1.2- MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN DE ADOMIAN (ADM)

1. 1.2- MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN DE ADOMIAN (ADM) El Método de Descomposición de Adomian fue inventado por el físico norteamericano G. Adomian (1923-1996) en 1984, pero ha sido bajo el impulso del profesor Y. Cherrault cuando el método ha encontrado su soporte matemático. En particular, Yves Cherrault y Karim Abbaoui han podido probar la convergencia bajo hipótesis razonables y dar formulas simples de los polinomios de Adomian. Numerosas modelizaciones de problemas físicos o biológicos desembocan en ecuaciones funcionales no lineales de diversos tipos: diferenciales ordinarias, diferenciales en derivadas parciales, integrales, integro-diferenciales…Linealización y discretización son las técnicas más utilizadas para su solución, aunque se corre el riesgo de que la solución se aleje de la solución del problema a resolver. El método no cambia la naturaleza del problema, en particular no efectúa ninguna linealización ni discretización. Está basado en la búsqueda de una solución en forma de serie y en la descomposición del operador lineal en serie en los que los términos se calculan de forma recurrente utilizando unos polinomios llamados los polinomios de Adomian. Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

2. Bajo ciertas condiciones de convergencia, la suma de la serie dará la solución exacta, pero en general la serie se truncará para dar una buena aproximación. El error de truncamiento puede ser estimado la mayoría de las veces. Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

3. ANÁLISIS DEL MÉTODO Consideremos la ecuación diferencial no lineal donde F representa una combinación lineal de operadores lineales y no Lineales, esto es, donde L representa el operador lineal (generalmente L es la derivada de orden superior ,fácilmente invertible), R es un operador lineal de orden menor que L, N es un operador no lineal y g es el término fuente. En el ADM se supone que la solución u pueda ser expandida como una serie donde los un son calculados recursivamente. Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

4. Resolviendo esta ecuación para , ya que L es invertible, podemos escribir: Si L, por ejemplo, es un operador derivada de segundo orden, L es una integral doble indefinida, resolviendo para u en la ecuación (1) obtenemos: donde A y B son constantes de integración que pueden ser halladas con las condiciones iniciales o con las condiciones de frontera. El término R es el resto del operador lineal L, el término N es una función no lineal de u, con la siguiente descomposición Aquí los An son llamados los polinomios de Adomian, pueden ser generados de muchas formas (*). Se usa la formula de recurrencia: Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

5. Finalmente la solución puede ser escrita El método no acude a la linealización o al supuesto de no linealidad débil, la solución generada es en general mas realista que aquellos que simplificaron el modelo del problema físico. Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

6. Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales Ejemplos Ejemplo_1 Considerar el PVI: Se tiene: La ecuación da: Tenemos que Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

7. Continuando esta iteración se llega Ejemplo_2 Considerar la ecuación integral (anexo) Tenemos que Supongamos que Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

8. Luego tenemos que Así para cualquier Por tanto Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas Verificar que sinx es la solución exacta de

9. Ejemplo_3 Considerar la ecuación integral de Volterra Tenemos que Notar que u2 no puede ser evaluada directamente. Por tanto, el método sólo puede da soluciones aproximadas. Para más información (Chama) Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

10. Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas Ejemplo_4 Considerar la ecuación de Pearl-Verhulst Donde N(t) es el número de células en el tiempo t, con la condición inicial que en t0 se tienen No células, k=l-m es la tasa neta de crecimiento o decaimiento de la población (l es la tasa de nacimiento, m la tasa de muerte y Nc es la población más grande que el medio soporta (capacidad de carga). Podemos escribir (1) como: Definamos el operador

11. De aquí que Escribiendo , donde los An son una clase especial de polinomios así: Descompongamos N(t) en sus componentes los cuales están determinados tomando en este caso. Si hay un término no homogéneo esté deberá estar incluido en . Podemos ahora identificar Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

12. Así, cuando los An han sido evaluados, todas las Nn quedan completamente determinados en términos de la componentes precedentes, así que podemos tener los cálculos de los An son: Así Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

13. Consecuentemente, ya que Etc… Claramente todos los términos son fácilmente calculables. Biological Systems Interations. G. Adomian, G. E. Adomian, R.E. Bellman Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

14. Sugerencia ** Ejemplo_5 Ecuación diferencial de Riccati Aplicando el operador inverso: Usando descomposición en series de un y la representación de Método de Adomian modificado: acelera la convergencia anexo Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

15. Las primeras componentes da La solución exacta es . Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

16. Ecuaciones diferenciales parciales no lineales Dif. de mayor orden en x Suponer Lx es el de menor entre los dos Dif. de mayor orden en y Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

17. Haciendo como antes……. Las componentes de Un se tienen en forma recursiva Conociendo los An Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

18. Observación Linealización exacta: lineal No lineal Directamente ADM Sea donde Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

19. Resolviendo para sumando definiendo Sustituyendo obtenemos: Con esto todas las componentes quedan determinadas. Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

20. Ejemplo 6_ Considerar el problema de valor en la frontera Un operador para (1) sería donde por tanto Aplicando a ambos lados de (2) donde Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

21. El método de Adomian, descompone la solución en una serie infinita de componentes y el término no lineal por una serie infinita de polinomios Sustituyendo la descomposición en series dadas por (4) y (5) en (3) da El método de descomposición identifica la componente cero con todos Los términos que se presentan de las condiciones de frontera y la integración del término no homogéneo. Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

22. Por consiguiente, el método de descomposición admite el uso dela relación de recurrencia Los polinomios de Adomian que representan el término no lineal están definidos por Usando (7) y (8), hallamos Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

23. Sustituyendo los resultados de (9) en (4) da la solución en forma de serie con f(y) aún sin determinar. Usando la condición de frontera u(x,0)=b1(x) en la solución en series obtenida e igualando los coeficientes en potencias de x para así determinar esto nos dará una expresión en series de Maclaurin para f(x). Una vez establecida f(x), la solución en serie se sigue inmediatamente. Resultados numéricos Aplicando a ambos lados de (1*) da donde Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

24. Sustituyendo la descomposición en series dadas por (4) y (5) en ambos lados de (2*) da Esto da la relación de recurrencia Las primeras componentes de están dadas por Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

25. Esto da para terminar falta determinar f(y). Usando la condición en la frontera en la ecuación anterior da Igualando los coeficientes en potencias de x en ambos lados La expansión de Maclaurin de f(y) es dada por Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

26. D aquí que en (6*) lleva a la solución exacta Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

27. Ejemplo 7_ (Ecuación cúbica de Schrödinger no lineal) Ecuación diferencial parcial no lineal dispersiva. Describe la evolución espacio-temporal del campo complejo . Aplicando ADM (Operador lineal , operador no lineal ) Operador inverso En el ADM se supone que la solución u pueda ser expandida como una serie donde los un son calculados recursivamente. Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

28. El término no lineal N(u) se descompone en una serie infinita de polinomios de la forma Donde los An son los polinomios de Adomian, que al sustituir en (3) da De acuerdo a Adomian u0(x,t) es identificado con el dato inicial f(x) y la siguiente formula de recurrencia se propone donde los polinomios de Adomian vienen dados por Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

29. O bien, escribiendo el término no lineal en la forma Así por ejemplo, si Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

30. Suponiendo que se tenga lo siguiente Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

31. Sumando ahora estas componentes produce con . Puede verse que esta es la solución exacta, cuando se compara con otros métodos analíticos.(*) Ejemplo: (**) Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

32. Ejercicios_1 Donde Donde Donde Solución: Solución: Ejercicios_2 Solución: ? Ejercicios_3 Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

33. Ejercicios_4 Donde Donde Donde Solución: Ejercicios_5 Solución: Ejercicios_3 Solución: Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

34. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Parciales no Lineales Sea el sistema de EDP no lineal: Escribiendo de otra forma: Descomponemos las soluciones en series Y los términos no lineales Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

35. Donde los polinomios de Adomian vienen dado por: Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

36. Ejemplo 8_ ( Sistema de manakov) Sistema acoplados de ecuaciones diferenciales no lineales de Schrödinger) Aplicando ADM Donde denota el operador lineal. Usando el operador inverso a ambas ecuaciones se tiene: Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

37. Donde: Operador inverso Operadores no lineales En el ADM se supone que la solución u y v puedan ser expandidas como una serie donde los un y vn son calculados recursivamente. Los términos no lineales N1(u,v) y N2(u,v) se descompone serie infinita de polinomios de la forma Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

38. donde Akm son los polinomios de Adomian dados por: De aquí , se obtiene lo siguiente: Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

39. Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

40. ANEXO_1 Ecuación integral lineal de Fredholm 1ª clase 1ª clase 2ª clase 2ª clase Ecuación integral lineal de Volterra Ecuación de Volterra a PVI: Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas

41. Método de descomposición de Adomian Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas Ver

42. Método de descomposición mejorado Ejercicio: Aplicarlo a Para más información : A First Course in Integral Equations_Abdul Majid Wazwaz, World Scientific. Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas Volver a pag. 7 Pag.14

43. Partial Differential Equations_Method and Applications . Abdul-Majid Wazwaz A First Course in Integral Equations_Abdul Majid Wazwaz, World Scientific. Curso Maestría en Matemáticas Aplicadas