REVISIÓN DEL ANÁLISIS PARTICIONAL

1. REVISIÓN DEL ANÁLISIS PARTICIONAL Elaborado por: Daniel Montoya Pérez Código: 201010006142

2. 1.2.2.1. ACELERACIÓN EULERIANAY DERIVADA MATERIAL La dinámica de fluidos por lo general se formula desde el punto de vista Euleriano, donde se hace referencia a puntos fijos del espacio geométrico, mas no, a puntos materiales. Para determinar el cambio de cualquier propiedad del fluido en el tiempo, ya no se puede emplear la derivada parcial, sino que es necesario emplear la derivada material. Por ejemplo, la aceleración de una partícula del fluido será entonces que expresada en términos Lagrangianos (en derivadas parciales empleando series de Taylor, sería:

3. 1.2.2.1. ACELERACIÓN EULERIANA Y DERIVADA MATERIAL Haciendo que tienda a cero, la derivada material de la velocidad queda expresada como: El mismo razonamiento aplica para el cambio en el tiempo de cualquier cantidad material definida en términos del espacio Euleriano. El primer término a la derecha es denominado, tasa de cambio local, y se hace cero si la cantidad V es constante; el segundo término se conoce como, tasa de cambio convectiva, que es diferente de cero, a menos que V sea uniforme en la dirección de del flujo.

4. 1.2.2.2. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA Asumiendo que durante el movimiento del fluido, no hay pérdidas o ganancias de materia, el cambio de masa de un fluido de volumen fijo (volumen de control), debe ser igual al flujo de masa a través de la superficie de frontera del volumen de control: El balance de masa sería entonces:

5. 1.2.2.2. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA Como el volumen diferencial es cualquiera, el balance global también se conserva en la forma local (diferencial), entonces: Expresión que resulta de la identidad: y de la definición de derivada material:

6. 1.2.2.2. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA En la mayoría de los casos, la compresibilidad del fluido puede ser despreciada sin pérdida de precisión, y de acuerdo con el modelo incompresible, el volumen y la densidad permanecen constantes; entonces, la ecuación de masa se simplifica a: Que para el caso de oscilaciones centradas, es igual al caso de incompresibilidad estática:

7. 1.2.2.3. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MOMENTUM La ecuación de conservación de momentum es de la misma forma que la ecuación de vibraciones elásticas de una estructura sólida, donde, la fuerza inercial se expresa en términos de la aceleración Euleriana, el resultado es la ecuación de Navier-Stockes: Esta ecuación gobierna la tasa de cambio del momentum del fluido.

8. 1.2.2.4. PRESIÓN DE UN FLUIDO Entonces, a diferencia de los sólidos, en los fluido no se presentan esfuerzos de corte resultantes de la aplicación de una carga cortante. Según experimentos estáticos, un fluido puede resistir cargas externas aplicadas sólo en direcciones normales, que resultan ser iguales en todas ellas, entonces el fluido se considera isotrópico. El esfuerzo causado por la presión se conoce como esfuerzo hidrostático y está dado por:

9. 1.2.2.4. PRESIÓN DE UN FLUIDO Esta definición de presión es apropiada en particular, cuando el fluido es incompresible. Por ejemplo, consideremos la figura a continuación: Como no se presentan esfuerzos cortantes, la fuerza por unidad de volumen, se puede determinar como:

10. 1.2.2.4. PRESIÓN DE UN FLUIDO Donde Sf es la sección transversal del tubo (el área perpendicular al eje del pistón). Este resultado es independiente de la ley constitutiva del material del fluido. Ahora se quiere definir la presión partiendo del comportamiento del material del fluido, o ley de incompresibilidad. Se quiere determinar el campo de presiones en el fluido. Se asume que el problema es unidimensional. Obviamente la condición de equilibrio mecánico local y global nos lleva a una distribución uniforme de la presión, así:

11. 1.2.2.4. PRESIÓN DE UN FLUIDO La manera apropiada es determinando la presión usando el multiplicador de Lagrange asociado con la condición: La variación del Lagrageano en su forma compacta sería: Luego de integrar por partes y usar la condición de frontera de que el desplazamiento en el fondo del tubo rígido es cero, se tiene:

12. 1.2.2.4. PRESIÓN DE UN FLUIDO En estática como en dinámica, la presión mecánica puede ser definida en una manera más formal, como un tercio de la traza del tensor de esfuerzo: La compresibilidad no modifica la presión que balancea la carga externa, pero provee un medio para relacionar dicha presión con las deformaciones del fluido, a través, de una relación esfuerzo-deformación similar a la que se usa en el caso de los sólidos elásticos.

13. 1.2.2.4. ELASTICIDAD DE UN FLUIDO El sistema de la figura 1.9 sería el paralelo a una máquina de ensayos de tracción, restringiendo la discusión al caso de elasticidad lineal con pequeños cambios entre un punto y otro:

14. 1.2.2.4. ELASTICIDAD DE UN FLUIDO En el estado 1, la carga externa es , la columna de fluido ocupa un volumen , la densidad es , y la presión es igual a : La condición de equilibrio en el punto 2 sería: La columna se expande o contrae en la cantidad Que es proporcional al valor de y el estado inicial de referencia. El módulo de Young isotérmico de un fluido podría definirse con la ley de Hooke como:

15. 1.2.2.4. ELASTICIDAD DE UN FLUIDO Por otro lado, como la masa del líquido es constante, el cambio en la densidad también es proporcional a la deformación axial de la columna: es la masa molecular y n es el número de moles del fluido Eliminando la deformación axial entre las 2 ecuaciones anteriores, el módulo de Young se puede expresar como:

16. 1.2.2.4. ELASTICIDAD DE UN FLUIDO es el coeficiente de compresibilidad isotérmico del fluido, definido como: La densidad de potencial elástico por unidad de volumen del fluido es: Usando el tensor de esfuerzos hidrostático, la ecuación anterior se reescribe como:

17. 1.2.2.4. ELASTICIDAD DE UN FLUIDO Substituyendo las dos ecuaciones anteriores, se obtiene la forma cuadrática positiva: es el campo de desplazamientos del fluido y p es la presión. La ley unidimensional de la elasticidad se puede extender al caso 3D así: