Eksamen 8. des. 1989, Oppg.1

1. Eksamen 8. des. 1989, Oppg.1 a) Dei to hjørnemengdene i den todelte grafen er {a,b,d,f,g} og {c, e, i, j, h, k}. Det er lett å kontrollera at det ikkje finst kantar mellom to hjørner i kvar av desse hjørnemengdene. Grafen har 15 kantar. b) For at vi skal kunna finna ein Hamiltonsk krets i ein todelt graf med hjørnemengder med m og n hjørner må m = n, sidan to påfylgjande hjørner i kretsen ligg i kvar si hjørnemengd. T.Bu

2. d k j a c e g f i h b Start med eit vilkårleg hjørne, t.d. a. Då må alle nabohjørner til a: h,i,j,k tilhøyra den andre hjørnemengda. Alle nabohjørner til h,i,j,k: b,d,f,g, må tilhøyra same hjørnemengde som a. Då har vi att to hjørner, e og c, som er nabohjørner til b. T.Bu

3. Eksamen 19. mai 1993, Oppg 2a Vi får maksimalt antal kantar i ein usamanhangande graf med n hjørner ved å ta den komplette grafen på n-1 hjørner saman med eitt isolert hjørne. Ved å fjerna alle n-1 kantar frå eitt hørne i Kn er denne konstruksjonen utført. Svar: n-1 T.Bu

4. Eksamen 16. mai 1994, Oppg. 1 b) Summen av gradene er 53, altså eit odde tal. Men dette er umogeleg ved ”handshaking lemma”. c) Den todelte grafen har 14 hjørner og 34 kantar. Ein todelt graf har den eigenskapen at dei to hjørnemengdene har same gradsum, i dette tilfellet 34. Men då må hjørnet av grad 5 og 1, 3 eller 5 hjørner av grad 3 tilhøyra same hjørnemengd. Sidan 26, 20 eller 14 ikkje er deleleg med 6, er dette umogleg. d) Grafen har 10 hjørner. Dermed har hjørnet av grad 9 kantar til alle dei 9 andre hjørnene.To av desse hjørnene har grad 1. Då kan vi ikkje finna eit hjørne av grad 8 mellom dei 7 resterande hjørnene. T.Bu

5. Konsekvensar av Ore’s setning om Hamiltonske grafar: Dersom G er ein enkel graf med n>2 hjørner og graden til alle hjørner er minst n/2, er grafen Hamiltonsk Den komplette grafen (n>2) er alltid Hamiltonsk Km,n er Hamiltonsk dersom og berre dersom m=n NB!Medan Fleury’s algoritme gir ein enkel konstruksjon av Eulerske trekk, finst det ingen enkel algortime for å konstruera Hamiltonske kretsar T.Bu

6. Tre med 6 hjørner T.Bu

7. Heimeoppg. 3 2 3 3 4 3 4 5 7 3 B A 5 2 4 1 3 2 2 6 3 5 4 Finn kortaste sti frå A til B. Løys kinesisk postmann problemet. T.Bu