Equation d’état d’un modèle de transport-diffusion. Applications

1. Equation d’état d’un modèle de transport-diffusion. Applications Gilles Roussel, Eric Ternisien LASL (EA2600) / ULCO Calais

2. Plan I Contexte II Sans Modèle / Avec Modèle ? III Modélisation IV Discrétisation, codage d’état V Propriétés VI Applications VII Conclusion

3. I. Contexte • Problématique Inverse pour la surveillance de la pollution Mesures aux capteurs de concentration  déterminer : • Le flux à la (aux) source(s) (déconvolution, séparation) • La position de la source (localisation) • les paramètres du modèle (identification) • Domaines applicatifs • Surveillance de la pollution atmosphérique Développer une aide au diagnostic des pics d’émission canalisée d'origine industrielle en identifiant la cause (flux, position) • Surveillance de la pollution fluviale ou phréatique Localiser les sources de pollutionliée à des rejets ou fuites • Localisation des essais nucléaires (Traité du CTBTO) Détection des explosions  1Ktonne eqTNT à partir des données de concentration en xénon Localiser les sources de pollutionliée à des rejets ou fuites

4. II. Sans modèle / avec modèle ? • Méthodes sans modèle “source - capteurs” : • Interpolation spatiale à partir des concentrations observées • nb capteurs ? • sensibilité aux paramètres ? • portabilité du comportement à d’autres sites ?. • Prédiction temporelles à partir des séries • déconvolution ? • localisation ? • sensibilité au paramètres ? Conclusion : combinaison espace - temps difficile • Méthodes avec modèle “source - capteurs” : • Modèle de “comportement” • choix ? • prise en compte des paramètres physiques ? • portabilité ? • localisation? • Modèle de“connaissances”

5. II. Avec modèle /sans modèle ? • Modèle de “connaissances” : • phénomènes physiques caractéristiques • précision évolutive • prend en compte les variables pertinentes • modélisation espace-temps explicite • Souhaits pour le modèle directe • simplicité, fidélité : choix ? • faire apparaitre explicitement la (les) source(s) et les variables observables • garder la dimension spatiale et temporelle (mesures spatialement réparties, cas multisources) • possibilité de se placer dans un cadre discret (mesures échantillonnées)

6. III. Modélisation • Pourquoi le modèle de transport-diffusion ? • Modèle (historique) de dispersion de la pollution dans l’air • bonne approximation de la propagation horizontale • hypothèses sur la dispersion turbulentes verticales • Modèle directe dynamique • solution en statique classique : “équation panache” • Le modèle de transport-diffusion (2D) • il satisfait en tout point la conservation de la masse : diffusion advection  (x,y,t) : concentration au point (x,y) à l ’instant t : vent : diffusion

7. III. Modélisation • Hypothèses • Domaine atmosphérique non borné • Réduction à un domaine de calcul (de surveillance)  borné de contour artificiel  • conditions aux limites Atmosphère Ex. conditions de Neuman : continuité aux limites artificielles   Source ’ Vent Ex. conditions de Dirichlet Vue de dessus Vent  Terre

8. III. Modélisation Sur  • Conditions aux limites (locales) • Limites artificielles non réfléchissantes • continuité (Pearson) • x,  y célérité équivalente • Limites physiques réfléchissantes • exemples =0 sur ’ • à une source : au point (xs,ys) • Conditions initiales : pollution de fond • Modèle elliptique linéaire

9. IV. Discrétisation • On discrétise les signaux S(xs,ys,t) et  (x,y,t) avec le même pas d'échantillonnage temporel T • On discrétise l'espace avec les pas d'échantillonnage directionnels h et k • Les méthodes de discrétisation: • différences finies, • élements finis

10. IV. Discrétisation • Dérivation par les différences finies en un point i: • dérivée première temporelle : • dérivée première spatiale • centrée espace, schéma de Lax : effet de lissage • décentré en espace (“upwind”): • calcul effectué que pour les points "au vent” • tenir compte du sens du vent • Cette méthode ajoute un terme de viscosité négligeable si le nombre de Reynolds de maille Rh:    O X i-1n in i+1n

11. IV. Discrétisation • Dérivée spatiale seconde • explicite : in+1=f1(in, vn), vpotentiel au voisinage de i • Markovien, • implicite : in+1 =f2(in , in+1, vn+1) • schéma stabilisant, • résolution numérique supplémentaire à chaque n • non Markovien • Crank-Nicolson : in+1 =f1(.) + (1-  )f2(.) • idem implicite

12. IV. Discrétisation • Equation d'advection - diffusion (cas 2D, K=cste) • conditions limites • aux frontières artificielles (condition de continuité) • aux sources • obstacle (sans turbulence) • Paramètres (pour Ux, Uy positifs) • Précision • e=O(T)+O(h2)+O(k2)+ O(h)+O(k)

13. i=l J=L Obstacle ’ Contour artificiel non réfléchissant  i,j+1 i,j * i-1,j i+1,j * * * i,j-1 source IV. Discrétisation capteurs c1 c2 c3 • Schéma numérique • en  • en  i=1

14. IV. Discrétisation • Modèle d’état vecteur d’état Equation d’état • Les bruits • Wn : bruit d’état • modélise l’incertitude sur l’état (turbulence non prise en compte par le modèle, topographie) • moyenne parfois non nulle, trace(E(Wn.WnT)) faible • indépendant de Sn et Vn • Vn : bruit de mesure • moyenne souvent nulle • trace(E(Vn.VnT)) faible A caractérise l’évolution libre du système de dispersion B modélise l’implantation des sources dim(B)= lL*ns C modélise l ’implantation des capteurs dim(C)= nc*lL

15. IV. Discrétisation • Stabilité du schéma numérique • condition nécessaire de convergence de la solution i,jn. • peut s’étudier à partir des valeurs propres de la matrice A • rayon spectral (A)=max|k| 1kLl+1 • on peut montrer (Gershgörin-Hadamard) • comme (A matrice de Markov) • alors • finalement, on peut montrer d'où la condition sur la période d’échantillonnage T pour un pas spatial (h,k) donné

16. Simulations sans advection avec advection

17. V. Propriétés • Observabilité • Observabilité stricte, c’est la possibilité de résoudre : • O doit être de rang = l.L = dimension de  • un nombre de mesures égale à : • cas monocapteur : dim(Y)  l.L • cas nc capteurs : dim(Y)  (l.L/nc) • si (rang(O)=r )< l.L seulement (l.L-r) noeuds ne peuvent être estimés. • Observabilité théorique: • Le rang est meilleur dans le cas multicapteurs • numériquement : • le rang renseigne sur la qualité de restauration de 

18. Evolution de rang(O) pour 1 capteur, seuil de rang :1e-25 Evolution de rang(O) pour 2 capteurs, dont1 fixe en (8,8), seuil de rang :1e-25 • Conclusion : • plus le capteur est éloigné de la source dans la direction du vent, meilleur est l'observabilité • plus il y a de capteurs, meilleur est l'observabilité

19. V. Propriétés • Commandabilité (Excitabilité des nœuds) • Existe t-il une commande vérifiant : La réponse est oui si rang(C) = l.L, sinon il y a (rang(C)-l.L) nœuds non excités. • On peut montrer: • De façon logique, le rang(C) augmente avec le nombre de source. • Un état X(kf) peut être atteint en n coups (n<l.L), si • X(kf) appartient au sous espace engendré par les colonnes de C • La représentation des colonnes de C sur le maillage, constitue une base de motifs

20. V. Propriétés • Commandabilité (suite) • En pratique, le rang(C) dépend du seuil de sélection des valeurs propres considérées non nulles. • Pour un seuil d'excitabilité donné, le rang indique le nombre de nœuds excitables. Evolution de rang(C) en fonction de la position de S, à seuil fixé • Conclusion : Pour une direction de vent donnée, plus la source est au vent, plus il y a d'état excités.

21. V. Propriétés • Identifiabilité • C.N. : Commandabilité et Observabilité on augmente la probabilité d'identifier le modèle si : • le capteur est placé sous le vent, le plus loin de la source • le nombre de capteurs augmente Ouf !!!

22. Bruit capteur v1(n) H1 (z) Y1(n)  mesures Source S(n) Position  Y2(n) H2 (z)  v2(n) VI Applications • Principe Majeur : • Considérer la relation source-capteur comme un filtre de convolution Hi(z)=C(zI-A)-1B = f [position(S), position(capteursi), K, U]  i

23. VI Applications 1 = paramètres physiques 2 = paramètre de localisation • Différentes formes du modèle : • forme d'état A(1), B ( 2), C • réponses impulsionnelles • matrice de Hankel • matrice de filtrage • Différents problèmes inverses : • Estimation des paramètres physiques 1 • Localisation de source(s) : estimation de 2 (i.e. B) • Déconvolution / séparation de sources : estimation de Sn • Prédiction temporelle • Informations : • Mesures capteurs, estimation de bruit, entrées • Mesures capteurs, estimation de bruit, info a priori M = ordre RIF

24. VI Applications • Exemple : • Estimation des réponses impulsionnelles • par méthode spectrale paramétrique • (séparation des sous-espaces source et bruit)

25. VII Conclusion • Modélisation d'un phénomène de transport-diffusion par une représentation d'état. • réutilisabilité de la méthodologie ? • Point de départ pour bon nombre de problèmes d'estimation • Aspects applicatifs : surveillance de points sources