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Simulation von Würfeln, Münzen,…. Referat am 18.12.2006 von Nadja Ullmann. Gliederung. Simulationen Stabilisierung der relativen Häufigkeit Aufgaben Zusammenfassung. Mit einem Würfel: Würfeln: > w<-floor(runif(10,1,7)) > w [1] 6 6 2 4 3 6 3 1 5 1 Tabelle: > t<-table(w) > t w

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
simulation von w rfeln m nzen

Simulation von Würfeln, Münzen,…

Referat am 18.12.2006

von Nadja Ullmann

gliederung
Gliederung
  • Simulationen
  • Stabilisierung der relativen Häufigkeit
  • Aufgaben
  • Zusammenfassung
w rfel
Mit einem Würfel:

Würfeln:

> w<-floor(runif(10,1,7))

> w

[1] 6 6 2 4 3 6 3 1 5 1

Tabelle:

> t<-table(w)

> t

w

1 2 3 4 5 6

2 1 2 1 1 3

Mit zwei Würfeln:

> wu<-floor(runif(10,1,7))

> wu2<-floor(runif(10,1,7))

> zu<-cbind(wu,wu2)

> zu

wu wu2

[1,] 5 1

[2,] 6 3

[3,] 6 6

[4,] 1 1

[5,] 4 3

[6,] 3 4

[7,] 4 6

[8,] 3 1

[9,] 3 5

[10,] 1 4

Würfel
m nzen
Münzen

Werfen einer Münze:

> m<-floor(runif(10,1,3))

> m

[1] 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2

Tabelle:

> mu<-table(m)

> mu

m

1 2

4 6

urnen
Urnen

Mit Zurücklegen:

1=rote Kugel

2=blaue Kugel

3=gelbe Kugel

Anzahl der Kugeln in der Urne:

k<-c(1,1,2,2,2,3)

Zuordnung: k<-c(1,2,3,4,5,6)

10-maliges Ziehen aus der Urne:

> l<-floor(runif(10,1,7))

> l

[1] 6 3 1 4 4 4 2 4 26

slide6
Rücksubstitution:

> zo<-l

> zo[l==1]<-1

> zo[l==2]<-1

> zo[l==3]<-2

> zo[l==4]<-2

> zo[l==5]<-2

> zo[l==6]<-3

Ergebnis:

> zo

[1] 3 2 1 2 2 2 1 2 1 3

slide7
Ohne Zurücklegen:

e<-c(1,1,1,1,2,2,2,3)

8-maliges Ziehen aus der Urne:

> s<-sample(8)

> s

[1] 1 4 3 6 5 8 7 2

Ergebnis:

> zu<-e[s]

> zu

[1] 1 1 1 2 2 3 2 1

lotto
Lotto

> x<-c(1:49)

Zufälliges Erzeugen von sechs Zahlen von 1 bis 49:

> s<-sample(x,6)

> s

[1] 37 4 12 5 21 30

roulette
Roulette

Eine einzelne Zahl:

> r<-floor(runif(1,0,37))

> r

[1] 2

Eine Farbe:

0=0

1=rot

2=schwarz

d<-c(0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2, 2,2,2,2,2,2)

> z<-floor(runif(1,0,37))

> z

[1] 7 (=rot)

kritik
Kritik
  • Sehr umständliche Befehle
  • Vor allem bei Simulation von zwei Würfeln, Münzen,… sehr aufwändig
  • Urnen sind sehr schwierig zu simulieren
  • Lotto einfach
  • Beim Roulette kann man einzelne Zahlen leicht erzeugen, Farben komplizierter
w rfel mit anderer seitenanzahl
Würfel mit anderer Seitenanzahl

Tetraeder:

> t<-floor(runif(20,1,5))

> t

[1] 4 2 4 2 3 3 1 2 1 1 1 1 2 3 1 2 2 12 2

Ikosaeder: (20 Dreiecksflächen)

> j<-floor(runif(30,0,20))

> j

[1] 19 6 18 16 3 13 13 4 5 18 15 2 12 0 1 10

[16] 13 3 13 14 7 19 1 18 18 19 15 14 15 16

gleichzeitiges werfen von w rfel und m nze
Gleichzeitiges Werfen von Würfel und Münze

Werfen der Münze:

> m<-floor(runif(20,1,3))

> m

[1] 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2

Werfen des Würfels:

> w<-floor(runif(20,1,7))

> w

[1] 6 2 2 6 3 1 6 1 3 3 4 3 2 4 5 5 5 6 6 4

slide13
Zusammenfügen:

> r<-rbind(m,w)

> r

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14]

m 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2

w 6 2 2 6 3 1 6 1 3 3 4 3 2 4

[,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]

m 2 2 2 2 1 2

w 5 5 5 6 6 4

Tabelle:

> t<-table(m,w)

> t

w

m 1 2 3 4 5 6

1 0 2 1 0 0 2

2 2 1 3 3 3 3

stabilisierung der relativen h ufigkeit
Stabilisierung der relativen Häufigkeit

Würfeln:

> c<-floor(runif(100,1,7))

c

[1] 6 5 5 3 6 6 2 1 4 3 2 5 2 1 2 4 1 2 2 1 3 2 2 6 5 3 6 6 5 5 3 6 2 6 6 5 1

[38] 2 2 5 4 3 1 1 6 4 1 6 1 6 5 4 2 4 5 6 1 1 3 3 6 1 1 3 4 4 2 1 1 2 2 6 1 3

[75] 3 2 3 4 4 6 6 1 6 6 3 4 4 6 3 4 1 3 4 5 5 2 3 5 4 5

Absolute Häufigkeiten: Relative Häufigkeiten

> t<-table(c) > k<-t/sum(t)

> t > k

c c

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

18 17 16 15 14 20 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.20

slide15
500 Würfe:

d<-table(floor(runif(500,1,7)))

> d

1 2 3 4 5 6

72 88 98 79 69 94

> l<-c/sum(c)

> l

1 2 3 4 5 6

0.144 0.176 0.196 0.158 0.138 0.188

5000 Würfe:

> n<-f/sum(f)

> n

1 2 3 4 5 6

0.1606 0.1650 0.1724 0.1680 0.1662 0.1678

slide16
100000 Würfe:

> p<-h/sum(h)

> p

1 2 3 4 5 6

0.16505 0.16543 0.16639 0.16792 0.16721 0.16800

1000000 Würfe:

> q<-i/sum(i)

> q

1 2 3 4 5 6

0.166552 0.166689 0.166694 0.166377 0.167116 0.166572

diagramm zeichnen
> c<-table(floor(runif(100,1,7)))

> d<-table(floor(runif(500,1,7)))

> e<-table(floor(runif(1000,1,7)))

> f<-table(floor(runif(5000,1,7)))

> g<-table(floor(runif(10000,1,7)))

> h<-table(floor(runif(100000,1,7)))

> i<-table(floor(runif(1000000,1,7)))

> k<-c/sum(c)

> l<-d/sum(d)

> m<-e/sum(e)

> n<-f/sum(f)

> o<-g/sum(g)

> p<-h/sum(h)

> q<-i/sum(i)

> zu[1]<-k[6]

> zu[2]<-l[6]

> zu[3]<-m[6]

> zu[4]<-n[6]

> zu[5]<-o[6]

> zu[6]<-p[6]

> zu[7]<-q[6]

Diagramm zeichnen
diagramme
Diagramme

> plot(zu)

kritik1
Kritik
  • Zeigt anschaulich die Annäherung an die relative Häufigkeit 1/6
  • Im ersten Diagramm sieht man die Annäherung sehr gut, aber die Skalierung der x-Achse ist falsch
  • Im zweiten Diagramm stimmt die Skalierung der x-Achse, aber man erkennt nicht mehr viel
das d alembertsche m nzproblem
Das d´Alembertsche Münzproblem

Zwei nicht unterscheidbare Münzen werden gleichzeitig geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Kopf erscheint?

Sind die Ereignisse (K,K), (Z,Z), (K,Z) gleichberechtigt oder nicht?

slide22
Unterstützung durch R?

Werfen von zwei Münzen:

> m<-floor(runif(20,1,3))

> o<-floor(runif(20,1,3))

Zusammenfügen:

> rbind(m,o)

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14]

m 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2

o 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2

[,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]

m 2 2 2 2 1 2

o 2 2 2 2 2 2

slide23
Bilden der Summe:

> zu<-m+o

Tabelle:

> ta<-table(zu)

> ta

zu

2 3 4

6 8 6

Zuordnung der Merkmale:

> wk<-zu

> wk[zu==2]<-"KK"

> wk[zu==3]<-"ZK"

> wk[zu==4]<-"ZZ"

Tabelle mit Merkmalen:

> table(wk)

wk

KK ZK ZZ

6 8 6

Aufgespaltene Tabelle:

> t<-table(m,o)

> t

o

m 1 2

1 6 6

2 2 6

100 m nzw rfe
Zweifacher Würfelwurf:

> n<-floor(runif(100,1,3))

> p<-floor(runif(100,1,3))

Summe bilden:

> zus<-n+p

Tabelle:

> tab<-table(zus)

> tab

zus

2 3 4

26 50 24

Tabelle mit Merkmalen:

> wz<-zus

> wz[zus==2]<-"KK"

> wz[zus==3]<-"KZ"

> wz[zus==4]<-"ZZ"

> table(wz)

wz

KK KZ ZZ

26 50 24

Aufgespaltene Tabelle:

> ta<-table(n,p)

> ta

p

n 1 2

1 26 18

2 32 24

100 Münzwürfe
kritik2
Kritik
  • Unterstützung durch R sinnvoll
  • Simulation auch bei größerer Zahlenmenge möglich
  • Nur sehr schwer möglich, zwei nicht unterscheidbare Münzen zu werfen, wie hier eigentlich nötig
w rfel paradoxon
Würfel-Paradoxon

Wenn man zwei nicht unterscheidbare Würfel wirft, sind sowohl die 9 als auch die 10 auf zwei verschiedenen Wegen erhältlich.

Wenn man drei nicht unterscheidbare Würfel wirft, können sich die 9 und die 10 auf jeweils sechs verschiedenen Arten ergeben.

Wieso erhält man bei zwei Würfeln häufiger 9 als 10, bei drei Würfeln 10 öfter als 9?

unterst tzung durch r
Zweifacher Würfelwurf:

> w<-floor(runif(100,1,7))

> v<-floor(runif(100,1,7))

Bilden der Augensumme:

> zu<-w+v

Tabelle:

> ta<-table(zu)

> ta

zu

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 10 5 16 10 15 10 166 7 3

Aufgespaltene Tabelle:

> t<-table(w,v)

> t

v

w 1 2 3 4 5 6

1 2 3 2 5 1 4

2 7 1 7 2 0 0

3 2 1 1 3 3 5

4 3 4 4 4 6 1

5 2 1 1 42 3

6 3 2 13 4 3

Unterstützung durch R?
slide30
Dreifacher Würfelwurf:

> a<-floor(runif(100,1,7))

> b<-floor(runif(100,1,7))

> c<-floor(runif(100,1,7))

Bilden der Augensumme:

> zus<-a+b+c

Tabelle:

> tabl<-table(zus)

> tabl

zus

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

3 3 11 9 912 11 17 8 8 6 2 1

slide31

, , c = 3

b

a 1 2 3 4 5 6

1 0 0 1 2 00

2 0 0 0 00 1

3 2 0 00 0 0

4 0 00 1 0 0

5 20 0 1 1 1

6 0 1 0 0 1 1

, , c = 4

b

a 1 2 3 4 5 6

1 0 0 2 10 2

2 0 0 01 0 1

3 1 00 0 0 1

4 1 2 0 1 0 0

5 0 0 0 0 0 0

6 0 0 1 0 0 0

, , c = 5

b

a 1 2 3 4 5 6

1 1 0 00 0 0

2 1 00 0 1 0

3 01 0 0 0 0

4 1 1 1 1 1 0

5 1 2 0 0 1 0

6 1 1 1 1 1 0

, , c = 6

b

a 1 2 3 4 5 6

1 0 0 2 1 0 0

2 00 0 1 0 0

3 0 0 0 0 1 1

4 2 2 0 1 0 0

5 0 0 1 0 1 1

6 1 0 2 0 0 0

> tab<-table(a,b,c)

> tab

, , c = 1

b

a 1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 1 2 0

2 0 1 0 2 0 0

3 1 0 1 0 00

4 1 0 0 00 1

5 1 1 1 2 0 2

6 0 10 0 1 0

, , c = 2

b

a 1 2 3 4 5 6

1 0 1 1 1 0 1

2 0 0 0 0 01

3 0 0 1 11 0

4 0 0 00 0 1

5 1 11 0 0 2

6 00 0 2 0 1

graphische darstellung2
Graphische Darstellung

Mit zwei Würfeln: > plot(ta)

kritik3
Kritik
  • Kann zeigen, dass bei zweimaligem Würfeln die 9, bei dreimaligem Würfeln die 10 öfter vorkommt
  • Die graphische Darstellung verdeutlicht dies noch
  • Die aufgespaltenen Tabellen sind besonders bei dreimaligem Würfelwurf sehr unübersichtlich
augensummen bei zwei w rfeln
Augensummen bei zwei Würfeln

100 mal würfeln:

> d<-floor(runif(100,1,7))

> e<-floor(runif(100,1,7))

Augensumme:

> z<-d+e

Tabelle:

> t<-table(z)

> t

z

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 3 11 10 13 18 12 16 6 4 4

diagramm
Diagramm

> plot(t)

slide37
1000000 mal würfeln:

> f<-floor(runif(1000000,1,7))

> g<-floor(runif(1000000,1,7))

Augensumme:

> zu<-f+g

Tabelle:

> ta<-table(zu)

> ta

zu

2 3 4 5 6 7 8 28078 55718 83552 110740 139410 166052 138318

9 10 11 12

111122 83539 55718 27753

slide38
Angaben in Prozent:

> pr<-100*ta/sum(ta)

> pr

zu

2 3 4 5 6 7 2.8078 5.5718 8.3552 11.0740 13.9410 16.6052

8 9 10 11 12

13.8318 11.1122 8.3539 5.5718 2.7753

Gerundet:

> ro<-round(pr,2)

> ro

zu

2 3 4 5 6 7

2.81 5.57 8.36 11.07 13.94 16.61

8 9 10 11 12

13.83 11.11 8.35 5.57 2.78

slide39
> rb<-rbind(ta,ro)

> rb

2 3 4 5 6 7

ta 28078.00 55718.00 83552.00 110740.00 139410.00 166052.00

ro 2.81 5.57 8.36 11.07 13.94 16.61

8 9 10 11 12

ta 138318.00 111122.00 83539.00 55718.00 27753.00

ro 13.83 11.11 8.35 5.57 2.78

> t(rb)

ta ro

2 28078 2.81

3 55718 5.57

4 83552 8.36

5 110740 11.07

6 139410 13.94

7 166052 16.61

8 138318 13.83

9 111122 11.11

10 83539 8.35

11 55718 5.57

12 27753 2.78

diagramm1
Diagramm

> plot(ta)

kritik4
Kritik
  • Zeigt sehr anschaulich die Annäherung an die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten
  • Besonders das Diagramm verdeutlicht dies
w rfelspiel
Würfelspiel

Man hat einen Laplace-Würfel, dessen Flächen die Ziffern 1,1,1,1,2,2 tragen.

Mit diesem Würfel wird dreimal gewürfelt. Erscheint dabei die Eins öfter als die Zwei, dann gewinnt A, sonst gewinnt B.

Wenn A gewinnt, bekommt er eine Geldeinheit. Gewinnt B, so erhält er zwei Geldeinheiten.

Kann B mit dieser Vereinbarung zufrieden sein?

unterst tzung durch r1
Unterstützung durch R?

Ziffern der Seiten des Würfels:

w<-c(1,1,1,1,2,2)

Zuordnung:

w<-c(1,2,3,4,5,6)

> ww<-floor(runif(100,1,7))

> wx<-floor(runif(100,1,7))

> wy<-floor(runif(100,1,7))

Zusammenfügen:

> r<-rbind(ww,wx,wy)

> r

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14]

ww 3 3 2 4 6 1 6 6 4 1 6 2 4 6

wx 5 2 1 4 5 2 2 6 1 4 4 4 3 2

wy 1 2 2 6 1 3 4 1 2 2 6 6 2 1

slide44
Rücksubstitution:

> tt<-r

> tt[r<5]<-1

> tt[r>4]<-2

> tt

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14]

ww 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2

wx 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1

wy 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1

Zählen der Würfe mit mindestens zweimal Zahl:

> Ag<-apply(tt,2,sum)

> T<-sum(Ag>4)

> T

[1] 17

kritik5
Kritik
  • Unterstützt die Aufgabe nicht sehr
  • Man kann die Lösung nur bestätigen
fazit
Fazit
  • Für Schule nicht sehr sinnvoll, da die Befehle sehr umständlich sind und es keine expliziten Befehle für Simulationen gibt
  • Nur wenige Aufgaben, die für die Schule relevant sind, können durch R unterstützt werden
  • Für Stabilisierung der relativen Häufigkeit ist R nützlich, da man eine hohe Anzahl von Versuchen simulieren kann
  • Für Schüler selbst sind die Befehle zu kompliziert, Lehrer kann R zur Veranschaulichung im Unterricht verwenden