commande optimale des syst mes dynamiques hybrides n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Commande optimale des systèmes dynamiques hybrides PowerPoint Presentation
Download Presentation
Commande optimale des systèmes dynamiques hybrides

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 25

Commande optimale des systèmes dynamiques hybrides - PowerPoint PPT Presentation


  • 100 Views
  • Uploaded on

Commande optimale des systèmes dynamiques hybrides. C.Iung P.Riedinger. La commande optimale. Pour définir un problème de commande optimale, nous devons avoir Un système dynamique i.e Un espace de temps T Un espace d’état X Un espace de commandes U

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Commande optimale des systèmes dynamiques hybrides' - vittorio


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
commande optimale des syst mes dynamiques hybrides

Commande optimale des systèmes dynamiques hybrides

C.Iung P.Riedinger

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

la commande optimale
La commande optimale

Pour définir un problème de commande optimale, nous devons avoir

  • Un système dynamique i.e
    • Un espace de temps T
    • Un espace d’état X
    • Un espace de commandes U
    • Une fonction de transition d’état f(t,t0,x0,u)
    • Quelques axiomes de bon sens
  • Un critère additif
    • J(t0,tf,x0,u)= J(t0,ti,x0,u)+ J(ti,tf,xi,u)

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

commande optimale
Commande optimale

2 classes de méthodes :

  • Méthodes variationelles

la commande optimale û est caractérisée par le fait qu’une commande u=û+du doit donner un critère supérieur en exprimant en fonction de du on peut espérer trouver des caractérisations de û

  • Programmation dynamique

l’application du théorème de Bellman

peut donner une équation sur les critères dont la solution conduira au critère optimal

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

m thodes variationnelles
Méthodes variationnelles
  • Elles s’appliquent lorsqu’il est possible d’évaluer la variation du critère en fonction de la variation de la commande.Ceci suppose des hypothèses de continuité voire de dérivabilité du critère optimal en fonction de u.
  • Le théorème de référence est le théorème de Pontriaguine.

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

th or me de pontriaguine
Théorème de Pontriaguine
  • Soit
    • le système dynamique :

où f est continue sur

    • Le critère f est C1

Si sont optimales alors il existe une fonction l

et une constante l0 <0, telles que

    • x et l vérifient les équations canoniques de Hamilton
    • et û(t) maximise la fonction hamiltonienne sur [t0 tf]

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

th or me de pontriaguine remarques
Théorème de Pontriaguine, remarques
  • Sous des conditions assez faibles, s’il existe des commandes satisfaisant aux conditions aux extémités, alors il existe une commande optimale.
  • La recherche des trajectoires optimales et un problème de tir de dimension 2n. En effet s’ajoutent les conditions de tranversalité :

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

systeme dynamique hybride systeme forme par le couplage de systemes dynamiques continus et discrets

s

s

d

s

s

s

z

k

&

=

x

f

(

x

,

u

,

t

)

k

=

y

g

(

x

,

u

,

t

)

k

=

z

h

(

x

,

u

,

t

)

k

SYSTEME DYNAMIQUE HYBRIDE =SYSTEME FORME PAR LE COUPLAGE DE SYSTEMES DYNAMIQUES CONTINUS ET DISCRETS

Interface

Interface

discret/continu

continu/discret

k

z

y

u

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

quelques ph nom nes hybrides
Quelques phénomènes hybrides

Le saut autonome

  • Exemples :
  • chocs,
  • hystérésis,
  • seuils,
  • saturations, ...

Le saut commandé

Le champ de vecteurs f et/ou l’état x(.) changent de façon discontinues en réponse à une commande de contrôle.

  • Exemple :
  • Circuit électrique avec interrupteurs

Conséquence

  • Changement de dimension de l’état

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

sauts de l tat
Sauts de l’état

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

extension aux syst mes commut s 1
Extension aux systèmes commutés 1

Hypothèse :

À tout instant on peut choisir le mode parmi tous les modes existants

La commande d(t) a un nombre fini de valeurs

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

extension aux syst mes commut s 2
Extension aux systèmes commutés 2
  • Le théorème de Pontriaguine s’applique
  • Aux instants de commutation

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

extension aux syst mes commut s 3
Extension aux systèmes commutés 3
  • On convexifie le problème et on cherche les commandes bang-bang

Avec

  • Un problème : comme la commande est plus « pauvre » que dans le cas continu, il peut exister des commandes, mais pas de commande optimale.
  • C’est le cas lorsque les fonctions hamiltoniennes sont égales pour une valeurs de la commande discrète convexifiée, sur un intervalle non nul.

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

slide13

Dynamique

Critère

Hamiltonien

Loi de commande

Données :

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

slide14
Trajectoire quelconque obtenue pour un temps T1=1.4

Ensemble des trajectoires candidates à l ’optimalité joignant le point final en un temps T < T1

Conclusion : il n ’existe pas de chemin optimal

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

slide15

La solution sous optimale

  • Le système étendu
  • Loi de commande
  • Question : Existe-t-il un intervalle de temps non nul tel que
  • Réponse : oui

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

la solution sous optimale
La solution sous optimale

x2

x2

x1

x1

T1=1.4035 s T3=1.3489 s

T5=1.3446 s T17=1.3435 s

T=1.3404 s

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

syst mes avec sauts autonomes 1
Systèmes avec sauts autonomes 1

Extension du théorème

  • Par intégration d ’un critère terminal au PM
  • par application du principe d’optimalité de Bellman

sous la contrainte

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

syst mes avec sauts autonomes 3
Systèmes avec sauts autonomes 3
  • Le recherche des solutions se complique car
    • On ne peut savoir à l’avance si une frontière sera franchie
    • Ni laquelle
    • Tous les cas doivent être envisagés

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

syst me avec sauts autonomes 2
Système avec sauts autonomes 2
  • Une extension est nécessaire :
    • f n’est plus continue en x (au passage des frontières)
    • l ne peut donc plus être solution de
    • Cette condition est remplacée par la condition de transversalité sur la frontière, en tenant compte du critère terminal : il existe un vecteur p

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

un exemple hyst r sis 1
Un exemple hystérésis 1

Critère

On peut réécrire le système

Automate associé

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

un exemple hyst r sis 2
Un exemple hystérésis 2

Aux instants de commutation

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

un exemple hyst r sis 3

0.9

0.8

0.7

0.6

cost

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

100

200

300

400

500

600

700

800

q

Un exemple hystérésis 3
  • Il est impossible de savoir au départ quel est le nombre optimal de commutations;
  • Seul le calcul du coût permet de conclure
    • Vers un point limite
    • Ou vers un cycle

q=200 , q=400 , q=800

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

la programmation dynamique et les quations hjb
La programmation dynamique et les équations HJB
  • Théorème 1: Si une trajectoire admissible ( x; q )( : ) déterminée par la donnée de la condition initiale ( x 0 ; q 0 )( : ) et de la commande ( u; d )( : ) , est optimale alors les conditions suivantes sont vérifiées :

pour presque tout t 2 [ a; b ]

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

en pratique 1
En pratique 1
  • Pour résoudre ces équations, il est obligatoire de discrétiser (cf Hedlung & Rantzer).
  • Une approche intéressante consiste à discrétiser le problème dès le départ. Deux voies apparaissent intéressantes
    • Approche MLD(Bemporad, Morari)
    • Approche RPD(Lincoln and Rantzer CDC2002, ADSH2003)
  • Des commandes sous optimales sont recherchées par encadrement
    • Systèmes affines par morceaux, partition de l’espace d’état

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy

en pratique 2
En pratique 2
  • Avec le PM :
    • Problème aux frontières multiples (Conditions partagées aux instants initial et final et aux instants de commutations)
    • Bifurcation dans la trajectoire dès qu'une transition discrète est autorisée ) Résolution par la programmation dynamique
    • Notons que le PM revient également à résoudre HJB mais dans des directions privilégiées correspondant aux trajectoires optimales et pour lesquelles la continuité de V est assurée
  • Conclusion :
    • Des C.N. bien établies
    • Des efforts à mener pour parvenir à des algorithmes de résolution efficaces

EEA 20/03/2003 Claude Iung Centre de Recherche en Automatique de Nancy