Deskriptívna geometria

1. Deskriptívna geometria

2. V každodennej praxi sa stretávame s potrebou zobraziť priestorové útvary. Strojár zobrazuje stroje a ich súčasti, stavbár objekty stavebnej praxe, zememerač a geograf zostrojuje mapy, zobrazuje zemský povrch, astronóm zas hviezdnu oblohu. Technik a prírodovedec zostrojujú náčrty prístrojov, na ktorých pracujú. Ako ťažko by sa staval dom, keby murársky majster nerozumel výrobným plánom. Ťažko by sa skladali zložité stroje, keby robotníci nerozumeli náčrtom technikov. Radi si prezrieme pekné výkresy budúcich nových štvrtí miest, kúpalísk, tovární, rekreačných stredísk. — výkresy vytvorené architektom. Ak teda chceme, aby nás škola dobre pripravila pre život, musíme sa naučiť takéto náčrty zostrojovať, rozumieť im, vedieť ich čítať a predstaviť si z nich, ako hotový objekt alebo predmet bude vyzerať. To nás učí deskriptívna geometria, ktorá dala všetkým doterajším zobrazovacím spôsobom, z ktorých niektoré patria medzi najstaršie poznatky ľudstva, jednotiacu myšlienku. Úvod do deskriptívnej geometrie

3. História • V čase, keď si človek vyrábal pracovné nástroje zo železa, rozkvitá staviteľstvo z kameňa. Vo svojej bezmocnosti sa človek klania rôznym bôžikom, stavia im kamenné chrámy, obetné oltáre a ozdobuje ich veľkými sochami z kameňa • Vo vykopávkach z doby starého Egypta sa našla polvalcová klenba z obdobia pred 5000 rokmi, z doby starých Babylončanov zasa vodná stoka a zo starého Grécka pochádza podzemná klenutá chodba na horu Olymp • Rímsky staviteľ M. Vitruvius (31 pr. n. l. - 14 n. 1.) učí, ako zostrojovať obrazy útvarov. Tento primitívny „kameňorez" nachádza znovu uplatnenie v gotickom staviteľstve a potom v prvej polovici 18. storočia; Francúz Fréziére túto disciplinu teoreticky rozpracoval a dnes je základom moderného staviteľstva kamenných stavieb, ako sú podjazdy, piliere, oporné múry, tunely atd'.

4. Medzi prvé prejavy ľudskej kultúry patria pokusy o ,,mapy" vrývané spočiatku do kostí zvierat. Prvá známa ,,-mapa" severného Iraku pochádza od Sumerov z doby pred 5000 rokmi. V starom Grécku sa stretávame s prvými primitívnymi glóbusmi a s metódami zobrazovania zemského povrchu. Podobné metódy použil Ptolemaios pri zobrazovaní hviezdnej oblohy. Zvlášť pri vytesávaní kamenných sôch používali starí Egypťania tri ,,pohľady" na sochu -,,spredu", „zhora" a ,,zboku" Maliari v dobe renesancie v 14., 15., a 16. storočí maľujú obrazy pomocou štvorcových, „perspektívne" zostrojených sietí, začínajú študovať útvary v priestore, konštruujú rôzne „zariadenia", ktoré im pomáhajú nakresliť obraz tak, aby odrážal skutočnosť čo najvernejšie Iniciátorom mnohých takýchto zariadení bol najmä nemecký maliar Albrecht Dürer Anglický matematik Taylor položil r. 1715 teoretické základy používaného zobrazenia - tzv. lineárnej perspektívy, ktorú dnes používa každý technik, maliar, sochár

5. Prvým pomocníkom pri navrhovaní stavieb tovární, rôznych objektov najmä vojenského rázu, rôznych nových zariadení je model Takto vznikla nová disciplína, ktorá sa stala jednou z najužitočnejších pomôcok technika - deskriptívna geometria Túto novú zobrazovaciu metódu objavil Gaspard Monge Myšlienka maliarov renesancie, takzvaná, „rekonštrukcia" obrazov, overenie, či obraz vyhovuje zásadám perspektívneho zobrazenia, viedla k fotogrametrii Rozvoj strojárskej výroby v 19. storočí, zvlášť štúdium mechanizmov, viedol ku geometrickým konštrukciám v disciplíne dôležitej pre strojárov-konštruktérov - ku kinematike Nezostali stranou ani problémy riešenia striech, úlohy o teréne, zvlášť problematika ciest, konštrukcie plôch dôležitých pre technickú prax v rôznych technických disciplínach,. ako sú statika, dynamika, mechanika, alebo v takých praktických aplikáciách, ako je teória nomogramov.

6. Gaspard Monge(* 10. Máj 1746 ,† 28. Júl 1818) • Francúzsky architekt, matematik a fyzik • nekôr známy pod menom comte de Péluse • Narodil sa vo francúzskom mestečku Beaune • Navštevoval Oratoriansku univerzitu v Beaune • V roku 1762, ako šestnásťročný prestúpil na Collége de la Trinité v Lyons • Po ukončený štúdia v roku 1764 sa Monge vrátil do rodného mestečka, kde nakreslil páln mesta. Práve touto prácou sa rozbehla Mongeo kariéra

7. V roku 1780 prijaty na Akadémiu vied, prevzal v Paríži post profesora hydrodynamiky • Roku 1794 založil v Paríži École Polytechnique, kde otvoril katedru matematiky. Napoleon Bonaparte oslovil Monge aby sa stal členom expedície do Egyptu, kde roku 1798 prevzal miesto riaditeľa Egyptského inštitútu • Okrem mnohých fyzikálnych objavov sa Monge zaslúžil o vznik Deskriptívnej geometrie • Taktiež položil teóriu odrazu vzduchu • V roku 1783 vytvoril vodu zo vodiku a kysliku • Dňa 28. Júna 1818 v Paríži Gaspard Monge zomrel

8. Leonardo da Vinci(* 15. apríl 1452, † 2. máj 1519) • Celým menom Leonardo di ser Piero da Vinci • taliansky renesančný architekt, hudobník, vynálezca, staviteľ, sochár a maliar • narodil v dedinke Anchiano, blízko mesta Vinci v Taliansku • vyrastal so svojím otcom vo Florencii • bol vegetarián

9. V roku 1507 sa stretol s 15-ročným aristokratom, grófom Francescom Melzim. Melzi sa stal jeho žiakom, životným druhom a dedičom • Zomrel vo Francúzsku v meste Cloux roku1519 • Jeho najvýznamnejšie diela sú Mona Líza a Posledná večera

10. Architekt • Mnoho Leonardových zápiskov sa týkalo architektúry, hlavne plánov na výstavbu katedrál. Jeho štúdie z tejto oblasti začínali dôkladným preskúmaním rôznych stavebných nástrojov a pomôcok • Ako svoju architektonickú prácu Leonardo prezentoval model ideálneho mesta pre Ludovica Sforzu • V roku 1502 Leonardo da Vinci vytvoril kresbu visutého mosta s jediným segmentom s dĺžkou 720 stôp (240 m) ako časť stavebného projektu pre sultána Bajazida II. z Konštantínopolu) Náčrt z Leonardovej architektonickej štúdie

11. Premietanie - špecifické zobrazenie z priestoru E3 do roviny (priemetne), ktorá je v priestore E3 ľubovoľne, ale pevne zvolená Základné požiadavky (nielen v školskej praxi) pri zobrazovaní priestorových útvarov do rovinných - názornosť a jednoduchosť Priemetňa  (niekedy ) - pevne zvolená rovina v priestore, bude to tzv.nákresňa (papier, tabuľa, obrazovka PC a pod.) Zobrazovacia metóda- bijektívne zobrazenie z priestoru E3 do roviny (priemetne) Základné zobrazovacie metódy sú: kótované zobrazenie, Mongeovo zobrazenie, šikmé zobrazenie (technické), kolmá a šikmá axonometria, stredové premietanie a lineárna perspektíva Premietanie Zobrazenie a premietanie Vlastnosti premietania Priemet A bodu A - obraz bodu A v priemetni v nejakom premietaní Priemet U útvaru U - obraz útvaru U v priemetni v nejakom premietaní - množina priemetov všetkých bodov daného útvaru U Premietacia priamka pA bodu A - priamka určitých vlastností, ktorej priesečník s priemetňou je priemet bodu A Premietací útvar PU útvaru U - množina všetkých premietacích priamok všetkých bodov útvaru U Premietacím útvarom bodu je jeho premietacia priamka a každým bodom priestoru prechádza práve jedna premietacia priamka Ak premietací útvar útvaru U je rovina, hovoríme o premietacej rovine U útvaru U Priemet útvaru U je prienik jeho premietacieho útvaru s priemetňou Ak priamka a [] nie je rovnobežná s priemetňou , nazýva sa jej priesečník Pa[priesečnica p] s priemetňou stopník priamky a [stopa roviny ] Základné druhy premietania - stredové a rovnobežné.

12. sA s s sB = sC sA  B A A U C  A A B= C U  Rovnobežné premietanie • Daná je ľubovoľná rovina  priestoru E3 a ľubovoľná priamka s v E3, ktorá nie je rovnobežná s rovinou Rovnobežným (paralelným) premietaním priestoru E3 do roviny  - zobrazenie f: E3, ktoré každému bodu AE3 priradí práve jeden bod A tak, že bod A je priesečníkom premietacej priamky sA osnovy s, prechádzajúcej bodom A, s rovinou  • PriemetomútvaruU, ktorý leží v rovine rovnobežnej s priemetňou, je útvarU s ním zhodný

13. Vlastnosti rovnobežného premietania Základné vlastnosti rovnobežného premietania (v1) Rovnobežným priemetom bodu je bod. (v2) Priemetom priamky, ktorá nepatrí [patrí] do osnovy premietania, jepriamka [bod]. (v3) Priemetom úsečky AB incidujúcej s priamkou, ktorá nepatrí [patrí] do osnovy premietania, je úsečka AB [bod A=B]. (v4a) Priemety dvoch rôznych rovnobežných priamok sú buď dve navzájom rovnobežné priamky (rôzne alebo rovnajúce sa) alebo dva body, t.j. rovnobežnosť je invariant rovnobežného premietania. (v4b) Priemety dvoch rôznobežných priamok, z ktorých ani jedna nepatrí do osnovy premietania, sú buď dve rôznobežky alebo priamky, ktoré sa rovnajú. (v5) Priemetom roviny, ktorá nepatrí [patrí] do osnovy premietania, je celá priemetňa [priamka].

14. b σb b a a σa B sA=sB σ a=σb sB sA A B A B A= B b A a= b a π π b = sB a = sA s B A A= a B= b π Ilustrácia vlastnosti (v4a)

15. Osová afinita • príbuznosť (vzťah) medzi bodmi dvoch navzájom rôznych rovín • vzájomné jednoznačné zobrazenie • os afinity – množina všetkých samodružných bodov • samodružné body – po zobrazení zostanú na tom istom mieste • smer afinity – kolmý alebo šikmý Vlastnosti afinity • rovnobežným priamkam prislúchajú v afinite zase rovnobežné priamky • stredu S úsečky AB je priradený bod S´- stred úsečky A´B´ , pričom deliaci pomer sa zachováva • na rovnobežkách s osou afinity sa zachováva dĺžka úsečky • pravému uhlu nezodpovedá spravidla pravý uhol

16. A A o A´ o 1=1´ B A´ B´ 1=1´ B´ B Ukážky osovej afinity

17. Kótované premietaniepravouhlé (kolmé, ortogonálne) premietanie na jednu priemetňu • v trojrozmernom priestore zvolíme rovinu  - priemetňu • rovina delí priestor na dva polpiestory: kladný a záporný • je to vlastne rovnobežné premietanie, ktorého smer s je kolmý na priemetňu • každým bodom A priestoru preložíme premietaciu priamkusAkolmú na priemetňu • premietajúca priamkasApretne priemetňu v bode A1, nazveme ho pravouhlý alebo kolmý priemet • ak bod A leží v priemetni tak platí A=A1 Základné pojmy • k priemetu bodu pripisujeme reálne číslo- kótu bodu, ktorá ma nasledujúce vlastnosti: a) absolútna hodnota kóty sa rovná vzdialenosti A od priemetne b) vnútorné body kladného polpriestoru majú kladnú kótu, vnútorné body záporného polpriestoru majú zápornú kótu, body z priemetne nulovú kótu • v praxi zavádzame v rovine  sústavu súradníc, dve navzájom kolmé priamky x, y (os y orientujeme opačne ako v matematike) • bod A má priemet A1 (xA, yA) a kótu zA

18. Priemet bodu obraz bodu - obrazom vlastného bodu je bod - obrazom nevlastný bod je bod alebo vektor (nevlastný bod)  - priemetňa, s   z A s y xA A1(zA) zA O yA y x ● A1(zA) x B1(0)    sA = A1 , zA=|A, |

19. Priemetpriamky Obraz priamky: -je daný priemetmi 2 rôznych bodov -obrazom priamky je priamka alebo bod priamka – ak daná priamka kolmá na priemetňu bod – ak daná priamka je kolmá na priemetňu  B a priesečník priamky p s priemetňou  (bod na priamke s nulovou kótou)Stopník priamky:a   = Pa ( zP=0)  A B1(zB)  A1(zA)  Pa1(0) Pa a1  –uhol priamky s priemetňou Spád priamky je tangens uhla   90, ktorý zviera priamka s priemetňou.

20. Priemetroviny a.) rovina kolmá na priemetňu – ich priemetom je jedna priamka b.) rovina rovnobežná s priemetňou – ich priemetom je celá priemetňa c.) rovina rôznobežná s priemetňou (nie kolmá) - pravouhlým priemetom týchto rovín je celá priemetňa └►každá takáto rovina pretína priemetňu  v priamke p, nazývanej stopa roviny (je to priamka obsahujúca všetky stopníky všetkých priamok ktoré táto rovina obsahuje, stopa roviny je priamka ktorej každý bod má nulovú kótu) └► hlavné priamky roviny - h - priamky rovnobežné s priemetňou └► spádové priamky roviny- s - priamky kolmé na hlavné priamky  s Stopa roviny :   = p. ● h  h1 p1 ● Ps p1 p Hlavné priamky roviny :h || h1 p1 , Spádové priamky roviny :s h  s1p1 .

21. Mongeovo zobrazenie • Mongeovo zobrazenie kolmé premietanie na dve navzájom kolmé priemetne. • - vodorovná rovina – 1. priemetňa - Pôdorysňa •  - zvyslá rovina – 2. priemetňa – Nárysňa • x – priesečnica rovín  a  - Základnica • Zvoľme bod 0 n osi x – začiatok (origo-lat.) • Orientácia osi x: vpravo kladná, vľavo záporná • Vo vodorovnej rovine zvoľme bodom 0 os y kolmo na os x • Kladná orientácia osi y – smerom k pozorovateľovi • Vo zvislej rovine  zvoľme bodom 0 os z kolmo na os x • Kladná orientácia osi z – smerom nahor • Vznikla KARTEZIÁSKA SÚSTAVA SÚRADNÍC0xyzAx1sA A´1A1A2yzx • Osi x, y, z sú po dvoch navzájom kolmé

22. Priemet bodu • Každý bod v rovine je jednoznačne zadaný troma súradnicami, ako napríklad A(x,y,z) • Postup zobrazenia bou je na predchádzajúcom obrázku • A1, A2 nazývame ZDRUŽENÝMI OBRAZMI BODU A • Ležia na ORDINÁLE lA, priamke kolmej na základnicu X12 • Platí: Každé dva body A1, A2 ležiace na kolmici na os X12 sú združené obrazy toho istého bodu A.   2sA = A2 – nárys bodu A  1sA   A2 A 2sA   x A´1  A1

23. z N2 N A2 zA xA x 2  1 P2 O N1 yA A1 P1 P y Stopníky P    P1P, P2  x12 ,zP = 0N    N1 x12 ,N2,N, yN = 0

24. Zobrazenie priamky Stopníky:a   = Pa–pôdorysný stopník priamky a, • Daná je priamka a, ktorá nie je kolmá na priemetne, ani na os X12 • V premietaní na dve priemetne priradíme k nej dve premietajúce roviny: • 1a – Prvú premietajúcu rovinu priamky a • 2a – Druhú premietajúcu rovinu priamky a Na2 Na a2 Pa2 x12  Na1 Na2 Na a2 a1 a x Pa1 Pa Na1 Pa2 a1 Konštrukcia pôdorysného stopníka: a2 x12 = Pa2 , P1  a1 Pa1 Pa  Konštrukcia nárysného stopníka: a1 x12 = Na1 , N2  a2 .

25. a2 O a1 a2 b2 x12 O a1 b1 Polohy priamky • Ak jedným obrazom priamky je bod, potom zvyšným obrazom je priamka kolmá na os X12, pričom združené obrazy ležia na ordinále. Tieto obrazy sú združené obrazy PRIAMKY KOLMEJ NA PRIEMETŇU. Združené obrazy a1, a2 ľubovolnej priamky a, ktorá nie je (priestorovo) kolmá na os X a nie je kolmá na niektorú z priemetní sú priamky a1, a2 (rôzne alebo splývajúce), z ktorých žiadna nie je kolmá na os X12. To je PRIAMKA VO VŠEOBECNEJ POLOHE. x12

26. a2 O x12 a1 • Ak je PRIAMKA a KOLMÉ NA OS X a pritom nie je kolmý na žiadnu priemetňu, potom jej združené obrazy a1, a2 splývajú, pričom platí a1=a2X12 • Nárysom priamky aktorá je rovnobežná s pôdorysňou , ktorá nie je premietajúcou priamkou, je priamka a2 , ktorá je rovnobežná so základnicou X12. Obráteňe: Ak je a2 rovnobežná so základnicou X12, je a PRIAMKA ROVNOBEŽNÁ S PRIEMETŇOU  a2 Na2 a a2 x Na2 Na1 a1 Na1 x12  a1

27. a2 x12 a1  b2 b • Ak je priamka a ROVNOBEŽNÁ S OSOU X, potom je a1 rovnobežné s a2 a aj s X12. Vetá platí aj obráteňe. • PôDORYSOM PRIAMKY b, ktorá je rovnobežná s nárysňou , ktorá nie je premietajúcou priamkou, je priamka b1 rovnobežná so základnicou X12. Obrátene: Ak je b1 rovnobežná so základnicou X12, je b PRIAMKA ROVNOBEŽNÁ S PRIEMETŇOU x Pb2 b1 b2 Pb1  Pa2 x12 b1 Pa1

28. Zobrazenie roviny • Obrazom roviny- ak je rovina kolmá na priemetňu- Primaka(obrazok 2.) • -v inom prípade- iná rovina (obrazok 1.) • Rovina pretína priemetňe v priamkach, ktoré nazývame STOPY ROVINY • Každá rovina má aspoň jednu stopu. •  = p – pôdorysná stopa roviny  – prvá stopa roviny •  = n – nárysná stopa roviny  – druhá stopa roviny • Ak priamka leží v rovine a má stopníky, potom jej pôdorysný stopník leží na pôdorysnej a nárysný na nárysnej stope roviny: Pa1 p1 , Na2 n2 n2 Na2  Na n2  n a2 X Pa2 a x12  Na1 x a1 X Pa1 Pa p1  p  p1

29. Rovina rovnobežná s priemetňou       2  n2  x12  2  n2  2  n2 x x12  