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sen . tg. 90°. 120°. 135°. 150°. 0°/360°. 180°. 0. cos. 210°. 330°. 225°. 315°. 300°. 240°. 270°. É só o Filé!. TRIGONOMETRIA. 60°. 45°. 30°. Fred Tavares. sen . tg. 90°. 120°. 135°. 150°. 0°/360°. 180°. 0. cos. 210°. 330°. 225°. 315°. 300°. 240°.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

sen

tg

90°

120°

135°

150°

0°/360°

180°

0

cos

210°

330°

225°

315°

300°

240°

270°

É só o Filé!

TRIGONOMETRIA

60°

45°

30°

Fred Tavares

slide2

sen

tg

90°

120°

135°

150°

0°/360°

180°

0

cos

210°

330°

225°

315°

300°

240°

270°

É só o Filé!

TRIGONOMETRIA

60°

45°

30°

Fred Tavares

demonstra o

sen 1

sen θ

0

1 cos

-1

cos θ

-1

Demonstração ...

·

θ

continua o
Continuação...

sen 1

1

sen θ

0

1 cos

-1

cos θ

-1

continua o1

1

sen θ

cos θ

Continuação...

Utilizando o teorema de

Pitágorash2 = c2 + c2, temos :

C M P Q D

rela es trigonom tricas no tri ngulo ret ngulo

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Cateto Adjacente

Cateto Oposto

Hipotenusa

continua o2

Ente Trigonométrico

Relação no Triângulo Retângulo

Seno de θ

Cosseno de θ

Tangente de θ

Cossecante de θ

Secante de θ

Cotangente de θ

Continuação ...
na circunfer ncia trigonom trica

tg θ

sen θ

cos θ

Na Circunferência Trigonométrica

sen

tg

·

0

cos

continua o3

cotg

cotg θ

cossec θ

secante θ

Continuação ...

·

0

arcos not veis

sen

tg

90°

120°

135°

150°

0°/360°

180°

0

cos

210°

330°

225°

315°

300°

240°

270°

Arcos Notáveis

60°

45°

30°

slide14

Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado?

Observem a figura ao lado

1) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que o sen a vale:

a) b/c

b) a/c

c) c/b

d) c/a

e) a/b

slide19

6) Se a = 3b, podemos dizer então, que

sen2a + cos2avale:

a) b2 / a2

b) 9c2 / b2

c) 0

d) 1

e) (c2 + b2) / 9a2

Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que:

sen2q + cos2q = 1

slide22

9) Se sen a = b/c, então, calculando o valor de

chegaremos a:

a) a/c

b) b/c

c) a/b

d) b/a

e) 1

Procure sempre partir da relação fundamental

Resposta na outra folha

slide24

Voltando

para a parte teórica...

lei dos senos

C

b

a

(

)

B

A

c

Lei dos Senos

Seja um triângulo ABC qualquer

temos :

lei dos cossenos

C

b

a

c

(

)

B

A

Lei dos Cossenos

Seja um triângulo ABC qualquer

temos :

gr ficos das fun es trigonom tricas sen ide

y

1

270°

630°

-90°

-180°

x

360°

540°

720°

90°

180°

450°

-1

Gráficos das funções trigonométricasSenóide

senx

cossen ide

y

1

180°

540°

-180°

x

720°

-90°

630°

90°

450°

270°

360°

-1

Cossenóide

cosx

tangente

y

450°

630°

-90°

270°

90°

x

180°

360°

540°

Tangente

tg x

cossecante

y

cossecx

1

270°

630°

-90°

-180°

x

360°

540°

720°

90°

180°

450°

-1

Cossecante

secante

y

secx

1

180°

540°

-180°

x

720°

-90°

630°

90°

450°

270°

360°

-1

Secante
continua o4

y

cotg x

450°

630°

270°

90°

x

360°

540°

180°

720°

Continuação ...
slide33

Trigonometria

Algumas Aplicações

slide34

Parte Prática

O exemplo clássico da Sombra

Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos.

São eles: uma distância

um ângulo

Observe a seguir . . .

slide35

Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo a que vale 30°, podemos dizer então que:

portanto:

slide36

Exemplo 01.

Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?

slide37

Como poderíamos resolver essa situação?

Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação.

Observemos:

Comprimento total da rampa

6 metros

16,4 metros

2 metros

q

solo

slide38

Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .

Temos em relação ao ângulo q:

hip = 16,4 metros

c.o. = 2 metros

16,4 metros

hip

c.o.

q

2 metros

c.a.

slide39

Como:

hip = 16,4 metros

c.o. = 2 metros

16,4 metros

hip

c.o.

q

2 metros

c.a.

Obs.: quando dizemos que arcsen a = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que a = 30°.

slide40

Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:

sen q = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo q, com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora.

Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°.

Encontramos assim, a inclinação da rampa!

slide41

Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes, portanto, podemos dizer que q é válido para ambos

16,4 metros

hip

c.o.

6 metros

q

2 metros

c.a.

q = 7°

Como:

Chegamos a conclusão que o

comprimento total da rampa é 49,2 metros

slide42

Exemplo 2

Mecânica Geral

ou Trigonometria?

slide43

Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos.

Abaixo segue um problema CLÁSSICO de física e trigonometria

Em relação ao sistema de forças

representado na figura, onde

F1 = 20N,

F2 = 100N, F3 = 40N e

F4 = 10N, você

seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?

slide52

Questão01. Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco)

Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )

slide53

Solução:

Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.

slide55

Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:

17 metros para subir a árvore

v = 0,2 m/s

30 metros

17 metros para descer da árvore

De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros

slide57

RESUMÃO DE FÓRMULAS

Relações básicas

sen2α + cos2α = 1

tan α . cot α = 1

1 + tan2α = 1 / cos2α

1 + cot2α = 1 / sen2α

Relações com quadrantes

Obs: valores de ângulos em graus. Conversão para radianos:90 → π/2 180 → π 270 → 3π/2 360 → 2π

sen (90 + α) = + cos α sen (90 − α) = + cos α

sen (180 + α) = − sen α sen (180 − α) = + sen α

cos (90 + α) = − sen α cos (90 − α) = + sen α

cos (180 + α) = − cos α cos (180 − α) = − cos α

slide58

RESUMÃO DE FÓRMULAS

tag (90 + α) = − cot α tan (90 − α) = + cot α

tan (180 + α) = + tan α tan (180 − α) = − tan α

cot (90 + α) = − tan α cot (90 − α) = + tan α

cot (180 + α) = + cot α cot (180 − α) = − cot α

sen (270 + α) = − cos α sen (270 − α) = − cos αsen (360 + α) = + sen α sen (360 − α) = − sen α

cos (270 + α) = + sen α cos (270 − α) = − sen α

cos (360 + α) = + cos α cos (360 − α) = + cos α

tan (270 + α) = − cot α tan (270 − α) = + cot α

tan (360 + α) = + tan α tan (360 − α) = − tan α

cot (270 + α) = − tan α cot (270 − α) = + tan α

cot (360 + α) = + cot α cot (360 − α) = − cot α

sen (−α) = − sen α cos (−α) = + cos α

tan (−α) = − tan α cot (−α) = − cot α

sen (α ± k 360) = + sen α cos (α ± k 360) = + cos α

tan (α ± k 180) = + tan α cot (α ± k 180) = + cot α

O símbolo k significa um número inteiro e positivo.

slide59

RESUMÃO DE FÓRMULAS

Relações com soma / diferença de ângulos

sen (α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β

cos (α ± β) = cos α cos β ± sen α sen β

tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ± tan α tan β)

cot (α ± β) = (cot α cot β ± 1) / (cot β ± cot α)

Relações com soma / diferença / produto de funções

sen α + sen β = 2 sen (α + β)/2 . cos (α − β)/2

sen α − sen β = 2 cos (α + β)/2 . sen (α − β)/2

cos α + cos β = 2 cos (α + β)/2 . cos (α − β)/2

cos α − cos β = − 2 sen (α + β)/2 . sen (α − β)/2

slide60

RESUMÃO DE FÓRMULAS

a sen x + b cos x = √ (a2 + b2) sen (x + φ) onde φ = arctan b/a se a ≥ 0 ou

φ = arctan b/a ± π se a < 0

tan α ± tan β = sen (α ± β) / (cos α cos β)

cot α ± cot β = sen (β ± α) / (sen α sen β)

sen α sen β = (1/2) cos (α − β) − (1/2) cos (α + β)

sen α cos β = (1/2) sen (α + β) + (1/2) sen (α − β)

cos α cos β = (1/2) cos (α + β) + (1/2) cos (α − β)

tan α tan β = (tan α + tan β) / (cot α + cot β) = − (tan α − tan β) / (cot α − cotβ)

cot α cot β = (cot α + cot β) / (tan α + tan β) = − (cot α − cot β) /(tan α − tan β)

cot α tan β = (cot α + tan β) / (tan α + cot β) = − (cot α − tan β) /(tan α − cot β)

slide61

Relações diversas

sen α = 2 sen α/2 . cos α/2

cos α = cos2α/2 − sen2α/2

tan α = sen α / cos α

cot α = cos α / sen α

sen α = tan α / √(1 + tan2α)

cos α = cot α / √(1 + cot2α)

tan α = sen α / √(1 − sen2α)

cot α = cos α / √(1 − cos2α)

sen α = √(cos2α − cos 2α)

slide62

Relações diversas

cos α = 1 − 2 sen2α/2

tan α = √[ (1/cos2α) − 1 ]

cot α = √[ (1/sen2α) − 1 ]

sen α = √[ (1 − cos 2α) / 2 ]

cos α = √[ (1 + cos 2α) / 2 ]

tan α = [ √(1 − cos2α) ] / cos α

cot α = [ √(1 − sen2α) ] / sen α

sen α = 1 / √(1 + cot2α)

cos α = 1 / √(1 + tan2α)

sen 2α = 2 sen α cos α

slide63

Relações diversas

cos 2α = cos2α − sen2α

cos 2α = 2 cos2α − 1

cos 2α = 1 − 2 sen2α

tan 2α = 2 tan α / (1 − tan2 α)

tan 2α = 2 / (cot α − tan α)

cot 2α = (cot2 α − 1) / (2 cot α)

cot 2α = (1/2) cot α − (1/2) tan α

sen α/2 = √[ (1 − cos α) / 2 ]

cos α/2 = √[ (1 + cos α) / 2 ]

tan α/2 = sen α / (1 + cos α)

cot α/2 = sen α / (1 − cos α)

tan α/2 = (1 − cos α) / sen α

cot α/2 = (1 + cos α) / sen α

tan α/2 = √[ (1 − cos α) / (1 + cos α) ]

slide64

Pessoal, espero ter contribuído um pouco mais para o seu sucesso.

Abraços

Fred Tavares

www.nordesttino.com

nordesttino@hotmail.com