数据结构 ( DATA STRUCTURE)

1. 数据结构 (DATA STRUCTURE) 计算机科学与技术学院

2. 第七章 图 • 图的基本概念 • 图的存储表示 • 图的遍历与连通性 • 最小生成树 • 最短路径 • 活动网络

3. 7.1图的基本概念 • 图的定义图是由顶点集合(vertex)及顶点间的关系集合组成的一种数据结构： Graph＝( V, E ) 其中 V = { x | x 某个数据对象} 是顶点的有穷非空集合； E = {(x, y) | x, y V } 或E = {<x, y> | x, y V && Path (x, y)} 是顶点之间关系的有穷集合，也叫做边(edge)集合。Path (x, y)表示从 x 到 y 的一条通路。

4. 有向图与无向图 • 完全图

5. 邻接顶点如果 (u, v) 是 E(G) 中的一条边，则称 u 与 v 互为邻接顶点。 • 子图设有两个图G＝(V, E)和G’＝(V’, E’), 若 V ’ V 且 E’E, 则称 图G’ 是图G 的子图。

6. 顶点的度一个顶点v 的度是与它相关联的边的条数，记作TD(v)。 • 顶点 v 的入度是以 v 为终点(弧头)的有向边的条数, 记作 ID(v); 顶点 v的出度是以 v 为始点(弧尾)的有向边的条数, 记作 OD(v)。 • 路径 在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点vi 出发, 沿一些边经过一些顶点vp1, vp2, …, vpm，到达顶点vj。则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj )为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。它经过的边(vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj)应是属于E 的边。

7. 路径长度 • 非带权图的路径长度是指此路径上边的条数。 • 带权图的路径长度是指路径上各边的权之和。 • 简单路径若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重复, 则称这样的路径为简单路径。 • 回路若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合, 则称这样的路径为回路或环。 • 简单回路除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路叫简单回路

8. 例 2 4 5 1 3 6 G1 例 1 5 7 3 2 4 6 G2 路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5 简单路径：1，2，3，5 回路：1，2，3，5，6，3，1 简单回路：3，5，6，3 路径：1，2，5，7，6，5，2，3 路径长度：7 简单路径：1，2，5，7，6 回路：1，2，5，7，6，5，2，1 简单回路：1，2，3，1

9. 7.2图的存储结构 7.2.1邻接矩阵(Adjacency Matrix)表示法 1）存储特点 • 在图的邻接矩阵表示中，有一个记录各个顶点信息的顶点表； • 还有一个表示各个顶点之间关系的邻接矩阵。 2）邻接矩阵 • 设图 A = (V, E)是一个有 n 个顶点的图，则图的邻接矩阵是一个二维数组 A[n][n]，定义：

11. 网络的邻接矩阵

12. 3）数据类型描述 #define MaxVNum 100 /*最大顶点数设为100*/ typedef XXX VertexType; /*顶点类型*/ 邻接矩阵类型： typedef int EdgeType; /*边的权值设为整型*/ typedef struct ArcCell{ VertexType adj; InfoType *Info; // 存弧相关信息 }ArcCell,AdjMatrix[MaxVNum][MaxVNum] 图类型： typedef struct { VertexType vexs[MaxVNum]; /*顶点表*/ AdjMatrix arcs; /*邻接矩阵，即边表*/ int vexnum,arcnum; /*图的顶点数和边数*/ }Mgragh; /*Maragh是以邻接矩阵存储的图*/

13. 4）图的创建 • 思路：

14. 7.2.2邻接表 (Adjacency List) 1) 存储特点 • 对于图G中的每个顶点vi，把所有邻接于vi的顶点vj链成一个单链表，这个单链表称为顶点vi的邻接表； • 将所有点的邻接表表头放到数组中，就构成了图的邻接表

15. 例 a b c d 3 1 1 4 a b vexdata adjvex firstarc next 1 ^ c d 2 ^ G1 3 ^ 4 ^ • 特点 • 无向图中顶点Vi的度为第i个单链表中的结点数 • 有向图中 • 顶点Vi的出度为第i个单链表中的结点个数 • 顶点Vi的入度为整个单链表中邻接点域值是i的结点个数 • 逆邻接表：有向图中对每个结点建立以Vi为头的弧的单链表

17. 2）数据类型描述 ＃define MaxVerNum 100 /*最大顶点数为100*/ 邻接表类型 ： typedef struct ArcNode { int adjvex; /*邻接点域*/ InfoType *Info; /*表示边上信息的域info*/ struct ArcNode * next; /*指向下一个邻接点的指针域*/ } ArcNode ; 表头结点类型 ： typedef struct Vnode { VertexType vertex; /*顶点域*/ ArcNode * firstedge; /*边表头指针*/ }Vnode,AdjList [MaxVertexNum]; 图的类型 ： typedef struct { AdjList vertices; /*邻接表*/ int vexnum,arcnum; /*顶点数和边数*/ }ALGraph; /*ALGraph是以邻接表方式存储的图类型*/

18. 7.2.3十字链表 (Orthogonal List) 十字链表是有向图的另一种链式存储结构，它实际上是邻接表与逆邻接表的结合 1) 存储特点 • 图中每一条弧有一个结点，把弧头相同的弧连在同一链表上,弧尾相同的弧也连在同一链表上。结点结构为： • 顶点结点为链表头结点，其结构为：

19. mark ivex ilink jvex jlink data firstedge 7.2.4邻接多重表(Adjacency Multilist) 邻接多重表是无向图的另一种链式存储结构 1) 存储特点 • 图中每一条边用一个边结点表示，其结构为： • 每个顶点用一个结点表示，其结构为：

20. 3 5 3 4 1 4 3 2 5 2 1 2 1 a 例 b 2 a b 3 c c 4 d d e 5 e 在邻接多重表中, 所有依附于同一个顶点的边都链接在同一个单链表中。 • 邻接多重表的结构 ^ ^ ^ ^ ^

21. 7.3图的遍历与连通性 • 从图中某一顶点出发，沿着一些边访遍图中所有的顶点，且使每个顶点仅被访问一次，叫做图的遍历( Graph Traversal )。 • 为了避免重复访问，可设置一个标志顶点是否被访问过的辅助数组 visited [ ]，它的初始状态为 0，在图的遍历过程中，一旦某一个顶点 i被访问，就立即让 visited [i]为 1，防止它被多次访问。

22. 7.3.1深度优先搜索DFS 1）基本思想： • 任选图中一个顶点 v , 访问此顶点, 并作访问标记。 • 从 v 出发，访问它的任一未被访问过的邻接顶点 w，作访问标记，并以 w 为新的出发点，继续进行深度优先搜索。 • 当某个顶点的所有邻接顶点都被访问过后，则退回到前一次刚访问过的顶点k，从k的另一个没有被访问的邻接顶点出发进行深度优先搜索。 • 重复上述过程, 直到图中所有顶点都被访问过为止

23. V1 V1 V2 V3 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V4 V5 V6 V7 V8 V8 • 深度优先搜索的示例 例 深度遍历：V1 V2 V4  V8 V5 V6 V3 V7 例 深度遍历：V1 V2 V4  V8 V3 V6 V7 V5

24. 深度优先搜索的示例 例 遍历结果：A、B、D、C

25. 2）算法实现 • 难点： • 如何标记已访问结点v ? • 如何查找 v 的所有邻接点？ • 解决办法： • 设置一个布尔向量数组visited[n]，初值为0。若序号为 i 的结点已被访问过，则visited[i]=1。 • 根据图的存储方式不同，采取相应方法查找： • 邻接矩阵：vi的邻接点是邻接矩阵中第i 行上非0元素对应的列值，若A[i][j]<>0，则vj为vi邻接点。 • 邻接表：是以G.vertices[i]为表头结点的单链表上的所有结点。

26. V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 vexdata firstarc adjvex next 1 V1 ^ V2 2 ^ 3 8 7 2 6 2 7 4 8 3 V3 ^ 4 V4 ^ 5 V5 ^ 6 V6 ^ 7 V7 ^ 8 V8 ^ 例 深度遍历：V1 V3  V7  V6  V2  V4  V8  V5

27. 3）算法分析 • 图中有 n 个顶点，e 条边。 • 由于总共有 2e 个边结点，所以扫描边的时间为O(e)。而且对所有顶点递归访问1次，所以遍历图的时间复杂性为O(n+e)。 • 如果用邻接矩阵表示图，则查找每一个顶点的所有的边，所需时间为O(n)，则遍历图中所有的顶点所需的时间为O(n2)。

28. 7.3.2广度优先搜索 BFS 1）基本思想： • 任选图中一个顶点 v ，访问此顶点，并作访问标记。 • 从 v 出发，依次访问 v 的各个未曾被访问过的邻接顶点 w1, w2, …, wt，并作访问标记。 • 然后再顺序访问 w1, w2, …, wt 的所有还未被访问过的邻接顶点，并作访问标记。 • … 如此做下去,直到图中所有顶点都被访问到为止

29. V1 V1 V2 V3 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V4 V5 V6 V7 V8 V8 • 广度优先搜索的示例 例 广度遍历：V1 V2 V3  V4 V5 V6 V7 V8 例 广度遍历：V1 V2 V3  V4 V6 V7 V8 V5

30. 广度优先搜索的示例 例 遍历结果：A、B、C、D

31. 开始 标志数组初始化 Vi=1 N Vi访问过 Y BFS Vi=Vi+1 N Vi==Vexnums Y 结束 2）算法实现 • 为了实现逐层访问，算法中使用了一个队列，以记忆正在访问的这一层和上一层的顶点，以便于向下一层访问。

32. 开始 访问Vi,置标志 初始化队列 Vi入队 Y 队列空吗 a N 访问W,置标志 队头V出队 结束 求V邻接点W W入队 N W存在吗 V下一邻接点W Y Y W访问过 N a BFS

33. 3）算法分析 • 如果使用邻接表表示图，则循环的总时间代价为 d1 + d2 + … + dn = O(e)，其中的 di 是顶点 i 的度。 • 如果使用邻接矩阵，则对于每一个被访问过的顶点，循环要检测矩阵中的 n 个元素，总的时间代价为O(n2)。

34. 7.4图的连通性与生成树 7.4.1图的连通性问题 • 连通图与连通分量在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则称顶点v1与v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的, 则称此图是连通图。非连通图的极大连通子图叫做连通分量。 • 强连通图与强连通分量在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj, 都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径, 则称此图是强连通图。非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量。

35. 例 2 4 5 1 3 6 例 例 2 4 5 5 1 3 6 3 6 连通图 强连通图 非连通图 连通分量

36. 7.4.2最小生成树 1）图的生成树 • 连通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树（所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路,有n-1条边），则该子图称为G的生成树。 • 生成树是连通图的极小连通子图。所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则将出现一个回路；若去掉一条边，将会使之变成非连通图。 • 使用不同的遍历图的方法，可以得到不同的生成树

37. G K I H • 说明 • 一个图可以有许多棵不同的生成树 • 所有生成树具有以下共同特点： • 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同 • 生成树是图的极小连通子图 • 一个有n个顶点的连通图的生成树有n-1条边 • 生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的 • 在生成树中再加一条边必然形成回路 • 含n个顶点n-1条边的图不一定是生成树

38. V1 V1 V2 V3 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V4 V5 V6 V7 V8 V1 V8 V1 V2 V3 V1 V2 V3 V2 V3 V4 V6 V4 V5 V6 V7 V4 V5 V6 V7 V8 V7 V8 V8 V5 深度优先生成树 广度优先生成树 例 深度遍历：V1 V2 V4  V8 V5 V3 V6 V7 广度遍历：V1 V2 V3  V4 V5 V6 V7 V8

39. A B C D E F G H I K D A J L M L C F E 深度优先生成森林 M B J G K I H 例

40. 7 1 2 7 5 9 13 24 6 5 10 17 12 3 4 18 2) 构造最小生成树 • 问题提出—— 要在n个城市间建立通信联络网， • 顶点——城市 • 权——城市间建立通信线路所需花费代价 • 生成树各边的权值总和称为生成树的权。权最小的生成树称为最小生成树。 • 问题分析 • n个城市间, 最多可设置n(n-1)/2条线路 • n个城市间建立通信网, 只需n-1条线路 • 问题转化为：如何在可能的线路中选择n-1条，能把所有城市（顶点）均连起来，且总耗费各边权值之和）最小

41. U V—U u v 最小生成树的重要性质： 设 G =（V，E）是一个连通网络，U是顶点集V的一个真子集。若（u，v）是G中所有的一个顶点在U,另一个顶点不在 U 的边中，具有最小权值的一条边，则一定存在 G 的一棵最小生成树包括此边。

42. ① 普里姆(Prim)算法 • 普里姆算法的基本思想： 假设图G = { V, E }，所求最小生成树T=(U,TE), 其中U=V, TE  E • 从连通网络 G = { V, E }中的某一顶点 u0出发，选择与它关联的具有最小权值的边(u0, v)，将其顶点加入到生成树的顶点集合U中。 • 以后每一步从一个顶点在U中，而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(u, v),把它的顶点加入到集合U中。 • 如此继续下去，直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止。

43. 算法实现: (略) • 算法分析： 上述算法的初始化时间是O(1)，k循环中有两个循环语句，其时间大致为： 令O(1)为某一正常数C，展开上述求和公式可知其数量级仍是 n 的平方。所以，整个算法的时间复杂性是O(n2)

44. ② 克鲁斯卡尔 (Kruskal)算法 • 克鲁斯卡尔算法的基本思想： • 设有一个有 n 个顶点的连通网络 G = { V, E }，最初先构造一个只有 n 个顶点，没有边的非连通图 T = { V,  }, 图中每个顶点自成一个连通分量。 • 在 E 中选取一条具有最小权值的边(u,v)，若该边的两个顶点落在两个不同的连通分量上，则将此边加入到 T 中；否则将此边舍去，重新选择一条权值最小的边。 • 如此上步，直到 T 中所有顶点在同一个连通分量上为止。

45. 1 2 4 3 1 5 6 1 1 2 4 5 5 5 5 6 3 3 2 2 3 4 4 6 6 5 6 应用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程 例

46. 7.5有向无环图及其应用 7.5.1活动网络(Activity Network) 用顶点表示活动的网络 (AOV网络) • 计划、施工过程、生产流程、程序流程等都是“工程”。除了很小的工程外，一般都把工程分为若干个叫做“活动”的子工程。 • 例如，计算机专业学生的学习就是一个工程，每一门课程的学习就是整个工程的一些活动。其中有些课程要求先修课程，有些则不要求。

47. 课程代号 课程名称 先修课程 C1高等数学 C2程序设计基础 C3离散数学 C1, C2 C4数据结构 C3, C2 C5高级语言程序设计 C2 C6编译方法 C5, C4 C7操作系统 C4, C9 C8普通物理 C1 C9计算机原理C8

48. 学生课程学习工程图

49. 可以用有向图表示一个工程。在这种有向图中，用顶点表示活动，用有向边<Vi, Vj>表示活动间的优先关系，Vi 必须先于活动Vj进行。这种有向图叫做顶点表示活动的AOV网络(Activity On Vertices)。 • 在AOV网络中，如果活动Vi 必须在活动Vj 之前进行，则存在有向边<Vi, Vj>， AOV网络中不能出现有向回路，即有向环。在AOV网络中如果出现了有向环，则意味着某项活动应以自己作为先决条件。因此，对给定的AOV网络，必须先判断它是否存在有向环。

50. 1） 拓扑排序 • 检测有向环的一种方法是对AOV网络构造它的拓扑有序序列。即将各个顶点 (代表各个活动)排列成一个线性有序的序列，使得AOV网络中所有应存在的前驱和后继关系都能得到满足。 • 拓扑排序：从某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称为拓扑排序。