zn, +n)是一个循环群。 [p]n∈Zn是Zn的一个生成元当且仅当 p与 n互素。 注意：做为群的生成元集与半群的生成元集之间的差异！

4. 定理7.3.1循环群( G,◦)的阶=G的生成元 g的阶。 证. 设群 G的阶=m,G的生成元 g的阶=n。分二种情形： ① n<∞，在G ={ gk |k∈ Z }中, gs = gt⇔s≡t (modn) . ∵若gs= gt，即 gs-t=e，则s-t=nq。 反之，若s-t=nq，则 gs= gnq+t = gt。 因此 G={ g0, g, g2,···, gn-1}，故m=n； ② n=∞，在G ={ gk | k∈ Z }中，假若gs= gt，则有gs-t=e因此 G没有相同的元素，故G的阶 m=∞。

5. 循环群是交换群。 • 若( G,◦)为循环群，g为G的生成元，则G的结构在同构的意义下完全由 g的阶所确定： （1）若 g的阶= n，则 ( G,◦) ≅(Zn, +n)； （2）若 g的阶=∞，则 ( G,◦) ≅(Z , + )。 例如： (AF ,∘)≅ (Z3, +3)

6. 证. （1）注意到，在G ={ gk | k∈ Z }中, gs= gt ⇔s≡t (modn)。 作映射 f : G → Zn, f ( gk )=[k]n ， 则f 是双射。 又 f (gs◦gt )= f (gs+t )=[s +t ]n =[s]n +n[t]n 即 f 是同构，故( G,◦) ≅(Zn, +n) 。 （2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k， 则f 是同构，故 ( G,◦) ≅(Z , + )。

7. 二、置换群 定义7.3.3设 S为集合，称映射τ: S →S 为 S上的一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。 定理7.3.2 设 G为集合 S上全体变换的集合，则(G ,∘)是一个含幺元 e的半群，其中运算 ∘ 是复合运算，e 为S上的恒等变换。

8. 定理7.3.2 设T(S)为集合 S上所有的双射变换，则(T(S),◦)是一个群。 • 设 S上的若干个双射变换组成的集合G关于◦ 构成一个群，则称 G为 S上的一个变换群。 • 集合 S上双射变换的集合G关于◦ 构成一个群的充要条件是下面二个条件成立： （1）G关于运算◦是封闭的， （2）对∀g ∈ G，必有 g-1∈ G。

9. 例.(GF ,∘) 和 (AF ,∘)都是平面上的变换群。 例7.3.4在已建立平面直角坐标系的平面上， 用σp表示平移：σp(Q)= Q +P； 用τθ表示绕坐标原点的旋转。 一般地， σp∘τθ≠τθ∘σp。 比如取P=(0,1)，θ=½π，则有： 故平面上全体一一变换构成的变换群不是交换群。

10. 定理7.3.3任意一个群都同构于一个变换群。 证. 设( G, ∗)是群，g ∈G。 定义变换 Tg:G→G, a→g∗a 。 [压缩或平移变换] 下面证明 ( T(G ),◦) 是群，其中 T(G ) ={ Tg|g ∈G}： 若Tg( a) = Tg( b), 则 g∗a = g∗b, 由消去律得 a = b, Tg是单射; 对∀c ∈ G, 有d= g-1∗c ∈G，满足 Tg(d ) = c，Tg 是满射。 又Tg◦Th(a) = Tg(Th(a)) = Tg(h∗a)= g∗h∗a = Tg∗h(a)∈T(G ) , 而Tg◦Tg-1(a) = g∗g-1∗a = a = g-1∗g∗a = Tg-1◦Tg(a), 即Tg-1=Tg-1 . 综合上述结论可知：( T(G ),◦) 是一个变换群。

11. 再证明 ( G, ∗)≅( T(G ),◦) 作映射 f : G→T(G), g →Tg 显然 f 是一个满射, 若Tg = Th，则 Tg( a) = Th ( a)，即 g∗a = h∗a ， 由消去律得 g = h，故 f 是单射。 而Tg∗h ( a) = (g∗h)∗a = Tg◦Th( a) , 故 f ( g∗h) = Tg∗h = Tg◦Th，即 f 保持运算。 综上所述知：( G, ∗)≅ ( T(G ),◦)

12. 定义7.3.4设 S为含n个元素的有限集合，σ是 S上的一个双射，则称 σ是 S上的一个 n元置换。 S上的若干个置换关于运算◦构成的群，称为 n元置换群；S 上的全体置换构成的群，称为 n次对称群，记为Sn • n次对称群的阶是 n!。

13. 设有限集合S = {a1, a2,⋅⋅⋅,an}上一个置换， σ:S →S , ai→aj ( i =1, 2, ⋅⋅⋅ ) 则置换τ完全由有序整数对 (1, j1), (2, j2), ,⋅⋅⋅, (n, jn) 所决定，于是可以将置换表示为： 或 通常用第一种方式表示置换，等价于将置换看作: σ:i →j , ( i =1, 2, ⋅⋅⋅ )

14. 例7.3.5 设有限集合S = {a1, a2,a3}，则 S上的每一个置换可以用六种不同的方式来表示。比如， τ:a1→a2, a2→a3, a3→a1, 可以表示为： 通常还是用 通常还是用 通常还是用 来表示。

15. 例. 3次对称群S3中有6个元素，分别是

16. 规定两个置换的复合运算 ∘ 为σ∘τ (i)= σ(τ ( i )) 例7.3.6设 ，则 于是τ∘σ≠σ∘τ，即 S3不是交换群。 实际上， S3是最小的有限非交换群，以后可以知道一个有限的非交换群至少要含有6个元素。

17. 定义7.3.6设 π∈ Sn, π:i1 →i2, i2 →i3, ⋅⋅⋅, ik→i1，并使其余的元素保持不变，则称 π为一个k－循环置换，记为(i1 i2i3⋅⋅⋅ik) 。 • 由于(i1 i2i3⋅⋅⋅ik) = (i2i3⋅⋅⋅iki1 ) = ⋅⋅⋅ = (iki1 i2⋅⋅⋅ik-1 ), 因此一个k－循环置换有 k种表示方式，且k－循环置换的阶为k。 • 1－循环置换只有 1 种表示方式，即恒等置换； 2－循环置换又称为对换。 • 注意，并非每一个置换都是循环置换！

18. 例7.3.7 在 S3中，我们有 而

19. 定理7.3.5任意一个置换都等于若干个不含公共元素的循环置换的复合。定理7.3.5任意一个置换都等于若干个不含公共元素的循环置换的复合。 证. 对元素的个数 n作归纳法。n=1 定理成立。 假设对≤n-1个元素的置换来说定理成立，考虑 n元置换 不妨设 τ:1→j1, j1 →j2, ⋅⋅⋅, jk →1,于是置换τ可改写为

20. 而置换 是个≤n-1元的置换，根据归纳法假设，她可以分解成若干个不含公共元素的循环置换的乘积。当然，这些循环置换都可以看作n个元素的循环置换。因此，τ就分解成若干个不含公共元素的循环置换的乘积。 注意，不含公共元素的循环置换的乘法是可交换的。

21. 例7.3.9利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。

22. 注意到 (i1 i2i3⋅⋅⋅ik) = (i1 i2)∘(i2 i3)∘⋅⋅⋅∘(ik-1 ik) = (i1 ik)∘(i1 ik-1)∘⋅⋅⋅∘(i1 i2) 即一个循环置换可以分解成若干个对换的乘积，但表示法是不唯一的。 例如，

23. 推论 任一置换都可以分解成若干个对换的乘积，且 所含对换个数的奇偶性是确定的。 • 若置换σ可以分解成奇数个对换的乘积，则称σ为 • 奇置换，否则，称σ为偶置换。

24. 二个偶置换的乘积是偶置换；二个奇置换的乘积是偶置换；奇置换与偶置换的乘积是奇置换。二个偶置换的乘积是偶置换；二个奇置换的乘积是偶置换；奇置换与偶置换的乘积是奇置换。 • 奇置换的逆是奇置换；偶置换的逆是偶置换。 • n 次对称群 Sn中全体偶置换构成一个群，称为n 次交代群，记为 An 。 A3={ (1), (123), (132) }

25. 定理7.3.6任一个有限群都同构于一个置换群。 证. 因为有限群( G, ∗)同构于一个变换群( S,◦)，于是G与S对等，即S是有限集，故( S,◦)为置换群。