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Intervalos de confiança

Intervalos de confiança. Sejam X 1 , X 2 , …, X n i.i.d. com distribuição F q . Um intervalo de confiança de nível 1– a para q é um par de estatísticas [T 1 (X), T 2 (X)] tais que P( q  [T 1 (X), T 2 (X)] )  1– a, para todo q. Observações.

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Intervalos de confiança

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Presentation Transcript

  1. Intervalos de confiança • Sejam X1, X2, …, Xn i.i.d. com distribuição Fq. Um intervalo de confiança de nível 1– apara q é um par de estatísticas [T1(X), T2(X)] tais que P(q [T1(X), T2(X)] )  1– a, para todo q.

  2. Observações • A probabilidade da definição se refere a T1 e T2 e não a q. • O ideal é obter intervalos de confiança em que a probabilidade indicada é sempre igual a 1– a. • Intervalos de confiança são normalmente reportados através dos valores observados de T1 e T2.

  3. Como obter um I.C.? • Método da quantidade pivotal • Obter uma função S(x, q) (quantidade pivotal) cuja distribuição independa de q. • Escolher dois números a e b tais que P(a ≤ S(x, q) ≤ b) = 1 – a • Resolver a inequação obtida em termos de q.

  4. Exemplo • X1, X2, ..., Xn i.i.d. U[0, q]

  5. Intervalos de confiança para distribuição normal X1, X2, ..., Xn i.i.d. N(m, s2) Quatro casos: • I.C. para m, com s2 conhecido • I.C. para s2, com m conhecido • I.C. para m, com s2 desconhecido • I.C. para s2, com m desconhecido

  6. I.C. para m, com s2 conhecido • Aplicável quando • a distribuição é normal e s2 é de fato conhecido, ou • a distribuição é normal e a amostra é grande, de modo que se possa estimar s2 com razoável precisão • a distribuição não é normal, mas a amostra é grande e deseja-se um I.C. aproximado para a média da distribuição, usando o T.C.L.

  7. I.C. para m, com s2 conhecido • I.C. central • I.C. unilaterais a za

  8. Exemplo • n = 25, X = 60, s = 10, a = 0,1

  9. Exemplo • Em uma pesquisa de opinião com 400 pessoas, 190 foram favoráveis a uma certa proposta. Obtenha um I.C. de nível 95% para a fração de pessoas favoráveis na população.

  10. I.C. para s2, com m conhecido • I.C. central • I.C. unilaterais a a x2n(a)

  11. A distribuição c2 • Sejam X1, …, Xni.i.d. N(0,1). A distribuição de X12 +… + Xn2 é chamada de distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.

  12. Exemplo • n = 20, m = 60, SXi - m2 = 90.000, a = 0,1

  13. I.C. com m e s2 desconhecidos • Teorema Fundamental Sejam X1, …, Xni.i.d. N(0,1). • S (Xi – X)2e X são independentes • S (Xi – X)2tem distribuição c2n-1 • tem distribuição tn-1

  14. A distribuição t de Student • Sejam X e Y variáveis independentes, X com distribuição N(0,1) e Y com distribuição c2n. A distribuição de é chamada de distribuição t de Student com n graus de liberdade.

  15. Observação No caso de X1, …, Xni.i.d. N(m,s2). • S (Xi – X)2e X são independentes • S (Xi – X)2/s2tem distribuição c2n-1 • tem distribuição tn-1

  16. I.C. para m, com s2 desconhecido • I.C. central • I.C. unilaterais

  17. I.C. para s2, com m desconhecido • I.C. central • I.C. unilaterais

  18. Exemplo • Obter I.C. de nível 95% para m e s2 para o caso em que n = 16, SXi = 960 e SXi2 = 70.000

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