Integrálszámítás

1. Integrálszámítás Mire fogjuk használni az integrálszámítást a matematikában, hova szeretnénk eljutni? Hol használható és mire az integrálszámítás? (már tapasztalták, tanulták) A primitív függvény és a határozatlan integrál Definíció.Legyen intervallum, és . Azt mondjuk, hogy azF függvény az f egy primitív függvénye, ha  (*) F folytonos I-n, (**) F differenciálható I belsejében és itt (***) . Tétel. Ha f-nek I-ben van primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van. Ha F egy primitív függvény, akkor az összes többi primitív függvényt F + c alakban kapjuk, ahol konstans. Bizonyítás: (előadáson)

2. Integrálszámítás Definíció. Legyen intervallum. Az függvény primitív függvényeiből álló halmazt f határozatlan integráljának nevezzük és az szimbólummal jelöljük, ahol - az integrandus, - egy primitív függvény, C - integrációs konstans Alapintegrálok Az elemi függvények deriváltjaként előálló függvények segítségével kapjuk az úgynevezett alapintegrálokat. Ezeket tartalmazza a következő táblázat:

3. Alapintegrálok

4. Integrálszámítás Integrálási módszerek Integrálás elemi átalakításokkal Tétel. Ha F a f primitív függvénye, akkor Bizonyítás. (előadáson) Tétel. Minden valós szám esetén Bizonyítás. (előadáson) Tétel. Ha f nem minden x  D(f) esetén 0, akkor Bizonyítás. (előadáson) Tétel. Ha a f primitív függvénye F, és g olyan függvény, amely valamely intervallumon differenciálható, továbbá ezen az intervallumon f o g összetett függvény létezik, akkor Bizonyítás. (előadáson)

5. Integrálszámítás Trigonometrikus, és hiperbolikus függvények hatványainak integrálása I./ Páratlan kitevő esetén: A trigonometrikus, és hiperbolikus függvények páratlan kitevős hatványai felbonthatók egy elsőfokú, és egy páros kitevőjű hatvány szorzatára. A páros kitevőjű hatványra alkalmazva a négyzetes összefüggést az integrál visszavezethető egy alapintegrál és az típusú integrál összegére. Példa:

6. Integrálszámítás II./ Páros kitevő esetén:  Az integráláshoz az u.n. linearizáló formulákat használjuk. Tétel. (Linearizáló formulák) Bizonyítás. (előadáson) Példa:

7. Integráláshelyettesítéssel • Függvényt helyettesítünk változóval. Példa: Határozzuk meg a következő integrált! Példa: Határozzuk meg a következő integrált!

8. Integráláshelyettesítéssel • Változót helyettesítünk függvénnyel. Példa: Példa: Határozzuk meg a következő integrált!

9. Integráláshelyettesítéssel III. Trigonometrikus függvényeket tartalmazó törtfüggvények integrálása. Példa: Határozzuk meg a következő integrált! A megoldáshoz helyettesítést alkalmazzuk. Ekkor ; és . Bizonyítás: előadáson.

10. Parciális integrálás Tétel. Ha az u és a v függvények valamely intervallumon differenciálhatók, továbbá az u'v szorzatfüggvénynek létezik a primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor a szóban forgó intervallumon az uv' szorzatfüggvénynek is létezik primitív függvénye, és Bizonyítás: előadáson Példa. Határozzuk meg a következő integrálokat! Összefoglalás: előadáson

11. Racionális törtfüggvények integrálása Mint ismert, racionális törtfüggvényeknek azokat a függvényeket nevezzük, amelyek felírhatók két polinom hányadosaként: Elegendő olyan racionális törtfüggvények integrálásával foglalkozni, amelyek számlálója alacsonyabb fokú, mint a nevező, mert egyébként – polinom osztás segítségével - az előbbi függvény felbontható egy racionális egész, és egy racionális (valódi) tört összegére. A következő eseteket vizsgáljuk: 1./ , ahol A, a, bR. 2./ , ahol A, a, bRés \

12. Racionális törtfüggvények integrálása 3./ mindkét tag integrálja visszavezethető a 2./ esetre. 4./ A feladat két részre osztható: 4/aA nevező - - nem alakítható szorzattá. Alakítsuk az nevezőt teljes négyzetté. Így az integrált visszavezettük az arctg( ) típusú integrandusra.

13. Racionális törtfüggvények integrálása 4/b A nevező - - szorzattá alakítható. Ezzel az esettel kicsit általánosabban foglalkozunk. (a számláló lehet elsőfokú is) A C és D konstansokat azon elv alapján határozzuk meg, hogy két polinom tetszőleges x esetén akkor és csak akkor egyenlő, ha a két polinomban az xmegfelelőegyütthatói a két polinomban rendre megegyeznek.

14. Racionális törtfüggvények integrálása 5./ Ezen „ alapesetek ” után vizsgáljuk „ általánosabban ” a racionális törtfüggvények integrálását. Az „ általánosabban ” szóhasználat arra utal, hogy a racionális törtfüggvények közül nem fogunk mindegyikkel foglalkozni. A továbbiakban olyan esetekkel foglalkozunk, amikor a nevezőszorzattá alakítható, mégpedig elsőfokú tényezők - vagy elsőfokú tényezők hatványa - és másodfokú tényezők szorzatára.

15. Racionális törtfüggvények integrálása Ekkor a résztörtek a következők: azaz, ha a nevezőben tovább szorzattá nem alakítható másodfokú polinom szerepel, akkor a számláló elsőfokú polinom. A számlálóban szereplő együtthatók meghatározása után minden tag integrálható. ( Visszavezethető az előző esetek valamelyikére. ) Példa. Határozzuk meg a következő integrált!