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第 2 章 Maxwell 方程式

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第 2 章 Maxwell 方程式. 綱要. 2-1 力線和場 (Line of Force and Field) 2-2 Gauss 定律, Faraday 定律和 Ampère 定律 2-3 Maxwell 方程式 △ 2-4 介電質、極化和電位移 (Dielectrics 、 Polarization 、 Electric Displacement) △2-5 磁化、磁場強度 2-6 Maxwell 方程式在一般物質中的形式 2-7 邊界條件 (Boundary Conditions) 2-8 電磁功率的守恆

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Presentation Transcript
slide2
綱要
  • 2-1 力線和場(Line of Force and Field)
  • 2-2 Gauss定律,Faraday定律和Ampère定律
  • 2-3 Maxwell方程式
  • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement)
  • △2-5 磁化、磁場強度
  • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式
  • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions)
  • 2-8 電磁功率的守恆
  • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式
maxwell
Maxwell方程式
  • 經管一切電磁現象的基本規則
  • 描述電場和磁場間的關係
  • 以力線和場的觀念為基礎
slide4
綱要
  • 2-1 力線和場(Line of Force and Field)
  • 2-2 Gauss定律,Faraday定律和Ampère定律
  • 2-3 Maxwell方程式
  • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement)
  • △2-5 磁化、磁場強度
  • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式
  • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions)
  • 2-8 電磁功率的守恆
  • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式
slide5
超距力觀念
  • 電力、磁力曾被視為超距力
  • 超距力可以穿越空間的距離,立刻產生作用
    • 在靜電學和靜磁學中可接受
  • 電流如果發生變化,它對外界帶電體或磁針的影響,必然不是立即的
    • 否則訊號傳遞的速率變成無窮大
    • 因此超距力觀念不適用
  • 被Faraday的力線和場概念取代
slide6
磁力線與靜磁場概念
  • 條形磁鐵四週灑鐵屑
  • 磁力線
    • 鐵屑形成的線
    • 任一點鐵屑所受磁力一定沿線的切線方向
    • 愈密的地方,對鐵屑的吸力愈強
  • 靜磁場
    • 磁力線分佈的空間函數
    • 代表磁鐵在各處對鐵屑的吸引力

條形磁鐵的磁力線分佈

slide7
電力線與靜電場概念
  • 電力線
    • 以單位正電荷(檢驗電荷),放入帶電體附近
    • 量出測試電荷在各處受力的方向,可以畫出一條一條的電力線
  • 電力線的分佈
    • 代表測試電荷在各處所受的靜電力
    • 是空間的函數,可以稱為靜電場
slide8
電力線與電場的波動
  • 假設帶電體的電荷分佈發生變化
  • 電力線的分佈(電場)會隨之改變
  • 這種改變不如超距力想法所預測那樣立刻影響空間各點
  • 反而以一種波動的形式把電荷改變發生的影響,依次送到各處去
  • 就像傳輸線把波源的變化以波動形式傳播出去一樣
  • 經Hertz的實驗證實
slide9
流線與電力線、磁力線
  • 流線
    • 追蹤流體粒子的流動狀況所得的軌跡
  • 電力線、磁力線
    • 非常像流體力學中的流線
    • 可以想像上面也有類似流體粒子在流(實際沒有)
    • 這種想像可幫助我們寫下Maxwell方程式
  • Maxwell方程式
    • 電磁學的基本假設
    • 需要相當多的向量分析知識[附錄B]
slide10
綱要
  • 2-1 力線和場(Line of Force and Field)
  • 2-2 Gauss定律,Faraday定律和Ampère定律
  • 2-3 Maxwell方程式
  • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement)
  • △2-5 磁化、磁場強度
  • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式
  • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions)
  • 2-8 電磁功率的守恆
  • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式
electrical flux
電通量(Electrical Flux)
  • 假想在電力線上有某種東西在流動
  • 每條線上的這種東西都一樣多
  • 設想這種假想物由正電荷流出,流入負電荷
  • 空間中做一個假想的封閉曲面S
  • S流出的假想物總量稱為流出S的電通量
slide12
電荷與電通量
  • 假設電力線密度和電力大小有關
  • 所帶的電荷愈多,電力愈強,電力線愈密
  • 假設由帶電體流出的假想物之量與帶電量成正比
  • 封閉曲面S外的電荷所造成的電力線在S上一出一入,對電通量沒有貢獻
  • 流出任意封閉曲面S的電通量

和所包住的電荷量成正比

slide13
電場強度與電通量密度
  • 電場強度(Electric Field Strength)
    • 簡稱電場(Electric Field)
    • 單位正電荷(檢驗電荷)所受的電力
    • 與對應位置的電力線密度有關,假設成正比
  • 電通量密度(Electric Flux Density)
    • 與電力線密度成正比
    • 假設為
    • 通過假想曲面S的電通量,依通量(Flux)定義,有
gauss
Gauss定律
  • 採MKS制單位
    • 電荷:庫倫(Coulomb)
  • :電力線根數(設每線上流動之假想物均為1單位)
  • 真空介電常數(Permitivity)
    • ≒8.854

≒ (F/m)

    • 由實驗決定
    • F/m為電容MKS單位(Farad除以公尺)
gauss1
磁通量的Gauss定律
  • 仿照電通量的做法
  • 假設磁通量 的通量密度為
  • 目前尚無人發現有磁單極存在
  • 磁極必成對出現而使任意封閉面曲面S內產生的磁通量相消
faraday
Faraday定律
  • 實驗顯示 斷點處產生的電壓等於通過S之磁通量的減少速率
  • 是單位正電荷繞 一圈時電場所做的功

曲面S及其邊界

Faraday定律

amp re
Ampère定律
  • Ampère整理Orsted的實驗結果,推論電流可以產生磁場
  • 並且構思一種數學的表示法來記述他的結論
  • 以今天的向量符號表示,即
  • I代表穿過S的電流, 代表電流密度(Current Density)
slide18
磁通量密度 的相關單位
  • 磁通量密度的單位:Weber/m2
  • Weber
    • 一“根”磁力線上流動假想物之量
  • 電流I的單位:安培Ampère (簡記為A)
  • 比例常數 (H/m)
    • H/m代表電感單位Henry除以公尺
  • 常見磁通量密度大小
    • 1 Gauss = Weber/m2
    • 地磁:大約 Weber/m2 (0.5 Gauss )
    • 馬蹄形磁鐵:約為1Weber/m2 (10,000 Gauss)
slide19
綱要
  • 2-1 力線和場(Line of Force and Field)
  • 2-2 Gauss定律,Faraday定律和Ampère定律
  • 2-3 Maxwell方程式
  • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement)
  • △2-5 磁化、磁場強度
  • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式
  • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions)
  • 2-8 電磁功率的守恆
  • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式
divergence theorem stokes
散度定理(Divergence Theorem)與Stokes定理
  • 散度定理
  • Stokes定理

封閉曲面S與所包圍的體積V

曲面S及其邊界曲線

gauss faraday amp re
Gauss定律、Faraday定律、 Ampère定律

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)

(Ⅳ)

(積分形式) (微分形式)

slide22
電荷守恆

流出S的電流

(單位時間流出的電荷)

所含電荷的減少率

(單位時間減少的電荷)

微分形式

amp re1
Ampère定律與電荷守恆的矛盾
  • 向量恆等式
  • Ampère定律
  • 電荷守恆
displacement current
位移電流(Displacement Current)
  • Maxwell判斷電荷守恆式比較基本
  • 必須另加一項 到Ampère定律右方
  • 位移電流:
  • 位移電流密度:
    • 滿足 及電荷守恆
    • 因 故令
amp re2
修正Ampère定律
  • 積分形式
  • 微分形式
maxwell1
Maxwell方程式

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)

(Ⅳ)

(積分形式) (微分形式)

maxwell2
Maxwell方程式的方程式數
  • 四個方程式
    • 兩個向量方程式
    • 兩個純量方程式
    • 一共8個純量的聯立微分方程式
  • 兩個散度的方程式可以由兩個旋度的方程式加上電荷守恆推得
    • 實際上只要運用兩個旋度方程式
    • 一共六個純量聯立微分方程式
    • 正好解 和 的六個分量
slide28
位移電流說明例
  • 不考慮傳輸線的效應
  • 電流由電源流出將電容器充電
  • 比較由電荷守恆求出的導線中電流與電容器中的位移電流

電容器的充放電電路

slide29
位移電流說明例解答

電容器上所帶的電量已知為

電荷守恆,電容器所帶電量的變化必來自導線上的電流

電容器中的電場強度

位移電流密度

位移電流

slide30
位移電流說明例解答的物理意義
  • 兩圖中 為同一個積分
  • P同時為S和S’的邊界
  • 通過S的電流為I
  • 通過S’的只有位移電流
  • 通過S和S‘的電流必須相同,都對應
  • 因此

通過電容的位移電流

(曲面S在電容外,

曲面S’包入兩片電容板中的一片)

slide31
綱要
  • 2-1 力線和場(Line of Force and Field)
  • 2-2 Gauss定律,Faraday定律和Ampère定律
  • 2-3 Maxwell方程式
  • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement)
  • △2-5 磁化、磁場強度
  • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式
  • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions)
  • 2-8 電磁功率的守恆
  • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式
slide32
導體與介電質
  • 導體(Conductor)
    • 在電場 中,物質內電流為 (Ohm定律)形式
  • 介電質(Dielectric,或絕緣體Insulator)
    • 全無Ohm電流
  • 一般的物質多半介於二者之間
polarization
極化(Polarization)
  • 極化現象
    • 物質組成之原子、分子、離子在電場中時,帶電的粒子偏離原來的位置造成偶極矩(Dipole)
  • 分類
    • 電子雲偏移造成的極化
    • 離子偏移造成的極化
    • 極性分子旋轉重排造成的極化

電子雲極化

偶極矩

離子偏移極化

極性分子極化

polarization charge
極化電荷(Polarization Charge)
  • 單位體積內具有的偶極矩為
  • 假如 各處並非均勻,則某些地方會有多餘電荷產生
  • 稱極化電荷或被拘束電荷(Bounded Charge)
    • 只存在於物質內

偶極矩

均勻及不均勻極化

slide35
極化電荷密度推導:步驟1~5
  • 偶極矩的方向由負電荷指向正電荷
  • 作一封閉曲面S,包住體積V
  • 若同一偶極兩端之正負電荷均在V內,偶極矩向量不會穿過S
  • 若同一偶極矩負電荷均在內,正電荷被屏於S之外,則造成V內有多餘負電荷,偶極矩向量向外穿過S
  • 若同一偶極矩正電荷在內,負電荷在外,偶極矩向量向內穿過S

偶極矩

均勻及不均勻極化

slide36
極化電荷密度推導:步驟6~7

V內多餘之電荷總量

等於向內穿過S的偶極矩總和

極化電荷密度

均勻及不均勻極化

gauss2
介電質內的Gauss定律
  • 自由電荷(Free Charge) 、
    • 在真空中一樣可以存在
  • 和 對電力線都有貢獻

積分形式

微分形式

electric displacement
電位移(Electric Displacement)
  • 電位移
    • 產生的電通量
  • 把可以如此移來移去的自由電荷(以及其造成的電通量)叫做電位移
  • 電位移密度(也簡稱電位移)

將帶電金屬球放入另一中空金屬球中,不論中空的地方填塞何種物質,

中空球的外側便會帶上同量的電荷,

此時再將原先帶的球移去,看起來

就像是裏頭的自由電荷 移到

外球一樣

amp re3
介電質內的Ampère定律
  • 極化電流
    • 極化電荷也必須要守恆
    • 極化電荷改變將會造成極化電流
    • 也該出現在Ampère定律中
slide40
引用電位移 的好處
  • 統一各種物質中Gauss定律和Ampère定律的形式
  • 各種物質的特性都包含在 裏
dielectric constant
介電係數(Dielectric Constant)
  • 大部份物質其 和 同向
    • 電漿(Plasma)中可能反向
    • 介電常數(Permittivity) :
    • 相對介電常數(介電係數) :
  • 典型介電係數
    • 氣體:
    • 固體或液體 : 在1至10之間(酒精25~30,水約80是例外)
ferroelectric
鐵電性物質(Ferroelectric)
  • 鐵電性物質
    • 如Rochelle Salt,Barium Titanate
    • 外加電場移去後,極化現象仍未完全消除,有如鐵磁性物質中的磁滯現象(Hysteresis)
    • 說明見下節
piezoelectric effect electrets
壓電效應(Piezoelectric Effect)與Electrets
  • 壓電效應
    • 如石英(Quartz)等晶體,外加壓力可產生極化現象
    • 也可以外加電場使之極化,該物質即會產生壓力變化,發生某特定頻率的振動
    • 石英錶為其應用之一
  • Electrets
    • 具有永久極化特性
    • 有如永久磁鐵,但產生的是電場
anisotropic isotropic
各向異性(Anisotropic)與各向同性(Isotropic)
  • 各向異性
    • 介電質本身構造的對稱性使它在某些方向比較容易極化,某些方向則否
  • 各向同性
    • 和 同向(或反向)
slide45
線性與均勻各向同性介電質
  • 線性(Linear)
    • 與電場大小無關,因此 和 成線性關係
    • 反之即為非線性(Non-linear)
  • 均勻(Homogeneous)
    • 在該物質中各處均相同
  • 本課程處理的介電質全是線性、均勻、各向同性的介電質
slide46
綱要
  • 2-1 力線和場(Line of Force and Field)
  • 2-2 Gauss定律,Faraday定律和Ampère定律
  • 2-3 Maxwell方程式
  • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement)
  • △2-5 磁化、磁場強度
  • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式
  • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions)
  • 2-8 電磁功率的守恆
  • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式
slide47
物質存在對磁通密度的影響
  • 原子、分子、離子之中的電荷運動會造成電流,使磁場分佈受其影響
  • 帶電基本粒子運動的圈圈半徑頂多是1Å的數量級,可看成小迴圈電流
  • 小迴圈電流I造成的磁場只和 有關
    • a是迴圈圍成的面積,而 是它的單位法向量,方向由右手定則決定
    • 構成磁偶極
magnetic dipole
磁偶極(Magnetic Dipole)
  • 造成的靜磁場與距離立方成反比
  • 與電偶極 造成立方反比靜電場很相似
  • 可以仿照處理介電質中電偶極的步驟來處理物質中的磁偶極

I

小迴圈電流造成的磁偶極

slide49
物質內磁偶極的成因
  • 電子在軌道上的運動
    • 外界磁通量發生改變時,電子會改變它的速率(即改變電流),以抗拒此種磁通量的改變
  • 電子本身的自轉(Spin)
    • 外界的磁場只能改變它的方向
    • 類似極性分子天生具有的電偶極
  • 其他基本粒子的自轉
    • 效應甚微,可以略去
magnetization current
磁化電流(Magnetization Current)
  • 磁化密度(Magnetization Density)
    • 物質中,每單位體積所含的磁偶極之和
  • 均勻磁化時沒有“過剩”電流產生
  • 反之,則各點電流不為零,稱為磁化電流

均勻磁化

不均勻磁化產生磁化電流

slide51
磁化電流密度 推導:步驟1
  • 物質內的微小體積中,所含之磁偶極為

物質內的微小體積

slide52
磁化電流密度 推導:步驟2
  • 只考慮 方向的分量時
  • 可以想成是磁偶極
  • 等效於一個有電流dIM流動的小迴圈

dIM

微小體積內磁偶極

方向分量

及等效之小迴圈電流

slide53
磁化電流密度 推導:步驟3
  • 考慮一個開放的曲面S,邊界為封閉曲線C,希望算出穿過S的等效電流若干

曲面S及邊界C

slide54
磁化電流密度 推導:步驟4
  • 考慮曲線C沒有穿過的微分體積 (如 )
  • 引入的等效電流dIM,若穿過S,必定一出一入,對穿過S的電流沒有貢獻

曲面S及邊界C

slide55
磁化電流密度 推導:步驟5
  • 考慮C穿過的微分體積(如 )
  • 和 引入的等效電流dIM穿過S的成份照樣一出一入抵消

曲面S及邊界C

slide56
磁化電流密度 推導:步驟6
  • 但對 方向的分量而言,dIM穿過S的分量沒有抵銷對象,因此流過S的等效電流全由線上的dIM決定

曲面S及邊界C

slide57
磁化電流密度 推導:步驟7
  • 因此通過S的等效電流為

IM

IM

曲面S及邊界C

slide58
磁化電流密度 推導:步驟8

IM

由旋度定義

曲面S及邊界C

amp re4
物質內的Ampère定律

(集中與磁化性質有關的部份)

積分形式

微分形式

magnetic field strength magnetic induction field
磁場強度(Magnetic Field Strength)與磁感應場(Magnetic Induction Field)
  • 磁場強度
    • 只和電流及位移電流有關
    • 簡稱磁場
    • 與電場 對應
  • 磁感應場
    • 即磁通量密度
    • 與物質的磁化性質有關
slide61
四個向量場的比較
  • :電場強度,與極化性質有關
  • :電位移,與極化性質無關,決定於自由電荷
  • :磁場強度,與磁化性質無關,決定於自由電流、導體電流、及位移電流
  • :磁通量密度,與磁化性質有關,又稱磁感應場
slide62
磁化性質分類
  • 線性磁化
    • 導磁係數(Permeability)
    • 反磁性(Diamagnetism)
    • 順磁性(Paramagnetism)
  • 鐵磁性(Ferromagnetism)
slide63
反磁性物質
  • 電子組態(Configuration)中電子常成對出現
  • 成對電子自轉方向相反
  • 電子自轉效應不顯著
  • 只剩電子在軌道運動的效應
  • 外加磁場後,電子的軌道運動必抵抗磁通量的變化(Faraday定律)
  • 磁化密度
  • 必為負值,大小約在 左右
  • 自然界大部份的物質都是反磁性
slide64
順磁性物質
  • 分子中的電子未完全配對
  • 電子自轉的效應得以出現
  • 電子自轉造成之磁極間的作用力超過電子在軌道運動造成之作用力
  • 磁化過程與極性分子介電質的極化過程相似
  • 磁場增加時,磁化程度亦加強
  • 大小約在 至 之間
slide65
鐵磁性物質
  • 有許多塊磁田(Domain)
  • 每塊磁田中的電子自轉均在同一方向
  • 通常各磁田的磁化方向不同,相互抵銷,因而產生的 場不太大
  • 外加磁場後,各磁田方向逐漸轉成一致
  • 全部磁田方向一致時即達飽和
hysteresis
磁滯(Hysteresis)現象
  • 鐵磁性物質加過磁場後再去掉外加磁場(停止供應產生外加磁場的電流)後,磁田排列難以恢復
    • 會有剩磁(Remanence)留下
  • 鐵磁性物質的磁化和其歷史有關,稱為磁滯
slide67
綱要
  • 2-1 力線和場(Line of Force and Field)
  • 2-2 Gauss定律,Faraday定律和Ampère定律
  • 2-3 Maxwell方程式
  • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement)
  • △2-5 磁化、磁場強度
  • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式
  • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions)
  • 2-8 電磁功率的守恆
  • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式
constitutive equations
物質的構成方程式(Constitutive Equations)
  • 和 的關係以及 和 的關係
    • 例如線性物質
    • 搭配Maxwell方程式可解實際問題
slide70
綱要
  • 2-1 力線和場(Line of Force and Field)
  • 2-2 Gauss定律,Faraday定律和Ampère定律
  • 2-3 Maxwell方程式
  • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement)
  • △2-5 磁化、磁場強度
  • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式
  • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions)
  • 2-8 電磁功率的守恆
  • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式
maxwell4
積分形式與微分形式Maxwell方程式
  • 積分形式Maxwell方程式
    • 描述某區域內電磁場效應累積的總效果
    • 除非問題本身具有特別的性質,否則我們很難利用積分形式的式子去找出各處電磁場
    • 可特殊化為微分形式及邊界條件,較General
  • 微分形式Maxwell方程式
    • 描述各處電磁場局部性質
    • 可以藉著解聯立偏微分方程式而得到電磁場分佈
    • 比較直接
    • 能處理比較多的問題形式
    • 需外加邊界條件
slide72
邊界條件
  • 邊界
    • 指兩塊性質不同物質的交界面
  • 邊界條件
    • 描述經過邊界,電場和磁場分佈的不連續現象
    • 必須應用積分形式,以便將邊界雙方的場都加入考慮
slide73
法向量分量的介電質邊界條件推導:步驟1
  • 穿過邊界作一個假想的小柱體,由封閉曲面S包住
  • 令上下蓋面積為 ,柱高h
  • 物理上 不可能趨近無窮大
  • h→0時柱體的側面對面積分

的貢獻趨近零

界面上的小封閉曲面

slide74
法向量分量的介電質邊界條件推導:步驟2
  • 假如 相當小,則上下蓋 的面積分分別約等於 及
  • 因而
  • 由介質1指向介質2

界面上的小封閉曲面

slide75
法向量分量的介電質邊界條件推導:步驟3
  • S所包住的自由電荷量,約為
  • h→0時 → (面電荷密度)
  • Gauss定律

界面上的小封閉曲面

slide76
法向量分量的介電質邊界條件特例
  • 介電質
    • 各處都不會有自由電荷
    • =0
  • 完全導體(Perfect Conductor)
    • 內部電場恆為0的物質
    • 導體內的電子紛紛流到表面上形成表面的自由電荷
slide77
法向量分量的磁通量密度邊界條件
  • 依介電質電位移法向量分量邊界條件的相同推導方式,且已知無磁荷存在,可得
slide78
磁場切向分量的邊界條件推導:步驟1
  • 穿過邊界作一個假想的小封閉曲線C
  • 上下段曲線長度均為
  • 切向量分為 、
  • 整個迴圈所決定之平面法向量為
  • 當h→0時,兩段側邊對 的貢獻也趨近零(物理上 不可能趨近 )

界面上的小封閉曲線

slide79
磁場切向分量的邊界條件推導:步驟2
  • 令 相當小
  • 上下段曲線 的線積分分別是( ) 及 ( )

(

)

界面上的小封閉曲線

1

slide80
磁場切向分量的邊界條件推導:步驟3-1
  • 迴圈C所圍住的電流
  • 非無窮大
  • h→0時 → (面電流密度)

界面上的小封閉曲線

→0

slide81
磁場切向分量的邊界條件推導:步驟3-2
  • Ampère定律

)=

(

向量恆等式

界面上的小封閉曲線

[

(

)]

繞著

旋轉迴圈C

使

朝著

的方向

slide82
磁場切向分量邊界條件的特例:非完全導體
  • 非完全導體:介電質、普通導體
  • 介電質表面
    • 沒有自由電荷
    • 沒有只在表面流動的自由電荷面電流
  • 普通導體
    • 導體內 不致趨近∞
    • 表面
  • 兩非完全導體間之邊界條件
    • [ - ]=0
slide83
磁場切向分量邊界條件的特例:完全導體
  • 自由電荷都已浮到表面
  • 自由電荷在表面的流動就成了面電流
  • 完全導體與非完全導體間的邊界條件
slide84
邊界條件整理
  • (甲)
    • [介電質邊界 必連續]
  • (乙)
    • [ 必連續]
  • (丙) [ ]
    • [除完全導體外, 必連續]
  • (丁)
    • [ 必連續]
slide85
邊界條件使用時機
  • 靜電場
    • 只涉及電場,通常只考慮(甲)、(丁)
  • 靜磁場
    • 只需要(乙)、(丙)
  • 電磁場
    • 推導(甲)、(乙)所用的方程式可由推導(丙)、(丁)的方程式導出
    • 只需要條件(丙)、(丁)
  • 完全導體
    • 使用(丁) (設介質1是完全導體)已足夠
    • (甲)、(丙) 用來求出先前未知的 和
slide86
解電磁問題所需的其他條件
  • 除邊界條件外、依問題的本質加入某些條件
  • 例如,規定無窮遠處電磁場的行為或問題本身的對稱性
slide87
綱要
  • 2-1 力線和場(Line of Force and Field)
  • 2-2 Gauss定律,Faraday定律和Ampère定律
  • 2-3 Maxwell方程式
  • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement)
  • △2-5 磁化、磁場強度
  • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式
  • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions)
  • 2-8 電磁功率的守恆
  • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式
slide88
真空中的電磁場能量密度
  • 電場裏貯存的電能能量密度
    • (Joule/m3)
  • 磁場中的磁能能量密度
    • (Joule/m3)
  • 空間中存在的電磁能密度
    • (Joule/m3)
slide89
電磁功率守恆式推導:步驟1
  • 考慮真空中的一塊區域V(以封閉曲面S為邊界)
  • V內電磁能減少的速率

封閉曲面S與所包圍的體積V

slide90
電磁功率守恆式推導:步驟2
  • 由Maxwell方程式得
  • 代入V內電磁能減少速率式,並用向量恆等式

及散度定理,得電磁能守恆式

slide91
電磁功率守恆式解說:電磁場對電流做的功
  • :電流,電荷的流動
  • 每單位體積內電荷所受的力
    • 電荷流動速率: ,電荷密度:
    • 電流密度
    • 電力: ,磁力(Lorentz力) :
  • 電場和磁場對單位體積內電荷所做的功之功率
  • 電磁場對於v內電流中流動的電荷所做的功
poynting
電磁功率守恆式解說: Poynting向量
  • 可以看成向外流出s的功率
  • 功率通量密度(Power Flux Density)
    • Poynting向量 (1884)
    • 單位面積流出的功率
  • 電磁功率的守恆定律(Poynting定理 )
    • V中電磁能的減少,一部份是由於對V內電流做功,一部份則是由於功率向外流出
slide93
物質存在時的電磁功率守恆
  • 電流 改成
    • 電流源Ohm電流極化電流
  • 改為 +
  • 新電磁功率守恆式

電流源產生的功率

+

電磁場被物質導電電流,極化,和磁化過程吸收去的功率

slide94
物質存在時的電磁功率守恆式簡化

物質中的電能(包含極化能量)和磁能(包含磁化能量)的減少率

slide96
綱要
  • 2-1 力線和場(Line of Force and Field)
  • 2-2 Gauss定律,Faraday定律和Ampère定律
  • 2-3 Maxwell方程式
  • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement)
  • △2-5 磁化、磁場強度
  • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式
  • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions)
  • 2-8 電磁功率的守恆
  • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式
time harmonic
時諧(Time-Harmonic)電磁場
  • 對時間呈正弦變化的波源和電磁場
  • 正弦狀行進波在傳輸線中的傳播問題
    • 將交流電路相量觀念延伸到傳輸線上的電壓波、電流波
  • 時諧電磁場問題
    • 把相量觀念推廣到向量場
slide99
相量向量性質

(拆解為實部和虛部)

向量分析可推廣應用,定義及定理形式相同

(時域) (頻域)

maxwell5
Maxwell方程式微分形式

(時域) (頻域)

簡記為

,etc.

簡記為

,etc.

slide101
邊界條件

(時域) (頻域)

slide102
交流電路的瞬時功率與無效功率

每週期內作用於元件的平均功率

每週期的平均無效功率

[附錄A]

slide103
電磁場作用於電流的功率

每週期內作用於區域V內電流

上的平均功率

slide106
時諧電磁場的功率守恆式推導:步驟2

假設

實數

實數

產生的平均功率

流出曲面S的平均功率

V內電阻的損耗

slide107
時諧電磁場的功率守恆式推導:步驟3

V裏面每週期平均所貯存的電能與磁能之差

加上每週期平均送到外界的無效功率(Reactive Power)

必須由

產生的每週期平均無效功率彌補

slide108
時諧電磁場的功率守恆式推導:步驟4

通盤考慮過實數部份和虛數部份後

(複數的Poynting定理)

(複數功率守恆(Conservation of Complex Power)式)

slide109
交流電路的複數功率守恆:說明1

交流電路

作用於R,L,C的複數功率

slide110
交流電路的複數功率守恆:說明2

交流電路

平均磁能

平均電能

電阻消耗掉的平均功率

送出到外部線路的複數功率

對應電磁場的複數Poynting定理(電路是電磁場的特例)

resonance
交流電路的共振(Resonance)
  • 每週期貯存之電能、磁能相等
    • 此時之頻率為共振頻率(Resonant Frequency)
  • 電能和磁能自給自足
    • 一定數額的電磁能不斷變化其形式,且平均每週期所貯存的電能和磁能相等
  • 電源產生的伏安(伏特數乘以安培數) 可以完全加到R及外部線路去
    • 設外部的線路是純電阻,沒有電抗

交流電路

non resonant
非共振(Non-Resonant)交流電路
  • 平均電能和平均磁能不相等,必須依靠電源複數功率的虛數部份來供應無效功率
  • 如電源產生的伏安(伏特數乘以安培數) 一定,則送到外部線路的功率較共振時減少
    • 外部的線路是純電阻,沒有電抗
    • 電力公司希望減少電抗性的負載的原因(如果發電機的伏安一定)

交流電路

slide113
電磁場系統的共振一例
  • 天線輻射功率
  • V裏頭貯存的電能和磁能相等(共振)時,可使天線送出S的功率較非共振時增大
    • 假設S夠遠,V夠大
  • 天線產生的無效功率必須要小,才可使送出的有效功率

增加

  • 天線產生的無效功率與天線的電抗有關。因此天線使用最好令其電抗趨近零(亦稱共振)

天線輻射