Derivação e integração numéricas

1. Derivação e integração numéricas Pontos mais importantes: - derivação numérica: -aproximação das derivadas: diferenças divididas finitas -diferenças finitas de primeira ordem -diferenças finitas de segunda ordem -formulas com precisão elevada -derivação com pontos não igualmente espaçados - integração numérica: -Integração Newton-Cotes: -regra de trapézios -regra de Simpson 1/3 -regra de Simpson 3/8 -integração com pontos não equidistantes -Integração de funções: -método de Romberg -quadratura Gaussiana 1

2. Engenharia: - estudo de variação de quantidades físicas com o espaço e/ou tempo -------> derivação - as leis de natureza são dadas por equações diferenciais (mecânica dos fluidos, transferência do calor e massa, cinética, etc.), solução ------------> integração A função a ser diferenciada ou integrada pode ser tipicamente: -uma função contínua simples e.g. polinómio, exponencial ou trigonométrica - uma função contínua complicada, difícil ou frequentemente impossível de ser derivada ou integrada directamente - conjunto dos pontos Nos últimos dois casos a derivada ou integral é determinada numericamente usando métodos aproximados! 2

3. Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) Derivação numérica de primeira ordem: (i) diferença dividida finita progressiva: -a expansão de Taylor pode ser usada para aproximar as derivadas de uma função contínua: eq. * truncatura -truncatura após o segundo termo, e rearrangando o resultado para a derivada dá: -h=xi+1-xi (passo) -o erro é proporcional a h -o operador D representa as diferença finitas progressivas 3

4. - Exemplo i x f(x) 1 0 0,54 2 0,25 0,49 3 0,5 0,32 4 0,75 0,01 -0,2 -0,68 -1,24 - 4

5. Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) (ii) diferença dividida finita regressiva: -duma maneira semelhante a expansão de Taylor pode ser escrita para um ponto anterior: truncatura eq. ** - eq. ** pode ser rearrangada para a derivada: -o erro é proporcional a h -o operador representa as diferença finitas regressivas 5

6. Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) (iii) diferença dividida finita central: -subtracção de eq.** na eq. * resulta: - rearrangando para a derivada temos: 6

7. i x f(x) - Exemplo 1 0 0,54 2 0,25 0,49 3 0,5 0,32 4 0,75 0,01 -0,2 - - -0,68 -0,2 -0,44 -1,24 -0,68 -0,96 - -1,24 - 7

8. Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) Derivação numérica de segunda ordem: (i) diferença dividida finita progressiva: -a expansão de Taylor pode para aproximar o valor de função no ponto x+2h: eq. *** -multiplicação de eq.* por 2, e subtracção na eq. ***, após rearranjo resulta na formula seguinte para a segunda derivada: 8

9. Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) (ii) diferença dividida finita regressiva: (iii) diferença dividida finita central: 9

10. - Exemplo i x f(x) 1 0 0,54 2 0,25 0,49 3 0,5 0,32 4 0,75 0,01 -1,92 - - -2,24 - -1,92 - -1,92 -2,24 - -2,24 - 10

11. Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) Formulas com precisão elevada: -o nível de precisão da aproximação pode ser elevada considerando mais alguns termos da expansão de Taylor: truncatura -rearranjando a expressão anterior para a primeira derivada dá:

13. Diferenciação numérica Derivação com pontos não igualmente espaçados: -às vezes dados (experimentais) disponíveis não são igualmente espaçados ----> os métodos anteriores não podem ser usados -solução: aplicação de um polinómio de Lagrange de grau 2 para cada conjunto de 3 pontos, e derivação analítica do aproximador: -vantagem: x pode ter qualquer valor -desvantagem: a expressão é mais complicada do que dif. div. fin. 13

14. Diferenciação numérica - a diferenciação numérica geralmente tende a amplificar os erros que afectam os dados ------> a primeira aproximação com regressão seguida de derivação - também a diferenciação baseada num polinómio interpolador é um processo essencialmente instável -------> pode conduzir a erros importantes 14

15. Integração numérica, formulas de Newton-Cotes -substituir uma função muito complicada ou conhecida apenas sob forma discreta por uma função de aproximação facilmente integrável: sendo fn(x) um polinómio de grau n (bom aproximador e facilmente integrável) -formulas fechadas: os valores de função são conhecidas nos limites (interpolação) -formulas abertas: os limites de integração são fora do intervalo dos dados disponíveis (extrapolação)-usado mais para a solução de equações diferenciais ordinárias 15

16. Integração numérica, formulas de Newton-Cotes Regra dos trapézios: -o polinómio aproximador de função é uma recta (grau 1) -a área de baixo do aproximador é a área de um trapézio calculado: A=[(b+B)/2]h b- base menor B-base maior h-altura -aplicando a esta regra para o aproximador: Erro In 16

17. Integração numérica, formulas de Newton-Cotes -um polinómio de grau um pode ser escrito: -integrando esta função entre a e b temos que: 17

18. Integração numérica, formulas de Newton-Cotes -erro da regra dos trapézios: -a segunda derivada de uma função linear é zero ------> exacto 18

19. Integração numérica, formulas de Newton-Cotes Aplicação múltipla da regra dos trapézios: c- ponto médio do intervalo de interesse h=(b-a)/2 Erro In 19

20. Integração numérica, formulas de Newton-Cotes -quando temos n+1 pontos igualmente espaçados (x0,x1,...,xn): onde h=(b-a)/n -erro de integração: -o erro para cada intervalo pode ser somado 20

21. - Exemplo i x f(x) • 0 0 0.54 • 0.25 0.49 • 0.5 0.32 • 0.75 0.01 • 1 0.3 • 1.25 0.5 21

22. Integração numérica, formulas de Newton-Cotes Regras de Simpson: -uma maneira para melhorar a aproximação é aumentar o grau da função aproximadora (mais pontos necessários) -regra de Simpson 1/3: pol. de grau 2 ----> 3 pontos -regra de Simpson 3/8: pol. de grau 3 ----> 4 pontos Regra de Simpson 1/3: -na expressão anterior f2(x) é um polinómio de Lagrange, por isso: 22

23. Integração numérica, formulas de Newton-Cotes -a solução do integral do polinómio é dado por a eq. seguinte (após algumas manipulações): onde: x0=a ; x2=b ; x1=(b+a)/2 ; h=(b-a)/2 -erro: -curioso que o resultado é correcto até ao terceiro grau (exacto para uma função cúbica) usando uma parábola 23

24. Integração numérica, formulas de Newton-Cotes Aplicação múltipla da regra de Simpson 1/3: -para n (h=(b-a)/n) intervalos igualmente espaçados: ou -o erro é dado pelo soma dos erros de cada intervalo: -obrigatório o número de intervalos ser par 24

25. - Exemplo i x f(x) • 0 0 0.54 • 0.25 0.49 • 0.5 0.32 • 0.75 0.01 • 1 0.3 • 1.25 0.5 • 1.5 0.8 25

26. Integração numérica, formulas de Newton-Cotes Regra de Simpson 3/8: -na expressão anterior f3(x) é um polinómio de Lagrange, por isso precisamos 4 pontos -o resultado de integração é dado por: onde: x0=a ; x3=b ; h=(b-a)/3 -mesmo que usemos um aproximador de grau superior do que na regra de Simpson 1/3, o erro de integração têm a mesma grandeza: 26

27. - Exemplo i x f(x) • 0 0 0.54 • 0.25 0.49 • 0.5 0.32 • 0.75 0.01 • 1 0.3 • 1.25 0.5 27

28. Integração numérica, formulas de Newton-Cotes Pontos desigualmente espaçados: -temos que avaliar o integral para cada intervalo individualmente (par de pontos), depois somar o resultado------->regra de trapézios: -se alguns segmentos têm amplitudes iguais, agrupamento é possível -----> regra de Simpson 28

29. Integração numérica, integração de equações - os métodos discutidos até este ponto (formulas de Newton-Cotes) são particularmente úteis quando os dados estão disponíveis como um conjunto dos valores - o erro cometido com a aproximação diminui com o aumento do número de intervalos/pontos (n) - mas para um número de intervalos muito elevado, os erros de arredondamento tornam-se dominantes ------> pouca precisão - quando a função é conhecida existem outros métodos mais eficientes 29

30. Integração numérica, integração de equações Quadratura Gaussiana: -anteriormente, o integral de uma função foi determinado usando (várias) funções de aproximação e intervalos fixos, e.g.: -agora, suponha-se que escolhemos outros dois pontos na curva (xo e x1), por forma a que os erros de aproximação negativos e positivos se anulem: f(x) f(a) f(b) a b x x0 x1 30

31. Integração numérica, integração de equações -a expressão da regra de trapézios pode ser escrita: -as constantes c0 e c1 podem ser determinadas baseadas no facto de que o resultado deve ser exacto para uma constante e uma recta, e.g.: onde -agora, suponha que os pontos da função também são desconhecidos: 31

32. Integração numérica, integração de equações -4 incógnitas ------> precisamos 4 condições -agora suponha-se que a fórmula anterior é exacta para uma constante (y=1), uma recta (y=x), uma parábola (y=x2) e uma cúbica (y=x3): c0=c1=1 32 fórmula de Gauss-Legrende com dois pontos

33. Integração numérica, integração de equações -a expressão anterior só funciona, se os limites de integração são -1 a 1 (generalidade) -qualquer limite pode ser transformado usando uma mudança de variável: x=a ---> xd=-1 x=b ---> xd=1 a=a0-a1 b=a0+a1 a0=(a+b)/2 a1=(b-a)/2 x=a0+a1xd Formulas com mais pontos: -2n incógnitas ------> 2n equações -os valores de ci em função de número de pontos encontram-se em livros! 33

35. Integração numérica, integração de equações Erro da quadratura Gaussiana: n -número de pontos menos um (nº de segmentos) -derivada de ordem (2n+2) da função após mudança de variáveis n=2 35

36. Integração numérica, integração de equações - Exemplo Agua 3 m H=5 m x0= 1 m 0 hf= 1 m 36

37. - Exemplo xd i f(x) c I=1,3827 0 -0,86113 0,49956 0,34785 -0,33998 0,86284 0,65214 0,33998 0,78291 0,65214 0,86113 0,39011 0,34785 1 2 3 37