Download
1 / 66
1.24k likes | 2.62k Views
1 بردار و ماتریس. 1 . 1 تعریف: هر n -تایی را یک بردار (سطری) و هر را یک مولفۀ آن می نامیم. هیچ دلیلی برای صرفه جویی برای نمایش بردار به صورت سطری فوق وجود ندارد .اگریک بردار را به صورت نمایش دهیم ، آن را یک بردار ستونی می نامیم. 1 . 2 تعریف
E N D
1 بردار و ماتریس 1. 1 تعریف: هرn-تایی را یک بردار (سطری) و هر را یک مولفۀ آن می نامیم . هیچ دلیلی برای صرفه جویی برای نمایش بردار به صورت سطری فوق وجود ندارد .اگریک بردار را به صورت نمایش دهیم ، آن را یک بردار ستونی می نامیم .
1. 2 تعریف هر تایی مانند یک نقطه در است.
1. 2 تعریف فرض کنیم و دو بردار n موءلفه ای (مرتبۀ n ) و یک اسکالر (عدد حقیقی) باشد . مجموع و مضرباسکالر بردارها به صورت زیر تعریف می شوند : به عنوان مثال
1. 3 تعریف: طول یا ( اندازه) بردار برابر است با به عنوان مثال
1. 4 مثال : فرض کنیم) u =(1,-3, 7, 5 ، v =(2, 1, 1, -1) الف)2u-3v را می یابیم ، ب) ، و و را محا سبه می کنیم ، پ) برداری چون w می یابیم به قسمی که 2u-2w =3v حل: الف)
ب) توجه کنید یعنی .در واقع می توان نشان داد که در حالت کلی
پ) با توجه به ویژگیهایی جمع و مضرب اسکالر بردارها ، این معادله را می توانیم مانند معادلات معمولی حل کنیم : در نتیجه
2 ماتریس • ماتریس صفر ماتریسی است که هر یک از عناصرش صفر باشد . • عناصر را عناصرقطریماتریسمربعی • می نامیم . • يک ماتریس که هریک ازعناصرقطری آن برابر با 1 و عناصردیگرش • صفرباشندرا ماتريسهمانیمرتبهnمی نامیم وآن را با نمایش می دهیم. • پس
جمع ومضرب اسکالر ماتريس ها 2. 1تعریف: فرض کنیم و دوماتریس هم اندازه و یک عددحقیقی باشد.دراین صورت مجموع ومضرب اسکالر ماتريس ها به صورت زیر تعریف می شوند:
2. 2 قضیه : فرض كنيم A و B وCسه ماتريس و دواسکالر باشند.دراین صورت: الف) ب) پ) ت) .
2. 3مثال: ماتريس های رادر نظر بگیرید. ماتريس Dرابه قسمی پیدا کنید که 2A+3D=B. حل: باتوجه به ویژگی های جمع ومضرب اسكالر در ماتريس ها،داریم: بنابراین
2. 4تعريف: فرض كنيم و دو ماتريس باشند. حاصلضرب A در B ماتريس است به طوری که به ازای هر i=1, 2, ..., mو j=1, 2, ..., n،
2. 5 مثال: فرض كنيم ماتريس ABراپیدا کنید. حل:
2. 6 قضیه : فرض کنیم یک ماتريس باشددراین صورت 2. 7 قضیه: فرض کنیم و و . دراین صورت
2. 8 مثال: فرض کنیم نشان دهیدکهAB =AC . حل: داریم بنابراین ،این مثال نشان می دهد که از AB = AC نمی توان نتیجه گرفت که B=C
2. 9 تعريف: فرض كنيم دراين صورت ترانهادهA یک ماتريس به نمایش است که عنصر(i , j) آن برابر با عنصر (j,i)ام ماتريس Aاست. به عبارت دیگر ،که درآن به ازای هر i ،j ، به عنوان مثال
2. 10 قضیه : فرض کنیم A و B دو ماتريس و یک اسکالر باشد.دراین صورت الف): ترانهادۀ ترانهاده یک ماتريس مســاوی است با خود آن ماتريس . ب):ترانهاده مضرب اسکالر یک ماتريس مساوی است با مضرب اسکالر ترانهاده آن ماتريس . پ):ترانهاده مجموع دو ماتريس برابراســت با مجموع ترانهاده آن ماتريس ها .
2. 11 قضیه: اگر A و B دو ماتريس مربعی باشند، آنگاه : 2. 12 تعریف: ماتريس مربعی A رامتقارن می گوییم اگر
2. 13 مثال: نشان دهید که برای هر ماتريس مربعی A ، ماتريس متقارن است. حل: با توجه به قضیه 5. 2. 16،داریم در نتیجه متقارن است .
3 دترمینان 3. 1مثال: اگر آنگاه اگر آنگاه
3. 2تعریف: برای هر در ماتريس ،همســـازهبرابراست با عدد 3. 3مثال: اگر A ماتريس فوق باشد، آنگاه والی آخر.
3. 4 مثال: دترمینان ماتريس زیررابیابید. حل: دترمینان این ماتريس را با استفاده از سطر اول حساب می کنیم:
حال همین دترمینان رامثلا“ بااستفاده ازستون سوم محاسبه می کنیم:
ویژگی های دترمینان محاسبه دترمینان بااستفاده از سطر یاستونی که بیشترین تعدادصفررادارد آسانتراست. دراسلايد بعدی فهرستی ازویژگی های دترمینان رابدون اثبات می آوریم وبااستفــاده ازاین ویژگی ها، دترمینان یک ماتريس رابه صورتی ساده تر محاسبه می کنیم.
3. 5 قضیه : 1)اگر ماتريس A شامل یک سطر(یاستون) صفرباشد،آنگاه 2)اگر تمام عناصر یک سطر(یاستون) ماتريس A درعددی ضرب شود، مقدار دترمینان این ماتريس درآن عدد ضرب می شود. 3)اگر دو سطر(یاستون) یک ماتريس رابا هم عوض کنیم، علامت مقـــــدار دترمینان تغييرمی کند. 4)اگر دو سطر(یاستون) ماتريسی یکسان باشند،مقدار دترمینان آن ماتريس صفراست. 5)اگر مضرب اسکالر ی ازیک سطر(یاستون) رابا سطر(یاستون) دیگری جمع کنیم ،مقدار دترمینان تغییر نمی کند.
6)اگر A و B دو ماتريس باشند،آنگاه . 7) اگر A یک ماتريس قطری باشد،دترمینان A برابربا حاصلضرب عناصر قطری آن است. 8) . 9) .
3. 6 مثال: الف)چون یک سطر ماتريس صفراست ،پس ب)
پ) ت) ث) • نماد یعنی دو برابرسطر اول از سطر دوم کم شود.
بااستفاده ازاین قواعد می توانیم مقداردترمینان ها رانسبتا آسانتر محاسبه کنیم. • مضاربی از یک سطر(یاستون) را با سطر(یاستون) دیگر جمـع می کنیم تا این که • سطری(یاستونی) به دست آوریم که همه عناصر آن ، به جز احتمالا“ یک عنصر ، • صفر باشند. سپس دترمینان را برحسب همســازه های آن سطر(یاستون) بسط • می دهیم. این روند را ادامه می دهیم تا دترمینان های به دست آوریم.
4 وارون ماتريس دراین بخش وارون ماتريـــس های مربعی راتعریف می کنیم وروش هایی برای محاسبه آن ارائه می دهیم. 4. 1تعریف: ماتريس مربعــی A را وارونپذیر (یا نا منفرد)می گوییـــم اگر ماتريسی مانند B وجود داشته باشد به طوری که: AB=I=BA .
اگر ماتريس A وارونپذیر باشد ،آنگاه وارون آن یکتا ست. زیرا اگر B و Cهردو وارون A باشند ،دراین صورت (زیراAC=I ) B=BI=B(AC) =(BA)C (زیرا BA=I) =IC=C • باتوجه به اين مطلب ،وارون A رادر صورت وجود با نماد نشان می دهیم.
4. 2 قضیه : اگر A و B دو ماتريس وارونپذیر باشند،آنگاه الف) ماتريس AB وارونپذیر است و . ب) . پ)ماتريس وارونپذیر است و .
4. 3 مثال: وارون ماتريس زیررا(درصورت وجود)تعیین کنید. حل: وارون این ماتريس ،درصورت وجود ،ماتریسی به صورت است به طوری که AB=I=BA.یعنی یا
پس درنتیجه x = 1 ، y =0 ، z = -2 ،t = 1 .پس ملاحظه می کنیم که مســـاله پیداکردن وارون یک ماتريس با مساله حل یک دستگاه معادلات دررابطه است.دراین بخش روش هایی را برای پیداکردن وارون یک ماتريس ارائه می دهیم.دربخش 6 دستــــگاه معادلات رامورد بررسی قرار می دهیم.
4. 4 اعمال سطری مقدماتی هریک ازاعمال زیررا یک عمل سطر مقدماتی می نامیم. الف) تعویض دو سطر یک ماتريس . ب) ضرب کردن یک سطر ماتريس در یک عدد ناصفر. پ) افزودن مضربی از یک سطر ماتريس برسطر دیگر. • می خواهیم با استفاده ازاین اعمال سطری وارون یک ماتريس را، درصورت وجود تعیین کنیم. نخست به مثال زیر توجه کنید.
4. 5 محاسبه وارون ماتريس به روش تحویل سطری برای محاسبه وارون ماتريس مربع A از مرتبه nابتدا ماتريس مرکب راتشکیل می دهیم.سپس باانجام اعـــــمال سطری مقدماتی سعی می کنیم ماتريس مرکب رابه صورت دربیاوریم ،دراین صورت
4. 6 مثال: وارون ماتريس زیرراتعیین کنید . حل:
4. 7تعریف: ماتريس الحاقی ماتريس مربعی را با نشان می دهیم وآن را به صورت تعریف می کنیم . به عبارت دیگر ترانهاده ماتريس همـسازه های A است. 4. 8 مثال: ماتريس الحاقی ماتريس زیر را بیابید.
حل: همسازه های این ماتريس عبارتنداز: والی آخر.درنتیجه ماتريس همسازه های A برابراست با و
4. 9 مثال: وارون ماتريس داده شده درمثال 5. 4. 15 رابه روش الحاقی تعیین کنید. حل: چون ،پس وجود دارد. چون پس
5 دستگاه معادلات خطی 5. 1تعريف: مجموعه ای از معادله خطی چون رايک دستگاه m معادله خطی nمجهولی می ناميم.هر –nتايی از اعداد حقيقی که در هريک از اين معادلات صدق کند، يک جواب اين دستگاه ناميده می شود.
حال روش هايی برای حل يک دستگاه معادله خطی ارائه می دهيم. 5. 2روش حذفی گاوس • به آسانی ديده می شود که اعمال زير روی معادلات يک دستگاه ،جواب های آن • را تغيير نمی دهند: • ضرب يک عدد غير صفر در يک معادله . • عوض کردن ترتيب معادلات. • افزودن مضربی ازيک معادله به معادله ديگر. • بااستفاده ازاعمال فوق دستگاه معادلات را مطابق مثال های زيرحل می کنيم.
5. 3 مثال: دستگاه زيرراحل کنيد. حل: داريم
ملاحظه می کنيم که از سطـــــر سوم نمی توانيم برای پاک کردن ستون سوم استفاده کنيم. بنابراين پاک سازی ستون ها تا جائيکه ممکن است انجام گرفته است .به اين ترتيب دستگاه داده شده به صورت زير تحويل يافته است. دراين صورت را يک مجهولآزاد می گو ئيم، زيرا با دادن مقادير مختلف به آن کليه جواب های اين دستگاه به دست می آيند.
به عنوان مثال: , , , , دوجواب از بی نهايت جواب اين دستگاه هستند. به طور کلی،هر که درآن ،يک جواب دستگاه داده شده است. , ,
5. 4دستورکرامر دستگاه n معادله خطی nمجهولی رادرنظر بگيريد .فرض کنيم ماتريس ضرايب اين دستگاه باشد. به ازای هر i=1, 2, ..., n فرض کنيد ما تريس حاصل از جايگزين کردن ستون iام ماتريس A توسط ستون باشد.
