F yzika pre geológov a aplikovan ých geofyzikov

1. Fyzika pre geológova aplikovaných geofyzikov Úvodný kurz pre poslucháčov geológie a aplikovanej geofyziky - 1 -

2. 1.Základné pojmy mechaniky: Mechanika - skúma pohybové stavy telies (kinematika) a ich príčiny (dynamika): Pojem vzťažnej sústavy – zvyčajne pravouhlá (kartézska)-(x, y, z) niekedy (z praktického hľadiska) – výhodnejšia iná, napr. sférická - (r, , ) Kartézska sústava súradníc v 3 - rozm.priestore x, y, z Sférická sústava súradníc v 3 – rozm.priestore r , θ ,  - 2 -

3. Kinematické veličiny - dráha x(t) , rýchlosť v(t) , zrýchlenie a(t)- vektory všeobecne: rýchlosť - zmena dráhy v čase (1.časová derivácia) zrýchlenie - zmena rýchlosti v čase (2.časová derivácia dráhy) Pohyb rovnomerne zrýchlený (napr. voľný pád – približne) so zrýchlením a : Tiažové zrýchleniena povrchu Zeme (približne): 9,7803 m . s – 2(na rovníku) 9,8322 m . s – 2(na póloch) Jednotky: rýchlosť - m . s – 1 zrýchlenie - m . s -2 - 3 -

4. Pohyb po zakrivenej trajektórii (uvažujeme zatiaľ v rovine): rýchlosť - smer dotyčnice (tangenty) k trajektórii zrýchlenie - obecný smer, rozložíme na 2 (navzájom kolmé) zložky: tangenciálne (T) v smere dotyčnice - zmena absolútnej hodnoty (veľkosti) rýchlosti; normálové (N) v kolmom smere (v rovine dráhy) – zmena smeru rýchlosti; (v prípade pohybu popriestorovej krivke sú dve normály (N1 , N2), ktoré spolu s dotyčnicovým vektorom (T) tvoria tzv. Frenetov trojhran). - 4 -

5. Rozklad zrýchlenia (a) na zložku tangenciálnu a normálovú(T je jednotkový vektor v smere dotyčnice): ▲ Dotyčnicový vektor T a v nasledujúcom okamihu je (T + ΔT) – zmena smeru o uhol ΔΘ, čiže zmena dotyčnicového vektora o ΔT Pri rovnomernom otáčavom pohybe po kružnici je tangenciálne zrýchlenie nulové – obvodová rýchlosť si udržiava rovnakú veľkosť. Vovšeobecnosti je normálové zrýchlenie an= - (v2 / ρ) . n, kde v je veľkosť rýchlosti telesa, ρ je polomer krivosti dráhy v danom bode a n je vektor vonkajšej normály k dráhe v danom bode (preto je vo vzorčeku znamienko mínus). Je kolmý na dotyčnicu v danom bode a smeruje tak, že oblúk krivky je na opačnej strane dotyčnice. - 5 -

6. Sila – jednotky: Jednotkou sily je 1 Newton (N) - je to sila, ktorá telesu o hmotnosti 1 kg udelí zrýchlenie 1 m . s – 2 (v smere pôsobiacej sily). ► Keďže sila (aj zrýchlenie) sú vektory, pre ich skladanie a rozklad platia tie isté geometrické poučky pre súčet, prípadne rozdiel vektorov. Často je ale v kinematike nutné najprv aplikovať rovnobežný prenosvektora (viď odstredivé zrýchlenie). ► Ak charakterizujeme zmenu pohybového stavu telesa pôsobením sily, treba brať do úvahy nielen veľkosť sily, ale aj čas, po ktorý pôsobí. To reflektuje fyzikálna veličina označovaná ako impulz sily (I). Je to vektor – v prípade sily konštantnej v čase bude mať smer tejto sily a veľkosť rovnú súčinu veľkosti sily a času jej pôsobenia. V prípade sily premennej v čase je to zložitejšie – impulz vypočítame integrovaním sily podľa času. Je to veličina viazaná na časový interval (pôsobenia sily). ▼ Okamžitý pohybový stav telesa charakterizuje jeho hybnosť (p) – súčin hmotnosti a rýchlosti. ▼ Impulz sily je rovný zmenehybnosti telesa za dobu pôsobenia sily - (1.veta impulzová) - 6 -

7. Newtonove zákony pohybu: 1. zákon (zákon zotrvačnosti):Teleso zotrváva v pokoji alebo rovnomernom priamočiarom pohybe, ak nie je donútené vonkajšou silou tento stav zmeniť. 2. zákon (zákon sily): Sila pôsobiaca na teleso mu udeľuje zrýchlenie, ktorého veľkosť je daná podielom veľkosti sily ( |F |) a hmotnosti telesa (m). Smer zrýchlenia je totožný so smerom pôsobiacej sily. 3. zákon (zákon akcie a reakcie): Telesá na seba pôsobia vždy vzájomne, dvojicami síl rovnakej veľkosti a opačného smeru. Vzťažné sústavy, v ktorých Newtonove zákony platia, označujeme ako inerciálne (inertia = zotrvačnosť). Vzťažné sústavy, v ktorých tomu tak nie je, označujeme ako neinerciálne – zvyčajne ide o otáčavé sústavy, v ktorých sa prejavujú tzv.zdanlivé (fiktívne) sily. Toto označenie nie je celkom korektné (žiaľ, zaužívané), nakoľko takéto sily môžu mať (aj mávajú) veľmi reálne dôsledky (napr. sila odstredivá). Znamená to, že nemožno udať nijaké teleso ako zdroj takejto „zdanlivej“ sily. Aj vzťažné sústavy na povrchu našej Zeme sú de facto neinerciálne (rotácia Zeme!). Našťastie je rotácia Zeme pomalá a zdanlivé sily ňou spôsobené sú veľmi malé – napr. odstredivá sila alebo sila Coriolisova. V bežnom živote ich nevnímame. - 7 -

8. Coriolisova sila - je dôsledkom rotácie našej Zeme. Ak sme na severnej pologuli a teleso sa pohybuje najuh, „prichádza“ do miest, ktorých obvodová rotačná rýchlosť je väčšia akú malo teleso v počiatočnom bode – teda trocha „zaostáva“ a pri pohľade smerom pohybu sa odchyľuje vpravo (k západu). Pri pohybe telesa smerom na sever je to opačne. Ak budeme na južnej polguli, všetko prebieha symetricky – obrátene. Rotácia Zeme V bežnom živote Coriolisovu silu nepozorujeme – často tradované tvrdenie, že podľa smeru víru napr. pri vypúšťaní vody z vane poznáme, či sme na severnej alebo južnej polguli, je nezmysel. Bolo by to možné iba pri ideálne horizontálnom dne nádoby a absolútnom kľude hladiny. Napriek tomu má Coriolisova sila veľký význam v meteorológii a náuke o prúdení v oceánoch.Určuje smery prúdenia vzduchu okolo tlakových níží a výší, ako aj prevládajúce smery morských prúdov. Teleso na severnej pologuli hodené na juh sa odchýli vpravo Na južnej polguli teleso hodené na sever sa odchýli vľavo Veľké rieky tečúce zo severu na juh majú zvyčajne pravé (západné) brehy strmšie ako ľavé (východné). Je to tiež výsledok dlhodobého pôsobenia Coriolisovej sily. Smery víru okolo tlakovej níže (na severnej pologuli) - 8 -

9. Predchádzajúce vysvetlenie Coriolisovej sily (Coriolisovho zrýchlenia) súhlasí s realitou iba v niektorých zjednodušených prípadoch (pohyb v horizontálnej rovine) – nie je úplne korektné. Coriolisovo zrýchlenie je obecne dôsledok transformácie vektora zrýchlenia z inerciálnej (nerotujúcej) vzťažnej sústavy do rotujúcej: Vzťah medzi vektormi - vektorový súčin Ω je vektor uhlovej rýchlosti rotácie (rovnobežný s rotačnou osou), v je vektor rýchlosti telesa v rotujúcej sústaveac┴ Ω , ac┴ v Ak sú tieto dva vektory rovnobežné (teleso sa pohybuje v smere rotačnej osi) ► ac = 0 [ matematické odvodenie napr. kniha Obetková V., Mamrillová A., Košinárová A.: „Teoretická mechanika“, Alfa Bratislava 1990, ods. 3.8, str. 141 - 147] Smery prúdenia vzduchových hmôt (idealizované) ako ◄ dôsledok Coriolis. efektu ! - 9 -

10. Zaujímavý príklad: simulácia gravitácie na kozmickej stanici odstredivou silou Rotácia vesmírnej stanice môže nahradiť na jej palube gravitáciu ◄ na kozmickej stanici tvaru prstenca (toroidu) s vonkajším polomerom15 m by pri jednej otočke za 8 sekúnd by rotácia spôsobovala odstredivé zrýchlenie práve 1 g (ako na povrchu Zeme). Ak v takejto situácii vyhodíte do výšky 2 m zvisle „hore“ (na stred otáčania stanice) loptičku, spadne Vám nie k nohám, ale asi 1,6 m ► „do boku“ – pretože dráha loptičky je už porovnateľná s polomerom otáčania. Pre posádku by takéto „efekty“ boli asi nie veľmi príjemné. Smer pohybu stanice rýchlosť vrhu lopty Coriolisovo zrýchlenie Pohyb loptičky a ruky videný z bodu mimo stanice: Odstredivé zrýchl. stred rotácie ◄ takto by sa javil pohyb (loptičky aj vrhajúceho) v sústave inerciálnej (nerotujúcej so stanicou). Dráha loptičky je zelená. hod lopty Dráha vrhajúcej ruky (15,7 m.s-1) dráha lopty (16,7 m.s-1) - 10 -

11. Ťažisko telesa (barycentrum, hmotný stred): Pre sústavu dvoch hmotných bodov platí, že ťažisko sústavy sa nachádza na ich spojnici a delí ich vzdialenosť v nepriamom pomere hmotností bodov (je bližšie k väčšej hmotnosti): ◄ CM = center of mass Pre sústavu n hmotných bodov (i-tý bod má hmotnosť mi a polohový vektor ri) platí: (polohový vektor ťažiska) – pre všeobecné teleso integrovaním U symetrických telies nájdeme ťažisko pomocou tabelovaných vzťahov, u zložitejších telies možno spočítať približne – alebo experimentálne (vážením). Veta o pohybe ťažiska: ťažisko telesa sa pohybuje tak ako hmotný bod s celkovou hmotnosťou telesa pri pôsobení rovnakej sily (síl). - 11 -

12. Moment sily a moment hybnosti: Moment sily vzhľadom na určitý bod kvantifikuje otáčavý účinok danej sily na teleso upevnené (otočne) v danom bode – (napr. moment udávaný výrobcom motora, alebo prípustný moment pri uťahovaní skrutiek). Pre hmotný bod je daný súčinom veľkosti sily adĺžky kolmice z daného bodu na smer pôsobenia sily (ak smer sily daným bodom prechádza, moment je nulový). ◄ jednoduché príklady na moment sily (otáčavý moment) - 12 -

13. Moment hybnosti („impulzmoment“) hmotného bodu vztiahnutý na určitý stred je daný súčinom hybnosti bodu (m . v) a dĺžky kolmice spustenej z tohto stredu na vektor rýchlosti hmotného bodu : (vektorový súčin !) Ak sa tuhé teleso otáča okolo pevnej osi, má vektor momentu hybnostismer tejto osi , lebo vektory rýchlosti všetkých bodov telesa, ako aj ich polohové vektory vzhľadom na stredy otáčaní ležia v rovinách kolmých na os otáčania. Časová zmena momentu hybnosti telesa (získame ju ako totálnu deriváciu vektora rýchlosti podľa času) sa rovná momentu pôsobiacej sily (síl), lebo derivovaním podľa času z výrazu (m . Vi )dostaneme (m . ai)- čiže silu Fi . Platí preto zákon zachovania momentu hybnosti: ak na teleso (alebo sústavu telies) nepôsobia vonkajšie sily, jeho (jej) moment hybnosti sa nemení. Určitú opatrnosť vyžaduje aplikácia predošlých viet na teleso s premennou hmotnosťoupočas pohybu (napr. aktívny pohyb rakety, kedy zmena hmotnosti môže byť veľmi značná). - 13 -

14. Precesný pohyb zotrvačníka (rotujúceho telesa) pôsobením „bočných“ síl – síl so zložkami kolmými na os rotácie: Ak je rotačná os zotrvačníka odchýlená od vertikály – potom moment dvojice síl ► (gravitačnej a reakcie podložky) vyvoláva precesný pohyb osi Rotačný moment Smer precesie Smer rotácie Moment sily gravitácie pôsobí precesiu Túto vlastnosť zotrvačníka využívame v bežnom živote – pri bicyklovaní alebo jazde na motocykli, a to tým výraznejšie, čím rýchlejšie ideme. Zotrvačníkmi sú v tomto prípade kolesá a precesný uhol (uhol precesného kužela) je tým menší, čím rýchlejšia je rotácia. Naučený vodič vyrovnáva precesné momenty automaticky pohybmi riadidiel. Ďalším príkladom je rotácia delových striel alebo striel z ručnýchzbraní – bočné sily, napr. od vetra, ovplyvňujú pohyb strely podstatne menej –vyvolávajú iba precesiu, ktorá síce o niečo zvyšuje odpor vzduchu, ale os strely si udržiava pôvodný smer. - 14 -

15. Príklad - precesia zemskej osi: Zem je vlastne obrovský zotrvačník. Účinkom gravitácie Mesiaca a Slnka („bočné“ sily) jej os vykonáva precesný pohyb po povrchu symbolického kužeľa, ktorého os je kolmá na ekliptiku (rovinu obehu Zeme okolo Slnka) a vrcholový uhol je približne 47o (2 x 23,5o ). Tento jav objavil už v antickom Grécku okolo r. 150 pred Kristom astronóm Hipparchos. Úplnú otočku vykoná zemská rotačná os za 25780 rokov. Dnes sa nebeský severný pól nachádza v blízkosti Polárky – avšak okolo roku 14000 bude „Polárkou“ jasná hviezda Vega, až napokon okolo r. 27800 sa vráti k našej dnešnej Polárke. ▼ Vega (budúca Severka roku 14000) Polárka (dnešná Severka) Precesia zemskej osi - 15 -

16. Newtonov gravitačný zákon: Isaac Newton (1643 – 1727) Jeho základné dielo „Philospohiae Naturalis Principia Mathematica“ vyšlo r.1687 Oproti silám elektrickým, ktoré môžu byť príťažlivé aj odpudivé, gravitačné sily sú iba príťažlivé. Preto gravitácia, ktorá je v mikrosvete zanedbateľná, vo Vesmíre je rozhodujúcou silou. Gravitácia je sila centrálna – pôsobí vždy smerom spojnice ťažísk (hmotných stredov) oboch telies. Hodnotu konštanty G (niekedy býva označovaná κ) určil prvýkrát Henry Cavendish pomocou torzných váh - schéma jeho experimentu na ďalšej stránke ► - 16 -

17. Určenie G torznými váhami (Henry Cavendish - 1798). Napriek pokroku meracej techniky je táto konštanta dodnes najmenej presne určenou fyzikálnou konštantou – iba na 4 desatinné miesta. Presné merania sú veľmi obťažné a náročné. V astronómii a kozmonautike (výpočty dráh) sa pracuje so súčinmi (G . M), kde M je hmotnosť príslušného telesa (napr. Zeme). Hodnoty týchto súčinov sú známe s oveľa vyššou presnosťou. Kremenné vlákno ► - 17 -

18. Keplerove zákony pohybu planét: Kepler bol prvý, ktorý opustil filozofický predpoklad kružníc ako dokonalých dráh nebeských telies, považovaný vtedy za samozrejmosť. Toto „zväzovalo ruky“ Kopernikovi. Johannes Kepler (1571 - 1630) 1.zákon: Planéty sa pohybujú okolo Slnka po elipsách, v ktorých ohnisku je Slnko. 2.zákon: (zákon stálej plošnej rýchlosti) sprievodič planéty (úsečka spájajúca ju so Slnkom) opíše ◄ za rovnaký čas rovnakú plochu (čím ďalej je teleso od Slnka, tým pomalšie sa pohybuje) za rovnaký čas = rovnaká plocha - 18 -

19. Príklad: planéty Zem a Jupiter. Obežná doba Jupitera je 11,86 roku (11,86-násobok obežnej doby Zeme), veľká polos jeho dráhy (oproti Zemi) je 5,2-krát väčšia. Malo by teda platiť: (5,2) 3 = (11,86) 2 čo, v súlade s 3. Keplerovým zákonom, platí. 3.zákon: druhé mocniny obežných dôb (P1, 2) sú v rovnakom pomere ako tretie mocniny veľkých polosí dráh (R1, 2) – pre každú dvojicu telies obiehajúcich okolo toho istého centrálneho telesa. Johannes Kepler formuloval tieto zákony na základe viac ako 20-ročných pozorovaní planét, ktoré vykonal Tycho de Brahe so svojími spolupracovníkmi empiricky – bez teoretického zdôvodnenia. Až Isaac Newton dokázal, že vyplývajú (sú dôsledkom) gravitačného zákona. V skutočnosti sú pohyby planét zložitejšie, nakoľko síce gravitačné pôsobenie Slnka na každú z nich je rozhodujúce, ale vzájomné gravitačné pôsobenie medzi planétaminie je úplne zanedbateľné – pri presných výpočtoch musí byť uvažované. - 19 -

20. Pohyb telesa v gravitačnom poli na malé vzdialenosti: na malé vzdialenosti (do ~ 10 – 20 km) možno gravitačné pole Zeme považovať za priestorovo homogénne – čiže zanedbať, že smery gravitanej sily v rôznych bodoch nie sú rovnobežné (lebo smerujú do ťažiska Zeme) a zanedbať pokles gravitačnej sily s výškou nad povrchom Zeme (podľa Newtonovho zákona). Vtedy možno povedať, že vrhnuté (alebo vystrelené) teleso sa pohybuje po oblúku paraboly(samozrejme pri zanedbaní odporu vzduchu) a platia známe vzorce pre volný pád a šikmý vrh známe zo strednej školy. ◄stroboskopický záber šikmo hodenej lopty, odrazenej od podlahy. ◄ „parabolické“ oblúky sú vlastne malé časti oblúkov elíps. Tie sú v blízkosti vrcholov od parabol na „nerozoznanie“. Keby sme Zem nahradili jej celkovou hmotnosťou sústredenou v ťažisku, lopta by opisovala (veľmi excentrickú) eliptickú dráhu okolo neho. - 20 -

21. Príklad – rôzne prípady šikmého vrhu (na malú vzdialenosť) pod odlišnými uhlami (spolu s odpovedajúcimi vzťahmi pre horizontálne (X) a vertikálne (Y) zložky zrýchlenia (a), rýchlosti (v) a dráhy (X, resp. Y). Jednotlivé body zobrazujú polohy telesa v rovnako časovo posunutých (ekvidistantných) časových okamihoch. - 21 -

22. V prípade pohybu na vzdialenostiporovnateľné s veľkosťou Zeme a väčšie, dráhou telesa v centrálnom gravitačnom poli (ktorého zdrojom je iba jedno ďalšie teleso) môže byť iba kuželosečka (elipsa, parabola alebo hyperbola) – záleží na počiatočnej rýchlosti (parabola je hraničný prípad). Kuželosečky: Kružnica - 22 -

23. Energia, práca, výkon: Ak sila pôsobí na teleso po určitej dráhe, koná prácu. Uplatňuje sa iba zložka sily v smere dráhy - sila pôsobiaca kolmo na smer dráhy telesa prácu nekoná. Preto máme vo výraze pre prácu skalárny súčin vektorov sily F a dráhy s: A = F . s Energia je fyzikálna veličina charakterizujúca teleso alebo sústavu telies, pričom jej zmena sa rovná práci touto sústavou vykonanou alebo spotrebovanou. Energia aj práca majú rovnaký fyzikálny rozmer - N . m = J (joule) – jednotka práce Formy energie sú veľmi rozmanité. V mechanike najčastejšie pracujeme s pojmami energie kinetickej (pohybovej) a energie potenciálnej (polohovej). Kinetickú energiu telesa o hmotnosti m, pohybujúceho sa rýchlosťou v, určuje vzťah: Túto energiu spotrebujeme, ak teleso urýchlime z kľudu na rýchlosť v. Naopak sa uvoľní – prejde do iných foriem energie – ak teleso pohybujúce sa touto rýchlosťou zastavíme. Ak sa teleso nachádza v silovom poli (napr. gravitačnom) možno hovoriť o jeho polohovej energii , ktorá sa uvoľní, resp. spotrebuje, ak toto teleso premiestnime tam, kde kladieme polohovú energiu rovnú nule (napr. povrch Zeme). - 23 -

24. Vo fyzike rozlišujeme potenciálne silové polia, v ktorých sa pohybom telesa po uzavretej dráhe nijaká práca nevykoná ani nespotrebuje – napr. pole gravitačné alebo elektrické (elektrostatické). Ale napr. pole magnetické nie je potenciálne – „našťastie“, ináč by nefungovali elektrické motory ani generátory. V nich je premena energie spojená s obehom elektrických nábojov (vo vodičoch) po uzavretých krivkách. V gravitačnom poli Zeme (v blízkosti jej povrchu) je potenciálna energia telesa hmotnosti mdaná vzťahom E = m . g. h, kdegje gravitačné zrýchlenie a h zmena výšky. V prípade práce (zmeny energie) je tiež dôležité, za aký čas bola práca vykonaná alebo spotrebovaná. To vyjadruje fyzikálna veličina výkon = práca za jednotku času. Jednotkou je J . s -1 = W (watt). Pri niektorých krátkotrvajúcich procesoch (zväčša explozívneho charakteru) môže byť výkon obrovský, ale uvoľnená energia až tak nie – napríklad bleskový výboj: výkon až 1011 W (čo je výkon niekoľkých stovák priemerných elektrární dokopy), ale vzhľadom na trvanie výboja – desiatky μsec – je uvoľnená energia rádu 107 J, čo zodpovedá približne celodennému svieteniu jedinej 100 W žiarovky – teda nič mimoriadne. - 24 -

25. Moment zotrvačnosti: Táto mechanická veličina charakterizuje energiu rotujúceho telesa. Ak sústava bodov s hmotnosťami mirotuje uhlovou rýchlosťou ω okolo pevnej osi, a vzdialenosť každého bodu od osi je ri, potom kinetická energia rotácie sústavy je: kde I je moment zotrvačnosti sústavy bodov vzhľadom na danú os – podľa vzťahu: Pre spojité teleso musíme súčet nahradiť integrovaním. U telies homogénnych a symetrických sú momenty zotrvačnosti udávané v tabuľkách. Dôležité ale je, že moment zotrvačnosti telesa závisí na polohe rotačnej osi. Výraz pre kinetickú energiu rotácie (hore) je analogický výrazu pre kinetickú energiu translačného pohybu ► iba namiesto postupnej rýchlosti v vystupuje uhlová rýchlosť ωa úlohu hmotnosti mhrá moment zotrvačnosti I. - 25 -

26. Krasokorčuliarka pripažením zníži svoj moment zotrvačnosti (okolo zvislej osi). Keďže kinetická energia rotácie sa zachováva – zvýši sa uhlová rýchlosť. Moment zotrvačnosti sa zníži, lebo väčší podiel hmotnosti jej tela sa presunie bližšie k osi rotácie. Na obrázku vpravo máme ďalší zaujímavý príklad: ▼ Dve telesá na obrázku majú rovnakú hmotnosť – pohybujú sa po naklonenej rovine, trenie a odpor vzduchu zanedbajme. Ktoré sa bude pohybovať rýchlejšie? Prstenec má – oproti valcu – dvojnásobný moment zotrvačnosti k ose symetrie (väčší podiel hmotnosti je ďalej od osi!). Keďže celkový prírastok energie na rovnakej dráhe musí byť rovnaký, u prstenca sa väčší podiel energie „spotrebuje“ na roztočenie a teda menej „zostane“ na urýchlovanie - prstenec sa bude pohybovať pomalšie. - 26 -

27. Vlastnosti látok v plynnom skupenstve: Z hľadiska fyzikálneho popisu je plynné skupenstvo najjednoduchšie. Budeme sa opierať o molekulárne - kinetickú teóriu ideálnych plynov (plynov za „nie príliš vysokých“ - to upresníme – tlakov a teplôt). Ide o klasickú (nie kvantovú!) teóriu, ktorej základné predpoklady sú: ► molekuly plynov(základné stavebné častice)považujemeza dokonale pružné guľky ► pohybujú sa náhodne všetkými smermi ► ich rozmery sú veľmi malé oproti ich priemerným vzdialenostiam ► okrem priamých, dokonale pružných zrážok, na seba nepôsobia (ako „biliárové gule“) Pre fyzikálny popis stavu určitého množstva ideálneho plynu – v rámci našej teórie – postačujú tri stavové veličiny: ■ tlak p ■ teplotaT (v absolútnej – Kelvinovej – stupnici) ■ objemV (keďže objem plynu určuje priestor mu dostupný (nádoba) a hmotnosť plynu, berieme do úvahy dohodnuté hmotnostné množstvo – zvyčajne 1 mól). - 27 -

28. Zjednodušená predstava o pohybe molekúl v ideálnom plyne: ► tlak plynu - súhrnný účinok nárazov molekúl na steny nádoby ► teplota plynu – miera strednej rýchlosti pohybu molekúl Stavové veličiny nie sú nezávislé – spája ich určitý vzťah kde k je Boltzmannova konštanta = 1,381 . 10 – 23 J . K -1 ■ rozmery molekúl malé vôči ich priemerným vzdialenostiam ■ molekuly v stálom náhodnom (chaotickom) pohybe ■ zrážky molekúl sú dokonale pružné (elastické) ■ ustálený pohyb (prúd plynu) sa superponuje na ich pohyb náhodný - 28 -

29. Stavová rovnica ideálneho plynu pre jeho hmotnostné množstvo nmólov: R je univerzálna plynová konštanta: R = 8,314 J . K -1. mol -1 Univerzálna preto, lebo platí pre ľubovolný plyn aj zmes plynov, bez ohľadu na chemické zloženie, ak uvažujeme hmotnostné množstvo v móloch (v prípade zmesi treba uvažovať priemernú molekulárnu hmotnosť). ◄Ludwig Boltzmann (1844 – 1906) zakladateľ termodynamiky a štatistickej fyziky. Prvý odvodil konštantu v stavovej rovnici – pre prípad, že hmotnostné množstvo plynu uvažujeme cez počet molekúl (spojitosť s tzv. Avogadrovým číslom). Veličina k = 1,381 . 10-23 J . K-1 sa označuje ako Boltzmannova konštanta. Obrazne povedané, „preniká“ celou modernou fyzikou. - 29 -

30. Absolútna (termodynamická alebo Kelvinova) stupnica teplôt je zavedená tak, že v jej nulovom bode – tzv. absolútna nula teploty– by sa akýkoľvek pohyb molekúl v ideálnom plyne zastavil. Nemožno ju dosiahnúť v konečnom čase – 3.veta termodynamická. Platí: 0 K = - 273,16 ° C ◄ Lord Kelvin, občianskym menom William Thomson (1824 – 1907) – význačný anglický fyzik. Zanechal trvalú stopu nielen vo fyzike, ale zaoberal sa veľmi úspešne aj elektrotechnikou a strojárstvom. Bol o.i. mimoriadne zručný experimentátor. Zaslúžil sa aj o prvé úspešné káblové telegrafické spojenie medzi Amerikou a Anglickom (16.8.1858 si prezident USA J. Buchanan a kráľovná Viktória vymenili prvýkrát pozdravné telegramy). Za celoživotné dielo bol povýšený do šľachtického stavu. Termodynamická stupnica teplôt je odvodená na základe teplotnej rozťažnosti plynov: Teplotná rozťažnosť pevných látok aj kvapalín - malá a závislá na druhu látky (chem. zložení) plynov – výrazne väčšia a nezávislá na druhu plynu. Pri teplote 0 Kby mal objem každého plynu klesnúť na nulu a pohyb molekúl by sa mal zastaviť. Prirodzene to nie je možné – nastupujú kvantové efekty. Absolútna teplotná stupnica (termodynamická) je ale definovaná a platí. - 30 -

31. James Clerk Maxwell (1831 – 1879) – významný anglický fyzik. Je všeobecne známy skôr svojou epochálnou teóriou elektromagnetického poľa, na ktorej stojí celá moderná elektrotechnika a telekomunikačná technika, ale jeho príspevok k termodynamike je práve tak významný – budeme hovoriť o Maxwellovom rozdelení rýchlostí molekúl plynu ► ◄ J.C.Maxwell s manželkou Katherine (a psíkom) – (1869 - jedna z prvých fotografií v Anglicku vo verejnom fotoateliéri). O.i. odvodil štatistické rozloženie rýchlostí molekul v ideálnom plyne - Maxwellovo rozdelenie rýchlostí: ▼ Vodorovná os – rýchlosť molekúl plynu (príklad – vzduch); Zvislá os – pomerné zastúpenie (podiel počtu) molekúl; Červená a modrá krivky sú pre odlišné teploty (modrá pre vyššiu). - 31 -

32. Deje v plynoch a p – V diagram: Podľa toho, či niektorá zo stavových veličín (p, V alebo T) zostáva konštantná, rozoznávame: ► dej izobarický - pri stálom tlaku - možné „praktické prevedenie“ na obrázku: ▼ ► dej izochorický (izometrický) - pri stálom objeme (uzavretá nádoba) ► dej izotermický - pri stálej teplote • Veľmi dôležitý je v termodynamike dej adiabatický – ak nenastáva výmena tepelnej energie medzi plynom a okolím. To možno zaistiť buď • - dokonalou tepelnou izoláciou alebo tým, že: • dej prebehne tak rýchlo, aby bol prestup tepla z alebo do plynu takmer • zanedbateľný. - 32 -

33. Vysvetlenie k tabuľke na predchádzajúcej stránke: IndexAzodpovedá počiatočnému stavu, index B konečnému. Veličina U značí zmenu vnútornej energie plynu, veličina Q zmenu tepelnej energie (teplo plynom prijaté alebo mu odobraté) a veličina W predstavuje mechanickú prácu na plyne vykonanú (mechanickú prácu na plyne vykonanú (+) alebo plynom odovzdanú (-). Prvá veta termodynamická hovorí, že prírastok ΔU = súčtu prírastkov (zmien) (ΔQ + ΔW) Znázornenie dejov v plynoch pomocou p – V diagramov: Dej izochorický a izobarický: Dej izotermický: - 33 -

34. Všetky 3 veličiny (p, V, T)naraz možno ukázať iba na 3-D grafu v axonometrii: Dej adiabatický: Izotermy Adiabatická expanzia Vo výraze p = C / Vγje veličina γtzv. adiabatický exponent, ktorý sa rovná pomeru merných (špecifických) tepiel plynu pri stálom tlaku cp a stálom objeme cV ( γ = cp / cV ) Obrázok vpravo ukazuje, ako pri adiabatickej expanzii teplota plynu klesá, teda pohybujeme sa smerom k izotermickej krivke (hyperbola) pre nižšiu teplotu. Adiabatická krivka je strmšia ako izotermická. Plocha na p – V diagrame zodpovedá energii (pri deji uvoľnenejalebo spotrebovanej). - 34 -

35. Merné teplá plynov pri stálom tlaku cpa pri stálom objeme cVsa líšia (u kvapalín a pevných látok prakticky nie, preto u nich uvádzame jedinú hodnotu merného tepla). Ak zohrievame plyn pri stálom tlaku, musíme mu umožniť expanziu. Pri nej plyn koná dodatočnú prácu, ktorú musí dodať tepelný zdroj. Je preto cp> cV Hodnota adiabatického exponentu (niekedy sa označuje ako Poissonov koeficient) závisí iba na molekulárnej štruktúre plynu (počtu atómov v molekule). Základné vety termodynamiky. Deje vratné a nevratné: ► 1.veta termodynamická (v podstate zákon zachovania energie aplikovaný v termodynamike): nemôže existovať zariadenie (stroj), ktorý by trvale konal prácu bez zmeny vnútornej energie (napr. celkovej energie pohybu molekúl) alebo energie okolia (tzv. perpetuum mobile 1.druhu). ► 2.veta termodynamická: nemôže existovať zariadenie (stroj), trvale konajúci prácu iba „na účet“ trvalého ochladzovania nejakého telesa. Ekvivalentná formulácia: samovoľne môže teplo (tepelná energia) prechádzať iba z telesa teplejšieho na chladnejšie, nikdy opačne (dôležité je slovo „samovoľne“).Také zariadenie by sa označovalo ako „perpetuum mobile 2.druhu“. ► 3.veta termodynamická: absolútnu nulu teploty nie je možné dosiahnuť nijakým termodynamickým procesom v konečnom čase (tzv. Nernstov teorém). - 35 -

36. Tepelné stroje, ich účinnosť. Carnotov cyklus. Tepelné stroje (zariadenia premieňajúce tepelnú energiu na mechanickú prácu) tvoria bez zveličovania základ modernej civilizácie. Historicky prvý bol parný stroj, pri zlepšovaní ktorého boli precizované termodynamické vzťahy a zákony. Ale aj spaľovací motor, parné a plynové turbíny sú tepelné stroje. Je pravdou, že v modernej spoločnosti sa čo raz viac využíva energia elektrická, túto ale vyrábame iba pomocou tepelných strojov(aj vodnú elektráreň možno – svojím spôsobom – považovať za „tepelný stroj“, lebo vyparovanie vody do atmosféry, jej kondenzácia a prúdenie v riekach sa deje na účet tepelnej energie zo Slnka).Získavať elektrinu veľkochovom elektrických rýbby bolo problematické. Prvý, tzv. “atmosférický“ parný stroj skonštruoval Thomas Newcomen r. 1712. Používal sa iba na čerpanie vody z anglických baní. Jeho účinnosť bola veľmi malá, pracoval pomaly, ale pre uvedený účel to postačovalo.Ventily pre vodu a paru sa ovládali ručne, ale už r.1713 mladý učeň Humphrey (nie Harry!) Potter dostal nápad ich ovládať „automaticky“ pohybom piestu. Všeobecne sa v Anglicku a neskôr inde rozšíril až parný stroj zdokonalený Jamesom Wattom (1736 – 1819). Vo Wattovom stroji para tlačila na piest striedavo z obidvoch strán, stroj mal odstredivý regulátor otáčok a Watt neskôr konštruoval dvojvalcové stroje s kľudnejším chodom. Prvý rýchlobežný stroj postavil r. 1774 a v spolupráci s továrnikom Matthewom Boultonom začala komerčná výroba parných strojov podľa Wattových patentov r. 1776. Roku 1800 Watt svoje patenty venoval verejnosti. - 36 -

37. James Watt (1736 – 1819) sa dožil mohutného a víťazného nástupu parných strojov. V roku 1800, keď sa dobrovoľne vzdal patentových práv, už v celom Anglicku fungovalo viac ako 1500 jeho strojov. Na sklonku života mu bolo ponúknuté povýšenie do šľachtického stavu, čo s vďakou odmietol. Na obrázku vpravo je presná (a fungujúca !) kópia Wattovho stroja z roku 1788. Je v ► technickom múzeu Henryho Forda v Dearbornu v USA. Výkon stroja bol 10 „koňských síl„ (v dobových jednotkách), točil 50 otáčok za min. Parné stroje dobývali dopravu (lokomotívy, parolode), využívali sa aj v poľnohospodárstve (stacionárne stroje) a ďalej sa zlepšovali. Napriek technickým a technologickým úpravám a zdokonaleniam však účinnosť zostávala na pomernej nízkej hodnote okolo12 – 15 %. Vec objasnil roku 1824 ►► - 37 -

38. francúzsky vynálezca (armádny dôstojník – na ► obrázku v uniforme kadeta prestížnej dôstojníckej školy) Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796 – 1832). Žiaľ, zomrel 36-ročný v Paríži počas cholerovej epidémie. Jeho synovec, Marie Françoise Carnot, bol v rokoch 1887 – 1894 francúzskym prezidentom. Skonštruoval matematický model (Carnotov cyklus), ktorým dokázal, že existuje neprekročiteľná hranica účinnosti tepelného stroja, ktorá je daná iba pomerom absolútnych teplôt tzv. ohrievača TH (pracovného plynu do stroja vstupujúceho) a tzv. chladiča TC (plynu opúšťajúceho stroj - jeho pracovný priestor). Táto účinnosť ηje daná Carnotovým vzťahom: W je užitočná mechanická energia ktorú môžeme zo stroja získať; QH je tepelná energia za rovnaký čas do stroja vstupujúca Akýmkoľvek technickým zdokonaľovaním stroja sa k tejto hranici možno iba priblížiť. - 38 -

39. Carnotov cyklus: Carnotova max.účinnosť: Úsek 1 – 2 : adiabatická kompresia (bez prívodu tepla), teplota plynu sa zvýši z T1 na T2 Úsek 2 – 3 : izotermická expanzia pri teplote T2 (pre jej udržanie treba dodávať tepelnú energiu Q2) Úsek 3 – 4 : adiabatická expanzia (bez prívodu tepla), teplota plynu poklesne z T2na T1 Úsek 4 – 1 : izotermická kompresia pri teplote T1 (pre jej udržanie treba odviesť tepelnú energiu Q1) Vo forme mechanickej práce možno získať najviac rozdiel tepelných energií (Q2 - Q1) . Cyklus môže prebiehať aj opačným smerom(chladnička, tepelné čerpadlo) – vtedy musíme mechanickú prácu do systému dodávať. - 39 -

40. Oproti iným formám energie – súvisiacim s usporiadaným pohybom častíc, napr. elektrický prúd – predstavuje tepelná energia chaotický – neusporiadaný – pohyb molekúl látky. Preto je, obrazne povedané „menej ušľachtilá“ a nemožno ju nijakému telesu odobrať úplne. ► Tlak vo valci stroja možno snadno zmerať manometrom, práve tak ako objem pracovného priestoru je úmerný polohe piestu. Možno teda na reálnom stroji jeho pracovný cyklus v p – V diagramu vykresliť – dostaneme tzv. indikátorový diagram stroja – viď obrázok získaný počas skúšok: ▼(diagram je otočený o 180◦) Steamadmissionstarts= para začína vstupovať do valca Exhaust port opens= otvorenie výfuku % ofpistonstroke = % zdvihu piestu Terminal pressure= tlak vo valci pri otvorení výfuku Backpressure = tlak okolia Steamcutoff = uzavretie vstupu pary Horná úvrať - max.tlak ► Koniec plnenia začiatok plnenia expanzia ► výfuk ▼ ◄ dol.úvrať atm.tlak nulový tlak - vákuum Objem (v % zdvihu piestu) - 40 -

41. Historická zaujímavosť: absolútne najväčšie a najvýkonnejšie klasické parné stroje postavila v rokoch 1910 – 1911 firma Harland & Wolff z Belfastu pre známy parník Titanic. ▼ Na obrázku vpravo je presný model stroja: ► Titanic mal dva takéto stroje po 4 valce - jeden vysokotlaký, jeden stredotlaký a dva nízkotlaké (para cez ne prúdila postupne). Celý stroj bol 10 m vysoký a vážil približne 1000 ton. Priemery valcov boli v poradí – 1,35 m, 2,1 m a 2,43 m, zdvih bol spoločný – 1,87 m. Pri menovitom výkone 16000 koňských síl, čo je 11700 kW, otáčali priamo lodnou skrutkou 76 otáčok za minútu. Do vysokotlakých valcov vstupovala para pod tlakom približne 1,5 MPa (14,8 atmosfér). Paru vyrábalo 29 veľkých kotlov, čo si vyžadovalo „armádu“ 174 kuričov, ktorí pracovali v priamo vražednom tempe (museli sa striedať po hodine). Kúrilo sa uhlím, spotreba (pri menovitom výkone na jeden stroj) bola 35 ton za hodinu – každý kurič musel za hodinu „obslúžiť“ vyše 400 kg uhlia. Značná zotrvačnosť pohyblivých častí mala nevyhnutne za následok, že akékoľvek zmeny rýchlosti strojov vyžadovali dlhší čas – čo aj napomohlo tragickému záveru prvej (a poslednej) plavby. - 41 -

42. Nasledujúce dobové fotografie dávajú predstavu o skutočnej veľkosti strojov Titanicu: Kľukový hriadeľ stroja uložený v spodnej časti lôžka (z pochopiteľných príčin sa montáž stroja vykonávala priamo vo vnútri lodného trupu): ▼ Teleso jedného valca stroja (v oválnom hrdle pre výstup pary je vidieť hlava robotníka). Valce boli vlastne dva – hlavný valec (s väčším priemerom) a valec pre šúpä (prívod pary striedavo z obidvoch strán piesta):▼ - 42 -

43. Parné turbíny: Parná turbína je dnes najvýznamnejší tepelný stroj – hoci si to väčšinou neuvedomujeme! Približne 80% svetovej výroby elektrickej energie zaisťujú generátory poháňané parnými turbínami. Princíp činnosti je jednoduchý – para o vysokom tlaku a teplote (dnes sú hranice okolo 15 MPa – 150 atmosfér – a + 600oC ), prúdi medzi rotorovými a statorovými lopatkami a časť energie odovzdáva rotoru. ▼Činnosť dvoch základných usporiadaní turbín ukazuje obrázok. ◄ Impulznéareaktívneusporiadanie sa líši tým, či „trysky“ – teda časti stroja, v ktorých, obrazne povedané, „vymieňame“ tlak za rýchlosť – čiže energiu potenciálnu za kinetickú - sú pevné alebo pohyblivé. Na dolných grafoch vidíme schematický priebeh tlaku a rýchlostipary pozdĺž osi otáčania turbíny. ▲ Časť rotora parnej turbíny, doteraz najvýkonnejšej na svete, s výkonom 1750 MW. Výrobok francúzskej firmy ALSTOM – 4 takéto turbíny pracujú vo francúzskej elektrárni Flamanville. - 43 -

44. „Otcom“ parnej turbíny je anglický inžinier, geniálny konštruktér Charles Algernon Parsons (1854 – 1931). Roku 1911 bol za zásluhy povýšený do šľachtického stavu. ▼ Hlavnou výhodou turbíny - oproti klasickým piestovým strojom – je výhradne rotačný pohyb všetkých pohyblivých častí (neexistencia vratného pohybu). Odpadajú kľuky, ojnice apod. Určitou nevýhodou (najmä u veľkých strojov) je zotrvačnosť rotora, ktorá nedovoľuje rýchle zmeny otáčok (výkonu). Preto sa neuplatnili ľahké turbíny napr. v automobiloch (hoci majú oproti tradičnému spaľovaciemu motoru podstatne vyššiu účinnosť). Parsons zostrojil prvú pokusnú turbínu v r.1884. Už predtým ju ponúkol (ale iba vo forme výkresov) anglickej admiralite ako perspektívny pohon lodí – bol odmietnutý. Kúpil starú vyradenú jachtu a so spolupracovníkmi ju vybavil parnou turbínou. Dal jej meno Turbinia a roku 1897 – na slávnostnej námornej prehliadke pri diamantovom výročí kráľovnej Viktórie – vplával medzi ozrutné vojnové lode a kľučkoval pomedzi ne viac ako dvojnásobnou rýchlosťou (32,5 uzla čiže 60 km . h -1 – vtedajšie bojové lode dosahovali sotva polovičnú rýchlosť). Admiralita rýchlo zmenila názor a odvtedy začali vojnové lode vybavovať iba turbínovým pohonom. Ten sa po čase presadil aj v civilnom loďstve. - 44 -

45. Zábery prvých parných turbín: ◄ Prvá Parsonsova turbína z roku 1884 (fungovala na dielenskom stole). ◄Takto Parsons so spolupracovníkmi vyrábal diely turbíny použitej na jachte „Turbinia“. - 45 -

46. Parné turbíny významne zdokonalil švédský inžinier Carl Gustaf de Laval (1845 – 1913), ktorý vhodným tvarovaním lopatiek dosiahol prúdenie pary medzi nimi nadzvukovou rýchlosťou. Založil spoločnosť na výrobu turbín a elektrických generátorov, ktorá existuje dodnes pod označením ABB. Snímok ukazuje (dnes múzejný exponát) rotor jednej z dvoch turbín poháňajúcich hrdinský poľský torpédoborec „Wichor“, ktorý sa vyznamenal počas II. svetovej vojny. Vidíme dva rotory na spoločnom hlavnom hriadeli – zmysel zakrivenia lopatiek bol na nich opačný, para vstupovala z obidvoch strán (koncov) a odchádzala stredom. - 46 -

47. Keď hovoríme o parných turbínach, pripomeňme si nášho rodáka, slovenského inžiniera Aurela Stodolu: Aurel Stodola (11.5.1859 Liptovský Mikuláš - 25.12.1942 Zürich, Švajčiarsko) • 1877 - začal študovať strojné inžinierstvo v Zürichu na polytechnike • 1884 - s vyznamenaním ukončil štúdia v Paríži • od 1892 - docent, neskôr profesor na ETH (Eidgenössische Technische • Hochschule v Zürichu, vedúci katedry konštrukcie a stavby • tepelných strojov; • úzko spolupracuje s firmou Brown, Boveri et Cie., ktorá bola • prvým výrobcom parných turbín na kontinente (mimo Anglicka) • - prvé vydanie jeho základného diela „Die Dampfturbinen“ • (1140 strán) • - vychádza už 6.vydanie, kniha bola preložená do 4 jazykov • - vzdáva sa profesorského miesta a vedenia katedry, ale pokračuje • v spolupráci s horeuvedenou firmou na zdokonaľovaní turbín. Bol tiež priekopníkom automatickej regulácie strojov a teórie aj praxe servomechanizmov. Pod jeho vedením sa na ETH Zürichvybudovali rozsiahle laboratóriá a skúšobne strojov. - 47 -

48. Správa z tlače o úspešných skúškach spaľovacej (plynovej) turbíny o výkone 4000 kW, ktorú skonštruoval Prof. Stodola a vyrobila firma Brown-Boveri v roku 1939. ▼ ▲ Titulný list 4. nemeckého vydania Stodolovej knihy z roku 1910. - 48 -

49. Reálne plyny: Za vysokých tlakov (stredné vzájomné vzdialenosti molekúl plynu už nie sú podstatne väčšie ako rozmery molekúl), alebo vysokých teplôt (priemerné rýchlosti molekúl sú značné), resp. v oboch situáciách – sa plyny už nesprávajú podľa jednoduchej stavovej rovnice p.V = R.T p.V = R.T Podobné správanie plynov pozorujeme aj „na opačnej strane“ pri nízkych teplotách – v blízkosti bodu varu danej látky, keď sa blížime kondenzácii. Na grafe vidíme časť p – V diagramu uhlovodíku ► Izopentánu. Izotermické krivky (značené teplotou v K) zodpovedajú pre T > 220 K ideálnym (hyperboly). Pri nižších teplotách sa akosi „deformujú“– objavujú sa vodorovné úseky, na ktorých tlak nezávisí od objemu. To zodpovedá tzv. fázovým prechodom, kedy môžu koexistovať dve skupenstvá (plyn a kvapalina). Kvapaliny sú takmer nestlačiteľné – objem nezávisí na tlaku – izotermy „idú“ zvisle. V tejto oblasti už existuje iba kvapalina ► Na vodorovných úsekoch izoterm sa mení pomerný podiel plynu a kvapaliny. Izoterma, na ktorej sa začne objavovať vodorovný úsek, je kritická izoterma. Prislúcha jej kritická teplota TK a vodorovnému úseku kritický tlak pK. Plyn + kvap. - 49 -

50. Stavová rovnica pre reálne plyny (van der Waalsova): Odvodil ju holandský fyzik Johannes Diderikvan der Waals(1837 – 1923; v roku 1910 získal Nobelovu cenu za fyziku). Trvale pôsobil na amsterdamskej univerzite. ▼ Veličiny p, V, R, T sú nám už známe zo stavovej rovnice ideálneho plynu, n je počet mólov plynu. Parametre a, b sú charakteristické pre každý plyn a získajú sa z experimentu – meraním. Van der Waalsova rovnica vcelku presne popisuje správanie reálnych plynov. Dodatočné parametre a aj b fyzikálne vystihujú jednak to, že molekuly majú vlastný objem, teda objemplynu nikdy nemôže klesnúť presne na nulu(parameter b). Parameter a rešpektuje vplyv síl medzi molekulami na malých vzájomných vzdialenostiach (nazývané van der Waalsove sily). - 50 -