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RAZONAMIENTO APROXIMADO Sistemas Difusos ( Fuzzy Systems)

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  1. RAZONAMIENTO APROXIMADOSistemas Difusos (Fuzzy Systems) Ingeniería del Conocimiento Ingeniería Electrónica

  2. REALIDAD El conocimiento que necesitamos para desarrollar un Sistema basado en Conocimiento tiene muchas veces las siguientes características: NO ES DEL TODO CONFIABLE IMPRECISO CONTRADICTORIO INCOMPLETO

  3. REALIDAD Las personas con esas fuentes de conocimiento, dotadas de esas características, razonamos y muchas veces concluímos … CAPACIDAD DE RAZONAR APROXIMADAMENTE

  4. PROBLEMA Como modelizamos estas características del conocimiento, de modo de poder: REPRESENTARLO UTILIZARLO REPRESENTARLO

  5. REALIDAD La lógica clásica es un buen modelo para formalizar cualquier razonamiento basado en información certera (V o F) NECESITAMOS OTROS FORMALISMOS

  6. REALIDAD El desarrollo de la IA ha incentivado el estudio de formalismos que son alternativos o complementarios a la lógica clásica INVESTIGACION Y DESARROLLO DE OTROS FORMALISMOS

  7. CONOCIMIENTO IMPRECISO • El conocimiento cuenta con predicados o cuantificadores vagos (no precisos) • Ejemplos: • Pedro tiene entre 20 y 25 años. • Juan es joven • Mucha gente juega al fútbol • El espectáculo es para gente grande.

  8. RAZONAMIENTO APROXIMADO (RA) • Trata como • REPRESENTAR • COMBINAR y • REALIZAR INFERENCIAS • con conocimiento impreciso y/o incierto

  9. RA: Distintos modelos • MODELOS PROBABILISTICOS • MODELO POSIBILISTICO • Todos tratan la incertidumbre en un sistema de producción • Sólo el modelo posibilístico puede tratar la imprecisión.

  10. Razonamiento inexacto • Es necesario cuantificar y razonar acerca de términos o predicados difusos que aparecen en el lenguaje natural. • La lógica difusa se refiere a estos términos como variables lingüísticas, y la tecnología de los sistemas expertos, incorpora estas variables lingüísticas en reglas que pasan a ser reglas difusas.

  11. Lógica difusa • Introducción • Teoría de conjuntos difusos • Teoría de conjuntos clásica (conjuntos nítidos) • Conjuntos Difusos • Funciones de pertenencia • Etiquetas lingüísticas • Operaciones elementales con conjuntos difusos • Complemento • Intersección • Unión • Razonamiento difuso • Inferencia difusa • Decodificación • Funcionamiento de un sistema difuso • Conclusiones

  12. Necesidad de razonamiento difuso • En el mundo real existe mucho conocimiento con las siguientes características: conocimiento vago, impreciso, incierto, ambiguo, inexacto, o probabilístico por naturaleza. • El razonamiento y pensamiento humano frecuen-temente conlleva información de este tipo: • imprecisión inherente de los conceptos humanos y • razonamiento basado en experiencias similares, pero no idéntica • Problema:Poca capacidad de expresión de la lógica clásica. • Ejemplo 1. Clasificación de personas en altas o bajas • Ejemplo 2. Definición del término joven

  13. Going Fuzzy … • Examples of Fuzzy statements: • The motor is running very hot. • Tom is a very tall guy. • Electric cars are not very fast. • High-performance drives require very rapid dynamics and precise regulation. • Leuven is quite a short distance from Brussels. • Leuven is a beautiful city. • The maximum range of an electronic vehicle is short. • If short means: 300 km or less, would 301 km be long? • Want to express to what degree a property holds.

  14. 1 1 0 0 150 150 160 160 170 170 180 180 190 190 200 200 210 210 cm cm Fuzzy sets: • Are functions: f:domain [0,1] • Crisp set (tall men): • Fuzzy set (tall men):

  15. 1 tall short medium 0 150 160 170 180 190 200 210 cm 1 short tall short medium 0 150 160 170 180 190 200 210 cm Representing a domain: • Crisp sets (men’s height): • Fuzzy set (men’s height):

  16. Lógica difusa • En 1965, Lofti Zadeh sienta las bases de la lógica difusa • Motivación inicial: estudio de la vaguedad Relación vaguedad  incertidumbre • Solución: definir conjuntos con grados de pertenencia • Éxito de la lógica difusa : • Desde el punto de vista práctico: miles de aplicaciones, la mayoría en sistemas de control • Desde el punto de vista lógico: lógica fuzzy como una lógica multivaluada.

  17. Características principales de la lógica difusa • Se intenta representar la vaguedad e imprecisión inherentes en el lenguaje natural • Utiliza varios elementos: conjuntos difusos, variables difusas, relacionesdifusas, reglas difusas (lenguaje difuso) • Dichos elementos se combinan entre sí en el proceso de inferencias (fuzzy logic) • Fuzzy control: El proceso de inferencias incluye pasos que pasan la información precisaadifusa y viceversa

  18. Lógica difusa • Por definición “logica difusa” es una rama de la lógica que utiliza grados de pertenencia a los conjuntos (grados de verdad de las fórmulas) en lugar de los estrictos valores verdadero o falso. • Estos conjuntos reciben la denominación de “conjuntos difusos”.

  19. Lógica difusa • La lógica difusa concierne a la cuantificación y razonamiento sobre términos vagos o difusos que aparecen en el lenguaje natural cotidiano. En la lógica difusa, estos términos son denominados variables lingüísticas. • variables lingüísticas:son términos que describen algún concepto que usualmente tiene asociados valores vagos o difusos.

  20. Lógica difusa

  21. Difusión de fuzzy logic • En la actualidad es un campo de investigación muy importante, tanto por sus implicaciones matemáticas o teóricas como por sus aplicaciones prácticas: • Revistas (Fuzzy Sets and Systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems..) • Congresos (FUZZ-IEEE, IPMU, EUSFLAT, ESTYLF...) • Milesde aplicaciones reales: • Control de sistemas: Tráfico, vehículos, compuertas en plantas hidroeléctricas, centrales térmicas, lavadoras, metros ascensores... • Predicción y optimización: Predicción de terremotos, optimización de horarios... • Reconocimiento de patrones y Visión por ordenador: Seguimiento de objetos con cámara, reconocimiento de escritura, reconocimiento de objetos, compensación de vibraciones en cámaras, sistemas de enfoque automático... • Sistemas de información o conocimiento: Bases de datos, sistemas expertos...

  22. Un poco de publicidad... OLYMPUS ERGONÓMICA SRL 28-120 Poderoso lente zoom de 4.3x, 28-120 con elementos de lentes de cristal ED Sistema de flash doble incorporado. Ajuste de Exposición Automática programada Sistema de Medición TTL: Fuzzy logic ESP, Promedio Balanceado al Centro AEG Lavamat 64600 Carga: 5kg Revoluciones: 1400 rpm Características energéticas: A+,A,B Multi-Display Fuzzy Logic Programas especiales: Lavado a mano, Seda, Lana

  23. Conjuntos difusos • Conjuntos clásicos (crisp) • A  U definido por su función de pertenencia • A: U  {0,1} / A(x)= 1 sii x  A • Conjunto difuso (Fuzzy set) A de U • A: U  [0,1] • A(x) me define el grado de pertenencia de x a A • Hay “distintos grados de pertenencia”

  24. Conjuntos difusos • La sentencia “Juan es alto” implica la variable “estatura” que tiene como valor lingüístico “alto”. El rango de los posibles valores de la variable lingüística (estatura) es el universo de discurso X de dicha variable [0.3, 2.5m]. • La frase “Juan es alto” restringe los valores de la variable estatura y se puede representar mediante un conjunto difuso.

  25. Conjuntos difusos • Para otras descripciones de la variable lingüística estatura tales como: baja o media, se pueden obtener otros conjuntos difusos que reflejan la opinión popular (o de expertos). • se pueden definir múltiples conjuntos difusos para un mismo universo de discurso: subconjuntos difusos representando distintos términos vagos.

  26. Funciones de pertenencia • Función GAMMA (): • Algunas de las funciones de pertenencia más utilizadas son: • Función L Puede definirse simplemente como 1 menos la función GAMMA • Función LAMBDA o triangular

  27. Funciones de pertenencia • Función PI o trapezoidal

  28. Funciones de pertenencia • Función S • Función Z (opuesta de la S) mZ(x) = 1- mS(x) • Función P

  29. Canjunto difuso - espacio discreto • Considerando ahora un universo de discurso discreto, tal que los elementos de X sean { x1, x2, .....xn} y, siendo A un conjunto difuso definido en dicho universo: • La representación del vector se clarifica utilizando el símbolo “ / “ que asocia el valor de pertenencia ai con la coordenada de xi : A = ( a1 / x1, a2/x2.....an/ xn ) • Considerando el conjunto difuso alto ALTO = (0/1.65, 1/1.75, 1/1.85, 0/1.95)

  30. Canjunto difuso - espacio discreto • También se expresa como: • A = ( a1 /x1+ a2/x2+.....+an/ xn ) • A = i=,1,n A(xi)/xi • Si X es una función continua, el conjunto • A, este puede ser representado como: • A =  A(xi)/xi

  31. Etiquetas lingüísticas - Hedges • Equivalentes a los adverbios del lenguaje natural • Se utilizan para definir conjuntos difusos a partir de otros ya existentes. Por ejemplo, viejo —> MUY viejo • Lo que se hace es componer la función de pertenencia con alguna otra función, de forma que la función resultante tenga la forma deseada • Por ejemplo, función para el adverbio MUY —> f(y) = y2 viejo Muy viejo

  32. Nombre del modificador Descripción del modificador not 1-y very (muy) y2 somewhat (algo) y1/3 more-or-less (más o menos) y1/2 extremely (extremadamente) y3 Etiquetas lingüísticas Existe todo un catálogo de adverbios/funciones

  33. Etiquetas lingüísticas Normalización f(y) = y/Altura Concentración • Otras operaciones usuales f(y)=yp, con p>1 Dilatación f(y)=yp, con 0<p<1 Intensificación contraste Difuminación

  34. Complemento (Negación) Dado un conjunto difuso A, su complemento vendrá definido por Operaciones con conjuntos difusos • Las funciones c para el complemento más utilizadas son: • c(a) = 1 - a. • Yager cw(a) = ( 1 - aw)1/w w [0, ] • Sugeno cl(a) = (1-a)/(1-la) l [0, 1]

  35. Operaciones con conjuntos difusos Intersección (conjunción) Dados dos conjuntos difusos A y B, su intersección vendrá definida por Las funciones i que verifican las propiedades que se esperan de una conjunción se llaman normas triangulares(t-normas).

  36. t-norma del mínimo • imin(a,b) = min(a,b) • t-norma del producto i*(a,b) = ab • t-norma del producto drástico Operaciones con conjuntos difusos • Algunas t-normas usuales:

  37. Unión (disjunción) Dados dos conjuntos difusos A y B, su unión vendrá definida por mAuB(x) = u(mA(x), mB(x)) Operaciones con conjuntos difusos Las funciones u que verifican las propiedades esperadas para una disjunción se llaman: conormas triangulares(t-conormas).

  38. t-conorma de la sumau*(a,b) = a+b-ab Operaciones con conjuntos difusos • t-conorma del máximo • umax(a,b) = max(a,b) • Si consideramos como complemento la función c(u) = 1-u, las t-conormas correspondientes a las t-normas anteriores son: • t-norma de la suma drástica

  39. Operaciones con conjuntos difusos • Considerando la t-norma del mínimo(intersección, AND) junto con la t-conorma del máximo (unión, OR) • Conjuntos vacío y total: • Conjunto vacío • Conjunto total (X crisp) • Sin embargo, con esta definición no se satisfacen algunos famosos principios de la lógica clásica, como por ejemplo: • Principio de contradicción • Principio del tercero excluso

  40. Razonamiento difuso • Proposición difusa simple: • Proposición que asigna un valor a una variable difusa: “Pepe es de estatura mediana”. • Tiene asociado un conjunto difuso (función de pertenencia). • Proposición difusa compuesta: • Agrupación de dos o más proposiciones difusas simples “la velocidad es normal” AND “el objeto está cerca” “la velocidad es alta” OR “el objeto está muy cerca” “la velocidad NO es alta” • Necesidad de definir operadores difusos: • NO (¬p) m¬A(u) = 1 - mA(u) • AND (pq) vendrá definida por una función de pertenencia tipo t-norma, por ejemplo mAB (u,v) = min( mA(u), mB(v)) • OR (pq) vendrá definida por una función de pertenencia tipo t-conorma, por ejemplo mAUB(u,v) = max(mA(u), mB(v))

  41. Razonamiento difuso: implicaciones • El siguiente paso es definir lo que es una implicación, es decir, asignar una función de pertenencia a una agrupación antecedente consecuente del tipo pq • Esto nos permitirá razonar con afirmaciones tales como: SI “la velocidad es normal” ENTONCES “la fuerza de frenado debe ser moderada” • Opciones: • Teórica: Dar a la implicación el mismo significado que en la lógica clásica. pq pqmpq(u,v) = max(1-mA(u), mB(v)) pq ~(p(~q)) mpq(u,v) = 1 – min[mA(u), 1-mB(v)] • Práctica: Dar a la implicación el significado de relación causa-efecto: Implicación de Mamdani pq  AB mpq(u,v) = min( mA(u), mB(v))

  42. Inferencia Difusa – Fuzzy inference • Una regla difusa relaciona dos proposiciones difusas, por ejemplo considerando dos conjuntos difusos tales como A (estatura es alta) y B (peso es elevado), estos pueden estar relacionados por la regla: • If A Then B • Los sistemas expertos difusos almacenan las reglas como asociaciones difusas (A,B), en una matriz M denominada matriz asociativa difusa.

  43. Matriz asociativa difusa.

  44. Inferencia Difusa – Fuzzy inference • Como en otras técnicas de razonamiento inexacto, el proceso de inferencia difusa intenta establecer la credibilidad conclusión de la regla dada una cierta evidencia en la premisa. If A Then B A* B* ???

  45. Reglas Entrada crisp Salida crisp x Up y=f(x) V u Up v V Inferencia Conjuntos difusos entrada Conjuntos difusos salida Funcionamiento de un sistema de control basado en lógica difusa Codificador Decodificador

  46. Inferencia Difusa – Fuzzy inference • Disponiendo de la matriz M que se obtiene a partir de AB, el proceso de inferencia difusa permite a partir de información A’ (subconjunto de A), inducir un subconjunto B’ de B. • Técnicas de inferencia difusas: • Inferencia max-min • Inferencia max-product

  47. Inferencia max-min • El operador de de la implicación utilizado es el “min”, es decir: • mij = min(ai,bj) • Entonces, dados dos conjuntos difusas A y B, se obtiene la matriz M. • Luego, dado el conuunto A’, se puede inducir el subconjunto B’.

  48. Inferencia max-min • Ejemplo: sea un universo de discurso X que representa “temperatura”, y A un conjunto difuso que representa “temperatura normal”. • Asumiendo que Y representa “velocidad” y un B que representa “velocidad media”, entonces si tenemos la siguiente regla difusa: • If temperatura normal Then velocidad media • IF A THEN B

  49. Inferencia max-min - Ejemplo