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Intervalos de confiança. Sejam X 1 , X 2 , …, X n i.i.d. com distribuição F q . Um intervalo de confiança de nível 1– a para q é um par de estatísticas [T 1 (X), T 2 (X)] tais que P( q  [T 1 (X), T 2 (X)] )  1– a, para todo q. Observações.

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Presentation Transcript
intervalos de confian a
Intervalos de confiança
  • Sejam X1, X2, …, Xn i.i.d. com distribuição Fq. Um intervalo de confiança de nível 1– apara q é um par de estatísticas [T1(X), T2(X)] tais que P(q [T1(X), T2(X)] )  1– a, para todo q.
observa es
Observações
  • A probabilidade da definição se refere a T1 e T2 e não a q.
  • O ideal é obter intervalos de confiança em que a probabilidade indicada é sempre igual a 1– a.
  • Intervalos de confiança são normalmente reportados através dos valores observados de T1 e T2.
como obter um i c
Como obter um I.C.?
  • Método da quantidade pivotal
  • Obter uma função S(x, q) (quantidade pivotal) cuja distribuição independa de q.
  • Escolher dois números a e b tais que P(a ≤ S(x, q) ≤ b) = 1 – a
  • Resolver a inequação obtida em termos de q.
exemplo
Exemplo
  • X1, X2, ..., Xn i.i.d. U[0, q]
intervalos de confian a para distribui o normal
Intervalos de confiança para distribuição normal

X1, X2, ..., Xn i.i.d. N(m, s2)

Quatro casos:

  • I.C. para m, com s2 conhecido
  • I.C. para s2, com m conhecido
  • I.C. para m, com s2 desconhecido
  • I.C. para s2, com m desconhecido
i c para m com s 2 conhecido
I.C. para m, com s2 conhecido
  • Aplicável quando
    • a distribuição é normal e s2 é de fato conhecido, ou
    • a distribuição é normal e a amostra é grande, de modo que se possa estimar s2 com razoável precisão
    • a distribuição não é normal, mas a amostra é grande e deseja-se um I.C. aproximado para a média da distribuição, usando o T.C.L.
i c para m com s 2 conhecido1
I.C. para m, com s2 conhecido
  • I.C. central
  • I.C. unilaterais

a

za

exemplo1
Exemplo
  • n = 25, X = 60, s = 10, a = 0,1
exemplo2
Exemplo
  • Em uma pesquisa de opinião com 400 pessoas, 190 foram favoráveis a uma certa proposta. Obtenha um I.C. de nível 95% para a fração de pessoas favoráveis na população.
i c para s 2 com m conhecido
I.C. para s2, com m conhecido
  • I.C. central
  • I.C. unilaterais

a

a

x2n(a)

a distribui o c 2
A distribuição c2
  • Sejam X1, …, Xni.i.d. N(0,1). A distribuição de X12 +… + Xn2 é chamada de distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.
exemplo3
Exemplo
  • n = 20, m = 60, SXi - m2 = 90.000, a = 0,1
i c com m e s 2 desconhecidos
I.C. com m e s2 desconhecidos
  • Teorema Fundamental

Sejam X1, …, Xni.i.d. N(0,1).

    • S (Xi – X)2e X são independentes
    • S (Xi – X)2tem distribuição c2n-1
    • tem distribuição tn-1
a distribui o t de student
A distribuição t de Student
  • Sejam X e Y variáveis independentes, X com distribuição N(0,1) e Y com distribuição c2n. A distribuição de

é chamada de distribuição t de Student com n graus de liberdade.

observa o
Observação

No caso de X1, …, Xni.i.d. N(m,s2).

  • S (Xi – X)2e X são independentes
  • S (Xi – X)2/s2tem distribuição c2n-1
  • tem distribuição tn-1
i c para m com s 2 desconhecido
I.C. para m, com s2 desconhecido
  • I.C. central
  • I.C. unilaterais
i c para s 2 com m desconhecido
I.C. para s2, com m desconhecido
  • I.C. central
  • I.C. unilaterais
exemplo4
Exemplo
  • Obter I.C. de nível 95% para m e s2 para o caso em que n = 16, SXi = 960 e SXi2 = 70.000