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DIVISIÓN DE POLINOMIOS

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DIVISIÓN DE POLINOMIOS. ESPAD III * TC 11. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. El resultado de dividir monomios o polinomios entre sí no siempre va a ser un monomio o un polinomio. Ejemplos: 6.x 4 : 2.x = (6/2).x 3 = 3.x 3 , que es un monomio. 6.x : 3.x 2 = 2 / x , que no es un monomio.

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divisi n de polinomios
DIVISIÓN DE POLINOMIOS

ESPAD III * TC 11

divisi n de polinomios1
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
  • El resultado de dividir monomios o polinomios entre sí no siempre va a ser un monomio o un polinomio.
  • Ejemplos:
  • 6.x4 : 2.x = (6/2).x3 = 3.x3 , que es un monomio.
  • 6.x : 3.x2 = 2 / x , que no es un monomio.
  • (6.x4 - 2.x) : 2.x = 3.x3- 1, que es un polinomio
  • (4.x - 6.x4 ) : 3.x = (4/3) – 2.x3, que es un polinomio
  • (6.x4 - 2.x) : x2 = 6.x2- 2/x, que no es un polinomio
slide3
DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS
  • Las reglas operativas son :
  • 1.‑ Reducir dividendo y divisor.
  • 2.‑ Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente.
  • 3.‑ Si el dividendo es incompleto, dejar huecos.
  • 4.‑ Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir.
  • 5.‑ Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor.
  • 6.- Comprobar el resultado,pues siempre se cumplirá:
  • D(x) = d(x).c(x) + r(x).
slide4
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
  • Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Lo que da es el primer término del cociente.
  • Se multiplica el primer término del cociente hallado por todo el divisor. Lo que da hay que restárselo al dividendo.
  • Obtenemos así un nuevo dividendo.
  • Y se repiten las anteriores operaciones para conseguir los restantes términos del cociente.
ejemplo 1 divisi n de polinomios
Ejemplo_1 División de polinomios
  • 1.- a) Sea P(x) = 6.x4 + 4.x3 - 5.x2 y Q(x) = 2.x2
  • Hallemos P(x) : Q(x)
  • 6.x4 + 4.x3 - 5.x2 6.x4 4.x3 5.x2
  • ------------------------ = ---- + ------ - ------ = 3.x2 + 2.x- 5 / 2
  • 2.x2 2x2 2.x2 2.x2
  • El resultado es un polinomio.
  • 1.- b) Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 5 y Q(x) = x
  • Hallemos P(x) : Q(x)
  • x3 + 4.x2 - 5 x3 4.x2 5
  • ------------------ = ---- + ------ + ---- = x2 + 4.x– 5/x
  • x x x x
  • El resultado no es ni un monomio ni un polinomio.
ejemplo 2 de divisi n de polinomios
Ejemplo_2 de división de polinomios
  • Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 5
  • y Q(x) = x+ 5
  • Hallemos P(x) : Q(x)
  • 1.- Están ya ambos reducidos.
  • 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente.
  • 3.- El dividendo es incompleto, luego hay que dejar hueco en el término de x.
  • 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:
slide7
x3 + 4.x2 - 5 x+ 5
  • x2
  • Pues x3 : x = x2
  • x3 + 4.x2 - 5 x+ 5
  • - x3 - 5.x2 x2
  • Pues se multiplica x2. (x+5)
  • Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.
slide8
x3 + 4.x2 - 5 x+ 5
  • - x3 - 5. x2 x2
  • - x2 - 5
  • Se repite las operaciones:
  • x3 + 4.x2 - 5 x+ 5
  • - x3 - 5. x2 x2 – x + 5
  • - x2 - 5
  • x2 + 5.x - 5
  • 5.x - 5
  • - 5.x - 25
  • - 30
slide9
5.- Como el resto ( - 30) es de grado menor que el divisor (x+ 5) se habrá terminado la división.
  • c(x) = x2 - x + 5
  • r(x) = - 30
  • 6.- Se comprueba que
  • D(x) = d(x).c(x)+r(x)
  • x3 + 4.x2 - 5 = (x+ 5).(x2 - x + 5) + (-30)
  • x3 + 4.x2 - 5 = x3 - x2 + 5.x + 5.x2 - 5.x + 25 -30
  • x3 + 4.x2 - 5 = x3 + 4.x2 - 5
ejemplo 3 de divisi n de polinomios
Ejemplo 3 de división de polinomios
  • Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 2.x + 5
  • y Q(x) = x2 + 5
  • Hallemos P(x) : Q(x)
  • 1.- Están ya ambos reducidos.
  • 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente.
  • 3.- Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos.
  • 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:
slide11
x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
  • x
  • Pues x3 : x2 = x
  • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
  • - x3 - 5.x x
  • Pues se multiplica x. (x2 +5)
  • Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.
slide12
x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
  • - x3 - 5.x x
  • 4.x2 - 7.x + 5
  • Se repite las operaciones:
  • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
  • - x3 - 5.x x + 4
  • 4.x2 - 7.x + 5
  • - 4.x2 - 20
  • - 7.x - 15
slide13
x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
  • - x3 - 5.x x + 4
  • 4.x2 - 7.x + 5
  • - 4.x2 - 20
  • - 7.x - 15
  • 5.- Como el resto ( -7.x – 15) es de grado menor que el dividor (x2 + 5) se habrá terminado la división.
  • C(x) = x+4
  • R(x) = - 7.x – 15
  • 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).C(x)+R(x)
slide14
REGLA DE RUFFINI
  • Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), siendo a un número, la división de puede realizar de una forma más rápida y precisa:
  • 1.‑ Se reduce el dividendo.
  • 2.‑ Se ordena el dividendo forma decreciente.
  • 3.‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros.
  • 4.‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluídos los ceros.
  • 5.- Se coloca a la izquierda el valor del número a.
  • 6.- Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini.
  • 7.‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo el último que es el resto de la división.
  • 8.- Se puede comprobar el resultado,pues siempre se cumplirá:
  • D(x) = d(x).c(x) + r(x).
ejemplo 1 de divisi n por ruffini
Ejemplo_1 de división por Ruffini
  • Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ) , donde a = 3
  • 1 4 0 - 5
  • +
  • 3 3 21 63
  • 1 7 2158
  • C(x) = 1.x2 + 7.x+ 21
  • R(x) = 58
  • Podemos comprobar la división:
  • (x3 + 4.x2 - 5) = (x - 3).(x2 + 7.x+ 21) + 58
ejemplo 2 de divisi n por ruffini
Ejemplo_2 de división por Ruffini
  • Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ) , donde a = - 5
  • 1 4 0 - 5
  • +
  • - 5 - 5 5 - 25
  • 1 - 1 5- 30
  • C(x) = 1.x2 - 1.x+ 5
  • R(x) = - 30
  • Podemos comprobar la división:
  • (x3 + 4.x2 - 5) = (x + 5 ).(x2 - x+ 5) + (- 30)
ejemplo 3 de divisi n por ruffini
Ejemplo_3 de división por Ruffini
  • Sea ( 4.x3 + 5.x- 3 ) : ( x + 2 ) , donde a = - 2
  • 4 0 5 - 3
  • +
  • - 2 - 8 16 - 42
  • 4 - 8 21- 45
  • C(x) = 4.x2 - 8.x+ 21
  • R(x) = - 45
  • Podemos comprobar la división:
  • ( 4.x3 + 5.x- 3 ) = ( x + 2 ).(4.x2 - 8.x+ 21) + (- 45)