KOMBINATORIAL - PowerPoint PPT Presentation

kombinatorial n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
KOMBINATORIAL PowerPoint Presentation
Download Presentation
KOMBINATORIAL

play fullscreen
1 / 67
KOMBINATORIAL
438 Views
Download Presentation
vanida
Download Presentation

KOMBINATORIAL

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. STRUKTUR DISKRIT K-1 KOMBINATORIAL Program StudiTeknikKomputer DepartemenTeknikElektro FakultasTeknikUniversitas Indonesia Struktur Diskrit

  2. Pendahuluan Sebuahpassword panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakterbolehberupahurufatauangka. Berapabanyakkemungkinanpassword yang dapatdibuat? abcdef aaaade a123fr … er1sm4n k0mput3r … ???? Struktur Diskrit

  3. Definisi Kombinatorialadalahcabangmatematikauntukmenghitungjumlahpenyusunanobjek-objektanpaharusmengenumerasisemuakemungkinansusunannya. Struktur Diskrit

  4. Kaidah Dasar Menghitung • Kaidahperkalian (rule of product) Percobaan 1: phasil Percobaan 2: qhasil Percobaan 1 danpercobaan 2: pqhasil • Kaidahpenjumlahan (rule of sum) Percobaan 1: phasil Percobaan 2: qhasil Percobaan 1 ataupercobaan 2: p + qhasil

  5. Ketuaangkatan2008 hanya 1 orang (priaatauwanita, tidak bias gender). Jumlahpria= 65 orangdanjumlahwanita = 15 orang. Berapabanyakcaramemilihketuaangkatan? Penyelesaian: 65 + 15 = 80 cara. • Duaorangperwakilanangkatan 2008 mendatangaiBapakDosenuntukprotesnilaiujian. Wakil yang dipilih 1 orangpriadan 1 orangwanita. Berapabanyakcaramemilih 2 orangwakiltesrebut? Penyelesaian: 65  15 = 975 cara.

  6. Perluasan Kaidah Dasar Menghitung Misalkanadanpercobaan, masing-masing dg pihasil 1. Kaidahperkalian (rule of product) p1p2 … pnhasil 2. Kaidahpenjumlahan (rule of sum) p1 + p2 + … + pnhasil

  7. Contoh 3 : • Bit binerhanya 0 dan 1. Berapabanyakstringbiner yang dapatdibentukjika: (a) panjangstring 5 bit (b) panjangstring 8 bit (= 1 byte) Penyelesaian: (a) 2  2  2  2  2 = 25 = 32 buah (b) 28 = 256 buah

  8. Contoh 4 : • Berapabanyakbilanganganjildari 1000 sampaidengan 9999 yang : (a) semuaangkanyaberbeda (b) bolehadaangka yang berulang.

  9. Struktur Diskrit

  10. Penyelesaian: (a) posisisatuan: 5 kemungkinanangka (1, 3, 5, 7, 9) posisiribuan: 8 kemungkinanangka posisiratusan: 8 kemungkinanangka posisipuluhan: 7 kemungkinanangka Banyakbilanganganjilseluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240 (b)posisisatuan: 5 kemungkinanangka (yaitu 1, 3, 5, 7 & 9); posisiribuan: 9 kemungkinanangka (1 sampai 9) posisiratusan: 10 kemungkinanangka (0 sampai 9) posisipuluhan: 10 kemungkinanangka (0 sampai 9) Banyakbilanganganjilseluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500

  11. Contoh 5 Ditetapkanbahwapasswordsuatusistemkomputerpanjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiapkarakterbolehberupahurufatauangka; hurufbesardanhurufkeciltidakdibedakan. Berapabanyakpassword yang dapatdibuat? Struktur Diskrit

  12. Penyelesaian: Jumlahkarakterpassword = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36 Jumlahkemungkinanpassworddenganpanjang 6 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36) = 366 = 2.176.782.336 Jumlahkemungkinanpassworddenganpanjang 7 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 367 = 78.364.164.096 umlahkemungkinanpassworddenganpanjang 8 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 368 = 2.821.109.907.456 Jumlahseluruhpassword(kaidahpenjumlahan) adalah   2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456 = 2.901.650.833.888 buah.

  13. Prinsip Inklusi-Eksklusi

  14. Permutasi

  15. Definisi: Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek. • Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian. • Misalkan jumlah objek adalah n, maka •  urutan pertama dipilih dari n objek, • urutan kedua dipilih dari n – 1 objek, • urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek, • … • urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa. Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!

  16. Contoh 6. Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”? Penyelesaian: Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buah kata • Contoh 7. Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa? Penyelesaian: P(25, 25) = 25!

  17. Permutasi r dari n elemen • Adaenambuah bola yang berbedawarnanyadan 3 buahkotak. Masing-masingkotakhanyabolehdiisi 1 buah bola. Berapajumlahurutanberbeda yang mungkindibuatdaripenempatan bola kedalamkotak-kotaktersebut?

  18. Permutasi r dari n elemen Penyelesaian: kotak 1 dapatdiisiolehsalahsatudari 6 bola (6 pilihan); kotak 2 dapatdiisiolehsalahsatudari 5 bola (5 pilihan); kotak 3 dapatdiisiolehsalahsatudari 4 bola (4 pilihan). Jadibanyaknyaurutanberbedadaripenempatan bola = (6)(5)(4) = 120

  19. SecaraUmum : Adanbuah bola yang berbedawarnanyadanrbuahkotak (rn), maka kotakke-1 dapatdiisiolehsalahsatudarinbola  (npilihan) kotakke-2 dapatdiisiolehsalahsatudari (n – 1) bola (n–1 pilihan) kotakke-3 dapatdiisiolehsalahsatudari (n – 2) bola (n– 2) pilihan … kotakke-rdapatdiisiolehsalahsatudari (n–(r – 1)) bola  (adan – r + 1 pilihan) Jumlahurutanberbedadaripenempatan bola adalah: n(n– 1)(n – 2)…(n – (r – 1))

  20. Contoh 7 : Berapakahjumlahkemungkinanmembentuk 3 angkadari 5 angkaberikut : 1, 2, 3, 4 , 5, jika: (a) tidakbolehadapengulanganangka, (b) bolehadapengulanganangka. Struktur Diskrit

  21. Contoh 7 : Penyelesaian: (a) Dengankaidahperkalian : (5)(4)(3) = 120 buah Denganrumuspermutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 120 (b) Tidakdapatdiselesaikandengan rumuspermutasi. Dengankiadahperkalian: (5)(5)(5) = 53 = 125. Struktur Diskrit

  22. Contoh 8 : Kodebukudisebuahperpustakaanpanjangnya 7 karakter, terdiridari 4 hurufberbedadandiikutidengan 3 angka yang berbeda pula? Penyelesaian: P(26, 4) P(10,3) = 258.336.000 Struktur Diskrit

  23. Contoh 8b : Angka 1, 2, 3, 4 disusunkedalambentuk 24 bilangan 4 digit yang berbeda. Jika ke-24 bilangantersebutdisusundari yang terkecilsampai yang terbesar, makatentukanposisidaribilangan3142 ? Penyelesaian: bilangandiawaliangka 1 ada 6 bilpertama bilangandiawaliangka 2 ada 6 bilkedua bilangandiawaliangka 3 ada 6 bilketiga : 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421 Jadibilangan 3142 adapadaposisi ke-14 Struktur Diskrit

  24. Contoh 8c : SuatubilanganbulatpositifdisebutPalindromjika digit-digitnyadibacadaridepandanbelakangsamanilainya (misal : 1,33, 272, 1881). Berapabanyakbilangan palindrome paling banyak 3 digit yang dapatdisusundariangka-angka 5,6, dan 7 ? Jawab : Palindrom 1 digit  3 bilangan Palindrom 2 digit  3 bilangan Palindrom 3 digit  9 bilangan Jadi total ada 3 + 3 + 9 = 15 bilangan Struktur Diskrit

  25. Contoh 8d : Mari kitapikirkanbilanganganjildari 1 sampai dengan 301. Berapa kali angka 3 muncul ? Jawab : Pada satuan : 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93 1-100 : 10x 101-200 : 10x 201-301 : 10x  30x Pada puluhan : 31, 33, 35, 37, 39 1-100 : 5x 101-200 : 5x 201-301 : 5x  15x Pada ratusan : 301  1x Jadi total ada 30 + 15 + 1 = 46 kali muncul angka 3 Struktur Diskrit

  26. Kombinasi • Bentukkhususdaripermutasiadalahkombinasi. Jikapadapermutasiurutankemunculandiperhitungkan, makapadakombinasi, urutankemunculandiabaikan. • Misalkanada 2 buah bola yang warnanyasamadan 3 buahkotak. Setiapkotakhanyabolehberisi paling banyak 1 bola. Banyaknyacaramemasukkan bola kedalamkotaktersebutadalah ....

  27. Kombinasi

  28. Kombinasi • C(n, r) seringdibaca "ndiambilr", artinyarobjekdiambildarinbuahobjek. • Definisi 3.Kombinasirelemendarinelemen, atauC(n, r), adalahjumlahpemilihan yang tidakterurutrelemen yang diambildarinbuahelemen.

  29. Interpretasi Kombinasi

  30. 2. C(n, r) = caramemilihrbuahelemendarinbuahelemen yang ada, tetapiurutanelemendidalamsusunanhasilpemilihantidakpenting. Contoh: Berapabanyakcaramembentukpanitia (komite, komisi, dsb) yang beranggotakan 5 orangorangdarisebuahfraksidi DPR yang beranggotakan 25 orang? Struktur Diskrit

  31. Penyelesaian: Panitiaataukomiteadalahkelompok yang tidakterurut, artinyasetiapanggotadidalampanitiakedudukannyasama. Misal lima orang yang dipilih, A, B, C, D, dan E, makaurutanpenempatanmasing-masingnyadidalampanitiatidakpenting (ABCDE samasajadengan BACED, ADCEB, danseterusnya). Banyaknyacaramemilihanggotapanitia yang terdiridari 5 oranganggotaadalahC(25,5) = 53130 cara. Struktur Diskrit

  32. Contoh 9 : Di antara 8 orangmahasiswaTeknikKomputerAngkatan 2009, berapabanyakcaramembentuksebuahperwakilanberanggotakan 4 orangsehingga: • mahasiswabernamaAselalutermasukdidalamnya; • mahasiswabernamaAtidaktermasukdidalamnya; • mahasiswabernamaAselalutermasukdidalamnya, tetapiBtidak; • mahasiswabernamaBselalutermasukdidalamnya, tetapiAtidak; • mahasiswabernamaAdanBtermasukdidalamnya; • setidaknyasalahsatudarimahasiswa yang bernamaAatauBtermasukdidalamnya. Struktur Diskrit

  33. PenyelesaianContoh 9 : • Banyaknya cara untukmembentukperwakilanyang beranggotakan 4 orang sehingga Aselalu termasuk didalamnya adalah : • Banyaknya cara untukmembentukperwakilanyang beranggotakan 4 orang sehingga Atidaktermasukdi dalamnya adalah : Struktur Diskrit

  34. PenyelesaianContoh 9 : • Banyaknyacarauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 4 orangsehinggaAselalutermasukdidalamnyatetapiBtidak, adalah : • Banyaknyacarauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 4 orangsehinggaBselalutermasukdidalamnyatetapiAtidak, adalah : Struktur Diskrit

  35. PenyelesaianContoh 9 : • Banyaknyacarauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 4 orangsehinggaA dan Bselalutermasukdidalamnya, adalah : Struktur Diskrit

  36. PenyelesaianContoh 9 : • Banyaknyacarauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 4 orangsetidaknyasalahsatudarimahasiswa yang bernamaAatauBtermasukdidalamnya, adalah : • A termasukdidalamnyadan B tidak, atau • B termasukdidalamnyadan A tidak, atau • A dan B termasukdidalamnya • Jadibanyaknyaadalah 20 + 20 + 15 = 55 StrukturDiskrit

  37. PenyelesaianContoh 9 : • MenggunakanPrinsipInklusi-Eksklusi • X = banyakcaramembentukperwakilanmenyertakanA • Y = banyakcaramembentukperwakilanmenyertakanB • XY = banyakcaramembentukperwakilanmenyertakan AdanB, maka • X = C(7, 3) = 35; • Y = C(7, 3) = 35; • XY= C(6, 2) = 15; • XY = X + Y - XY= 35 + 35 – 15 = 55 • Jadibanyaknyaadalah 35 + 35 -15 = 55 StrukturDiskrit

  38. PermutasidanKombinasiBentukUmum

  39. Contoh 10: Berapabanyak “kata” yang dapatdibentukdenganmenggunakanhuruf-hurufdarikataMISSISSIPPI? Penyelesaian: U = { M, I, S, S, I, S, S, I, P , P , I } hurufM = 1 buah (n1) hurufI = 4 buah (n2) hurufS = 4 buah (n3) hurufP = 2 buah (n4) n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = | U | Struktur Diskrit

  40. Contoh 10: Cara 1: Permutasi Banyaknyakata yang dapatdibentukadalah : Struktur Diskrit

  41. Contoh 10: Cara 2: Kombinasi Banyaknyakata yang dapatdibentukadalah : Struktur Diskrit

  42. Contoh 11: Berapabanyak “kata” yang dapatdibentukdenganmenggunakanhuruf-hurufdarikataMATEMATIKA ? Penyelesaian: Struktur Diskrit

  43. Contoh 12: Berapabanyakcaramembagikan 8 buahmanggakepada 3 oranganak, bila Billy mendapatempatbuahmangga, danAndiserta Toni masing-masingmemperoleh 2 buahmangga. Penyelesaian: n = 8, n1 = 4, n2 = 2, n3 = 2, dann1 + n2 + n3 = 8 Banyaknyacaramembagiseluruhmangga = Struktur Diskrit