Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling - PowerPoint PPT Presentation

whitney
forelesningsnotater sif8039 grafisk databehandling n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling PowerPoint Presentation
Download Presentation
Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling

play fullscreen
1 / 53
Download Presentation
142 Views
Download Presentation

Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Forelesningsnotater SIF8039/Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: ”Geometric Objects and Transformations” i: Edward Angel: ”Interactive Computer Graphics” Vårsemesteret 2002 Torbjørn Hallgren Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet

  2. Geometriske transformasjoner • Flytting og endring av objekter modellert i egne koordinatsystemer • Sette sammen objekter av delobjekter • Endring av koordinatsystem Også kalt: Modelleringstransformasjoner Koordinattransformasjoner

  3. Plan • Basistransformasjonene • Problem: • Konstatere problem • Løse problemet • Basistransformasjonene på nytt • Rotasjoner rundt vilkårlig akse Stoff for mer enn en dobbelttime

  4. Geometriske transformasjoner • Skalering • Rotasjon Basistransformasjoner • Translasjon • Skjærtransformasjoner • Refleksjon

  5. Skalering 2 x 3 x Skalering relativt origo. (Referansepunkt: origo)


  6. Skalering På matriseform:

  7. Rotasjon y Rotasjonsvinkel: x Rotasjon i planet om origo. (Referansepunkt: origo)

  8. Rotasjon Ser på rotasjon av ett punkt: y (x’,y’) (x,y) x

  9. Rotasjon På matriseform: Rotasjon i x-y-planet kan sees på som rotasjon om z-aksen med konstant z. I 3D blir da matriseformen:

  10. Rotasjon På samme måte: rotasjon om x-aksen: Rotasjon om y-aksen:

  11. Rotasjon Syklisk ombytting som grunnlag for rotasjons- matrisene om x- og y-aksene: z -> x z -> x -> y y -> z y -> z -> x x -> y x -> y -> z

  12. Rotasjon Enhver rotasjon kan sees på som sammensatt av en rotasjon om hver av koordinataksene.

  13. Translasjon y (x’,y’) (x,y) x

  14. Translasjon På vektorform: PROBLEM: lar seg ikke skrive på matriseform ved hjelp av en 3x3-matrise!!

  15. Affine rom Ved hjelp av homogene koordinater: • Hjelper oss å skille mellom de geometriske entitetene: • punkt og • vektorer • Ordner opp med translasjons-problemet

  16. Punkt og vektorer -Punkt er steder i rommet -Vektorer har lengde og retning, men er IKKE stedfestet

  17. Koordinatsystemer z Et koordinatsystem er et vektorrom spent ut av en basis bestående av tre ortonormale enhetsvektorer. For å kunne angi koordinater, har vi i tillegg et origo y x

  18. Vektorrom • En mengde av vektorer med gyldige operasjoner: • addisjon • skalar multiplikasjon • og med følgende egenskaper: • u + v = v + u (kommutativ) • ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (assosiativ) • u + 0 = u (nullvektor) • a + ( -a ) = 0 • ß ( u + v ) = ß u + ß v (distributiv) • ( ß + µ ) u = ß u + µ u (distributiv) • ß ( µ u ) = ( ß µ ) u (assosiativ) • 1 u = u u, v og w er vektorer. ß og µ er skalarer

  19. Vektorrom og affine rom Vektorrom: • Vektorrom av dimensjon n har en basis bestående av n lineært uavhengige vektorer: v1, v2, v3, … , vn Affine rom: • For affine rom inngår i tillegg et referanse-punkt slik at basis blir: v1, v2, v3, … , vn, P0

  20. Affine rom • Tilleggsegenskap for affine rom: v = P - Q (punkt-punkt subtraksjon gir en vektor) Q = v + P (vektor-punkt sum gir et punkt) • Begrepet koordinatsystem erstattes med begrepet frame

  21. Affine rom • Vektorer i det affine rommet: med ”representasjonen”:

  22. Affine rom • Punkt i det affine rommet: med ”representasjonen”:

  23. Punkt: Vektorer: Homogene koordinater

  24. Skalering På matriseform med homogene koordinater:

  25. Rotasjon

  26. Rotasjon Om z-aksen på matriseform i homogene koordinater:

  27. Rotasjon Rotasjon om x-aksen i homogene koordinater: Rotasjon om y-aksen i homogene koordinater:

  28. Translasjon På matriseform i homogene koordinater: Vi har løst problemet!!

  29. Egenskaper ved skalering Invers transformasjon: To skaleringer etter hverandre:

  30. Egenskaper ved rotasjon Invers transformasjon: To rotasjoner om samme akse etter hverandre: Ortogonalitet:

  31. Egenskaper ved translasjon Invers transformasjon: To translasjoner etter hverandre:

  32. Rotasjon om punkt utenfor origo y Rotasjonsakse parallell med z-aksen (x,y,z) x 1. Translere slik at rotasjonsaksen faller langs z-aksen 2. Rotere 3. Translere tilbake

  33. Konkatenering Sammenslåing av transformasjoner Eks.: punktet p gjennomgår transformasjonene A, B og C i nevnte rekkefølge: p’=Ap p’’=Bp’=BAp p’’’=Cp’’=CBAp Resultattransformasjon: M=CBA TRANSFORMASJONENE KONKATENERES I MOTSATT REKKEFØLGE I FORHOLD TIL REKKEFØLGEN DE UTFØRES I

  34. Rotasjon om vilkårlig akse z P Rotere vinkelen ß om aksen gjennom punktene P og Q Q y x

  35. Rotasjon om vilkårlig akse Plan: 1. Translere slik at Q faller i origo 2. ”Svinge” rotasjonsaksen inn i x-z-planet 3. ”Svinge” rotasjonsaksen slik at den faller sammen med z-aksen 4. Rotere vinkelen ß om z-aksen 5. Invers av 3 6. Invers av 2 7. Invers av 1

  36. Rotasjon om vilkårlig akse z Retningsvinkler: P , og Q Q’ y x Steg 1 - translasjon av rotasjonsaksen

  37. Rotasjon om vilkårlig akse Nyttig for ”fremtidig bruk” - enhetsvektor i rotasjons- akseretningen: Vektor i retningen: Enhetsvektor:

  38. Rotasjon om vilkårlig akse retningskosinuser

  39. Rotasjon om vilkårlig akse z d v Q’ y x Steg 2 - ”svinge” rotasjonsaksen inn i x-z-planet

  40. Rotasjon om vilkårlig akse z v x Steg 3 - svinge rotasjonsaksen slik at den faller sammen med z-aksen

  41. Rotasjon om vilkårlig akse Transformasjonene for stegen 1 og 2 blir etter dette:

  42. Rotasjon om vilkårlig akse Transformasjonene for stegen 3 og 4 blir etter dette:

  43. Rotasjon om vilkårlig akse Den fullstendige transformasjonen blir:

  44. Basistransformasjonene Enhver kombinasjon av basistransformasjonene resulterer i en transformasjonsmatrise av formen: Affine transformasjoner Affine transformasjoner bevarer parallellitet (alle tre basistransformasjonene) Stive transformasjoner bevarer i tillegg størrelse og vinkler (rotasjon og translasjon)

  45. Skifte av koordinatsystem z n u v y Kjenner koordinatene i xyz-systemet. Søker koordinatene i uvn-systemet: Puvn=Muvn<-xyzPxyz x

  46. Skifte av koordinatsystem • Ser på uvn-systemet som et objekt skapt i xyz-systemet med akser sammenfallende med xyz-systemets akser • Transformasjon til nåværende posisjon med matrisen M • Referansen til et punkt i ”uvn-objektet i sin endelige posisjon” referert til xyz-system: [ x’ y’ z’ 1 ]T som tilsvarer Pxyz • Referansen til det samme punktet i sin opprinnelige posisjon i xyz-systemet: [ x y z 1 ]T = [ u v n 1 ]T som tilsvarer Puvn

  47. Skifte av koordinatsystem • Vi får: Pxyz = M Puvn Puvn= M-1 Pxyz Muvn<-xyz = M-1 • Konklusjonen er: • Matrisen for transformasjon av koordinater i xyz-systemet til koordinater i uvn-systemet kommer fram av den transformasjonen som skal til for at uvn-systemet flyttes slik at dets akser faller sammen med xyz-systemets

  48. Ortogonale matriser • Definisjon av ortogonal matrise: • Teorem: • En reell kvadratisk matrise er ortogonal hvis og bare hvis kolonnevektorene og radvektorene hver for seg danner ortonormale systemer

  49. Ortogonale matriser • Rotasjonsmatrisen:

  50. Ortogonale matriser Dette koordinatsystemet kan være ett som er forankret på en intelligent måte i vårt objekt som skal roteres